黑龙江省哈尔滨市铁路职工子弟第五中学高二数学文下学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市铁路职工子弟第五中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是

(

）A．若，则

B．C．

D．参考答案：D2.函数的导数为A、

B、

C、

D、参考答案：C3.在下图中，直到型循环结构为（

）参考答案：A4.向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°参考答案：B【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（2，1），∴=1×2+（﹣2）×1=0，∴夹角的余弦为0，∴⊥．故选B．【点评】本题主要考查运用两向量数量积求夹角，考查数量积的坐标表示，注意区别两向量共线与垂直的坐标表示．5.设P（x，y）是圆x2＋（y＋4）2＝4上任意一点，则的最小值为 A．＋2

B．－2 C．5

D．6参考答案：B6.若复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

参考答案：D略7.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（

）

的共轭复数为

的虚部为A．

B．

C．

D．参考答案：C8.下列命题是真命题的是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略9.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()参考答案：C略10.已知等差数列的前n项和为，若等于（

）

A．72

B．54

C．36

D．18参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知过点恰能作曲线的两条切线，则m的值是______．参考答案：-3或-2设切点为(a,a3-3a).∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,∴切线的斜率k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).∵切线过点A(1,m),∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.∵过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.令g(x)=2x3-3x2,∴g'(x)=6x2-6x.令g'(x)=0,解得x=0或x=1,当x<0时,g'(x)>0,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,∴实数m的值是-3或-2.12.函数y=x＋2cosx在(0，π)上的单调减区间为

▲

。参考答案：略13.=__________________.参考答案：

14.在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 .参考答案：

15.在数列{an}中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为

．参考答案：略16.曲线所围成的平面图形的面积为

.参考答案：略17.=．参考答案：e【考点】67：定积分．【分析】找出被积函数的原函数，然后计算求值．【解答】解：=（ex+x2）|=e+1﹣1=e，故答案为：e【点评】本题考查了定积分的计算；关键是明确被积函数的原函数．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的离心率为，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得，进而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案．【解答】解：（I）由题意得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…..（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论：（1）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．将y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，．故，．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即．则．由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k．则，则（4k2+1）（8k﹣3）=0．则．满足△＞0．所以直线l的方程为时，四边形OAPB为平行四边形．综上所述：直线l的方程为或x=1．…..19.已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．（1）若曲线f（x）与曲线g（x）在它们的公共点P（1，f（1））处具有公共切线，求g（x）的表达式；（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，问题转化为2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=，所以f′（1）=1=a，a=2．又因为g（1）=0=a+b，所以b=﹣1，所以g（x）=x﹣1．（2）因为φ（x）=﹣f（x）=﹣lnx在[1，+∞）上是减函数．所以φ′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立．即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），因为x+∈[2，+∞），所以2m﹣2≤2，m≤2，故数m的取值范围是（﹣∞，2]．20.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革，经过一年的教学，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取整数，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分(百分制）为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.(1)求x的值和乙班同学成绩的众数；(2)完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大教学改革面？说明理由.

甲班乙班合计优秀人数

不优秀人数

合计

附：，其中.0.150．100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：(1)；众数为；(2)表格见解析；有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革。【分析】（1）利用茎叶图数据和平均数可计算的值；出现次数最多的数据即为众数；（2）根据题目所给的数据填写列联表即可；计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．【详解】解：（1）因为甲班同学成绩的中位数为，所以，解得；由茎叶图知乙班同学成绩的众数为（2）

甲班乙班合计优秀人数不优秀人数合计

依题意.所以有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革。【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于基础题．21.设数列{}的前n项和为，{}为等比数列，且。（1） 求数列{}和{}的通项公式；（2） 设，求数列{}的前n项和。参考答案：(1)当n≥2时，当n＝1时，满足上式，故{}的通项公式为.设{}的公比为q，由已知条件知，＝，所以q＝，∴，即(2)∵，∴22.已知函数图象上的点处的切线方程为．（1）若函数在时有极值，求的表达式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．参考答案：（1）（2）试题分析：（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1，可得f′（1）=-3，再根据f（1）=-1，又由f′（-2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间大于或等于0，从而求出b的范围试题解析：，┉…………1分因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，┉…………2分又得．┉…………3分（1）因为函数在时有极值，所以，┉4分解得，