5.3.2-参数估计课件

5.3.2参数估计1ch7-1参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断

DE基本问题2ch7-1什么是参数估计？参数是刻画总体某方面概率特性的数量.当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，X~N(,2),

点估计区间估计若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.3ch7-1参数估计的类型点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.4ch7-1点估计方法点估计的思想方法设总体X的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数：

1,

2,,

k设

X1,X2,…,Xn为总体的一个样本构造k个统计量：随机变量5ch7-1当测得样本值(x1,x2,…,xn)时,代入上述方程组，即可得到k个数：数值称数为未知参数的估计值对应统计量为未知参数的估计量并建立k个方程。6ch7-1三种常用的点估计方法

频率替换法利用事件A

在n

次试验中发生的频率作为事件A

发生的概率p

的估计量7ch7-1例1

设总体X~N(,2

),在对其作28次独立观察中,事件“X<4”出现了21次,试用频率替换法求参数

的估计值.解

由查表得于是

的估计值为8ch7-1方法用样本

k

阶矩作为总体

k

阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数一般,不论总体服从什么分布,总体期望

与方差

2存在,则它们的矩估计量分别为

矩估计法9ch7-1事实上，按矩法原理，令10ch7-1设待估计的参数为设总体的

r

阶矩存在，记为样本X1,X2,…,Xn

的r阶矩为令——含未知参数

1,

2,,

k的方程组11ch7-1解方程组,得k

个统计量：未知参数

1,,

k

的矩估计量代入一组样本值得k个数:未知参数

1,,

k

的矩估计值12ch7-1例2设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量.解例3设总体X~E(

),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求

的矩法估计量.解令故13ch7-1例4设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解14ch7-1

极大似然估计法思想方法：一次试验就出现的事件有较大的概率例如:有两外形相同的箱子,各装100个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答:第一箱.问:所取的球来自哪一箱？15ch7-1例5

设总体X服从0-1分布,且P(X=1)=p,

用极大似然法求

p

的估计值.解总体X的概率分布为设x1,x2,…,xn为总体样本X1,X2,…,Xn的样本值,则16ch7-1对于不同的p,L(p)不同,见右下图现经过一次试验，发生了，事件则

p

的取值应使这个事件发生的概率最大.17ch7-1在容许范围内选择

p，使L(p)最大注意到，ln

L(p)是L的单调增函数,故若某个p

使ln

L(p)最大,则这个p必使L(p)最大。所以为所求p的估计值.18ch7-1一般,设X为离散型随机变量,其分布律为则样本X1,X2,…,Xn的概率分布为或称L()为样本的似然函数19ch7-1称这样得到的为参数

的极大似然估计值称统计量为参数

的极大似然估计量

MLE简记

mle简记选择适当的=,使取最大值,即L()极大似然法的思想20ch7-1若X

连续,取f(xi,

)为Xi

的密度函数似然函数为注1注2未知参数可以不止一个,如

1,…,

k

设X

的密度(或分布)为则定义似然函数为21ch7-1若关于

1,…,

k可微,则称为似然方程组若对于某组给定的样本值x1,x2,…,xn，参数使似然函数取得最大值,即则称为

1,…,

k

的极大似然估计值22ch7-1显然，称统计量为

1,

2,…,

k

的极大似然估计量23ch7-1例6

设总体X~N(

,

2),x1,x2,…,xn

是

X

的样本值,求

,

2的极大似然估计.解24ch7-1

,

2的极大似然估计量分别为似然方程组为25ch7-1极大似然估计方法步骤1）写出似然函数L2）求出,使得26ch7-1可得未知参数的极大似然估计值然后,再求得极大似然估计量.L是的可微函数,解似然方程组若

L不是的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.若27ch7-1点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)有效性28ch7-1若则称是

的无偏估计量.

无偏性我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性：29ch7-1是总体X的样本,证明:不论

X服从什么分布(但期望存在),是的无偏估计量.证例1

设总体X的

k

阶矩存在因而由于则30ch7-1特别地样本二阶原点矩是总体是总体期望E(X)的样本均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计量31ch7-1都是总体参数

的无偏估计量,且则称比更有效.设有效性32ch7-1所以,比更有效.是

的无偏估计量,问哪个估计量更有效？由例4可知,与都为常数例2

设总体X

的密度函数为解

，33ch7-1设是总体参数

则称是总体参数

的一致(或相合)估计量.的估计量.若对于任意的

,

当n

时,一致性依概率收敛于

,即一致性估计量仅在样本容量

n足够大时,才显示其优越性.34ch7-1区间估计引例已知X~N(

,1),不同样本算得的

的估计值不同，因此除了给出

的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.

的无偏、有效点估计为随机变量常数35ch7-1如引例中，要找一个区间,使其包含

的真值的概率为0.95.(设n=5)取查表得36ch7-1这说明即称随机区间为未知参数

的置信度为0.95的置信区间.37ch7-1反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数

的真值,而包含真值的区间占95%.置信区间的意义若测得一组样本值,它可能包含也可能不包含

的真值,反复则得一区间(1.86–0.877,1.86+0.877)抽样得到的区间中有95%包含

的真值.算得38ch7-1当置信区间为时区间的长度为——达到最短39ch7-1取

=0.0540ch7-1设

为待估参数,

是一给定的数,(0<<1).

若能找到统计量,使则称为

的置信水平为1-

的置信区间或区间估计.置信下限置信上限置信区间的定义41ch7-1

反映了估计的可靠度,

越小,越可靠.置信区间的长度反映了估计精度

越小,1-越大,估计的可靠度越高,但

确定后,置信区间的选取方法不唯一,

常选最小的一个.几点说明越小,估计精度越高.这时,往往增大,因而估计精度降低.42ch7-1求参数置信区间保证可靠性先提高精度再处理“可靠性与精度关系”的原则43ch7-1寻找一个样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由

的点估计出发考虑

).例如求置信区间的步骤—称为枢轴量取枢轴量44ch7-1给定置信度1

,定出常数a,b,使得(引例中由解出得置信区间

引例中

45ch7-1一个正态总体X~N(

2)的情形置信区间常用公式(1)方差

2已知,

的置信区间推导由选取枢轴量46ch7-1由确定解得

的置信度为的置信区间为47ch7-1(2)方差

2未知,

的置信区间

由确定故

的置信区间为推导

选取枢轴量48ch7-1(3)当

已知时,方差

2的置信区间取枢轴量，得

2

的置信度为置信区间为

由概率49ch7-1(4)当

未知时,方差

2的置信区间选取得

2的置信区间为

••则由50ch7-1例1

某工厂生产一批滚珠,其直径X服从解

(1)即正态分布N(

2),现从某天的产品中随机(1)若

2=0.06,求

的置信区间(2)若

2未知,求

的置信区间(3)求方差

2的置信区间.抽取

6

件,

测得直径为15.1,

14.8,

15.2,

14.9,

14.6,

15.1置信度均为0.9551ch7-1由给定数据算得由公式(1)得

的置信区间为(2)取查表由给定数据算得52ch7-1由公式(4)得

2

的置信区间为(3)选取枢轴量查表得由公式(2)得

的置信区间为53ch7-1单侧置信区间是总体X的样本,若能确定一个统计量使得则称为置信度为1-

的单侧置信区间.

单侧置信下限单侧置信上限