概率与统计(3学分)

《概率与统计》(3学分),《概率与统计》(4学分),《概率与过程》(4.5学分)课程模拟试卷第23页共23页《概率与统计》(3学分),《概率与统计》(4学分),《概率与过程》(4.5学分)课程模拟试卷南京理工大学统计与金融数学系编

2003年5月

注：(1)以下是3学分、4学分、4.5学分考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；(2)四学分包含所有3学分内容；(3)4.5学分包含所有4学分内容；(3)注明“了解”的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的概率分布。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的概率分布或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边沿分布函数、边沿概率分布、边沿密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。(四学分)12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。(四学分)14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其上百分位点及双侧百分点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理（不要求背，考试时定理内容可列在试卷上）；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、检验法、F检验法解题。(三学分只考两个正态总体均值与方差的检验法)。24、掌握两个正态总体均值与方差的检验法。(四学分)(以下内容仅仅针对4.5学分考试，3、4学分不作要求)25、掌握随机过程的概念，掌握随机过程的分布函数和数字特征。26、掌握独立增量过程、正态过程、维纳过程的判断方法。27、了解严平稳过程，掌握宽平稳过程的判断和基本性质。28、了解圴方极限与圴方积分、时间均值与时间相关函数的概念，了解各态历经性的判定定理。29、了解时间函数的功率谱密度，掌握平稳过程的功率谱密度概念，掌握功率谱密度的基本性质，了解互谱密度及其性质。

南京理工大学理学院统计与金融数学系E-mail:stat@办公室:理学院118室电话:4315586理学院科技处理学院科技处二号路二号路转盘招待所时间招待所时间广场[模拟试卷1]一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。二、（12分）设随机变量X的分布列为求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。。三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中、是不全为零的常数）。五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的方差。七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。试求常数，使得服从分布。八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,[模拟试卷2]一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量的概率密度为，求：（1）参数；（2）；（3）。三、（14分）设随机变量和的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的方差。四、(12分）已知的概率密度函数为．（1）求与的相关系数；（2）试判断与的独立性。五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？六、（8分）在总体，从中随机抽取容量为6的样本.求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率。七、（14分）设总体的密度函数为 其中是未知参数，且。试求的最大似然估计量。八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布，在某日生产的零件中抽取10件，测得重量如下：55.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取）？附表一：,,,,,,，.[模拟试卷3]填空（16分）1、设A、B为随机事件，P（A）=0.92，P(B)=0.93，=0.85，则___________.P（）=___________.2、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是___________.3、设随机变量X的密度函数为用Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X}出现的次数，则P{Y=2}___________.4、设X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z相互独立，则U=4X+3Y-Z的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.5、设…是来自正态分布N（）的样本，且已知，是样本均值，总体均值的置信度为的置信区间是___________.二、（12分）设有甲乙两袋，甲袋中装有m只白球，n只红球，乙袋中装有M只白球,N只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？三、（12分）某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数服从参数为的泊松分布，已知任一分钟内无问讯的概率为，求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。四、（12分）设（X、Y）具有概率密度1）求常数c；2）求P{Y2X}；3）求F（0.5，0.5）五、（12分）设随机变量（X，Y）具有密度函数求E（X），E（Y），COV（X、Y）。六、（12）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。七、（12分）设总体的密度函数为 其中是未知参数，且。试求的最大似然估计量。八、（12分）某工厂生产的铜丝的折断力测试（斤）服从正态分布N（576，64），某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：578572570568572570572596584570是否可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤（）[模拟试卷4]一、（12分）（1）已知,证明：（2）证明：若则二、（14分）设X~N（），。求（1）（2）Y=1-2X的概率密度三、（12分）设X与Y是具有相同分布的随机变量，X的概率密度为已知事件和相互独立，且求（1）常数a（2）四、（14分）设（X、Y的概率密度为求：（1）相关系数（2）五、（12分）设供电站供应某电去1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日用电（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布，现要以0.99的概率保证该地区居民供应电量的需要，问供电站每天至少向该地区供应多少度电？六、（12分）设总体X~N（），，假设我们要以0.997的概率保证偏差，试问在时，样本容量n应为多少？七、（12分）设为来自总体概率密度为的一个样本，求的矩估计量。八、（12分）电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42，65，75，78，59，57，68，54，55，71。问是否可以认为整批保险丝的平均熔化时间为70（min）？（，熔化时间为正态变量）[模拟试卷5]一、（12分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对二、（12分）甲袋中有两个白球四个黑球，已袋中有四个白球两个黑球。现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n次（有返回）。若已知摸到的n个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率。三、（12分）（1）设某商店中每月销售某种商品的数量（件）服从参数为7的泊松分布，求一个月内至少售出2件的概率（2）设随机变量X的分布函数求常数A及X的数学期望和方差四、（14分）某种电池的寿命X服从正态分布，a=300（小时），=35（小时），（1）求电池寿命在250小时以上的概率（2）求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9（3）任取1000个这种电池，求其中最多有50个寿命在250小时以下的概率。五、（12分）设随机变量（X，Y）具有密度函数（1）求X与Y的相关系数（2）问X与Y是否不相关（3）X与Y是否独立，为什么？六（12分）（1）在总体N（52，）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到54.8之间的概率。（2）设总体，假如我们要以0.997的概率保证偏差，则样本容量n应为多少？七、（12分）设总体X服从指数分布，它的密度函数为（1）求参数的最大似然估计（2）验证所得的估计量的无偏性八、（14分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5已知各包重量服从正态分布N（）（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取）？（2）求参数的90%置信区间。[模拟试卷6]一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球。今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。12分)设随机变量,求的分布函数与概率密度。10分)设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与孵化为成虫数Y的联合分布律。(14分)设二维随机变量（X，Y）的概率密度为,确定常数的值;是否相互独立?为什么?是否不相关?为什么?(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？(12分)设总体服从二项分布，它的概率分布为,,，求未知参数的极大似然估计.(12分)某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176，而用别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，问此种仪器测量的硬度是否显著降低（）？(10分)已知随机过程的均值，协方差函数，试求的均值和协方差函数.(8分)设是平稳过程，且=0，，（|τ|≤1），Y=，求和.附：,,,[模拟试卷1答案]一、解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，，，，，。由全概率公式得；由贝叶斯公式。二、解：(1)由，得=1；（2）；（3）。三、解：（1）区域G的面积为（X、Y）的联合概率密度为（2）X的边缘概率密度为=Y的边缘概率密度为=（3）显然，所以X与Y不独立。四、解：，，则解：设这批种子发芽数为，则，由中心极限定理得所求概率为 。六、解：（1）。 从而，则用代替得的矩估计量为。（2）由于 则。七、解：根据正态分布的性质知，，则，，从而，，又由于，相互独立及分布的可加性知＋，则当时，服从分布。解：检验假设，检验统计量为，的拒绝域为。由于显著性水平＝0.05，查表得＝1.645。因为>1.645则拒绝原假设，即在显著性水平＝0.05下，认为该批木材的平均小头直径在12以上。[模拟试卷2答案]一、解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本点总数[S]=…。设Ai=“3个次品铆钉恰好用在第i个部件上”，i=1，2，…，10A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件”Ai中的样本点个数[Ai]=…，P(Ai)=[Ai]/[S]=1/19600。P(A)==1/1960。解：(1)由归一性，得三、解：由题意，的联合密度函数为 则 得则 同理，。 则。 则。四、解：（1） 故（2） X与Y不独立。五、解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度，10，=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则 即 ，则L=10425度。六、解：设总体由题意：，则，所求概率为 ＝＝=七、解：设是的子样观察值，那么样本的似然函数为 ，就有 ，于是，似然方程为 ，从而，可得 八、解：按题意，要检验的假设是 ，检验统计量为，的拒绝域为。由，查正态表得临界值，由样本值算得 因为，故接受假设，即在时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。[模拟试卷3答案]一、（每空2分）0.829；0.9882、2/53、9/64；-3；34725、二、解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”，事件B=“从乙袋中取出一白球”。解：，且即≈0.9826四、解：1）由归一性2）3）五、解：，解：系统中能够正常工作的部件数X服从二项分布：X~B(100,0.9)。于是≈七、解：设是的子样观察值，那么样本的似然函数为 ，就有 ，于是，似然方程为 ，从而，可得 解：需要检验的假设检验统计量为，拒绝域为:计算可得=575.2，s=，从而=10.65对，自由度=9，查表得因为，所以接受假设，即可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤。[模拟试卷4答案]证明（1）（2）二、（1）所以≈进而X~N（72，）所以Y~N（-143，）三、（1）因为X与Y同分布，所以P（A）=P（B），又A与B独立所以，（舍去）又所以=进而（2）四、因为，所以所以所以，，所以，=五、解：设第K户居民每天用电量为度，1000户居民每天用电量为度，10，=。再设供应站需供应L度电才能满足条件，则 即 ，则L=10425度。六、~，所以进而七、所以故需要检验的假设检验统计量为，的拒绝域为计算得：=62.4s=11.04所以所以故接受原假设[模拟试卷5答案]一、（1）（2）1-（3）二、设事件A表示掷得正面，事件B表示所摸到的球为n个白球，由题意AB表示从甲袋中摸到n个白球，所以，表示从甲袋中摸到n个白球，所以=三、（1）设商店每月销售某种商品的数量为，则（2），所以A=1，四、（1），所以（2），x=57.58（3）设任一此种电池寿命在250小时以下的概率为p，则则1000个电池中，寿命在250小时以下的电池数X服从二项分布五、（1）解：，，所以（2）不相关（3）不独立，