2021年初中数学-10大全等模型：8字全等-一线三等角-半角-手拉手-脚拉脚-十字模型-三垂直

模型一八字全等【模型条件】平行线+中点【模型解析】该模型由两个全等三角形进行180°旋转，使得两组对应边共线，对应角构成内错角，所以一定会形成平行和中点。如图。所以，在两条平行线间如果存在中点，一定会形成全等三角形。如图已知，则有【模型总结】①平行线间出现中点，一定会有全等。②证明线段中点问题，可以采用作垂直构造8字全等来解决③三角形的中线问题，常采用倍长中线构造8字全等转换条件

【例1-1】如图、在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD求证：D是BC的中点

【例1-2】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME

【例1-3】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N（1）若∠BAN＝15°，求∠N（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF

【例1-4】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

【例1-5】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE求证：AB＝CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明（1）延长DE到F，使得EF＝DE（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F

【例1-6】如图，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF（1）连接AD，EC，求证：AD＝EC（2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点

【例1-7】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．（1）如图1，若点F与点G重合，求证：AF⊥DF（2）如图2，请写出AF与DG之间的关系并证明

【例1-8】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【例1-9】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，（1）求∠AEB的度数．（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面积．

模型二一线三等角模型【模型条件】，一组对应边相等【模型解析】本质上两个全等三角形绕某一点旋转三角形的一个外角大小得到的，当一组非对应边共线时就会形成等角，故会形成三个等角。如图2：已知，则有【模型总结】①一线三等角证明常用外角证明，一线三垂直用余角证明亦可。②一线三等角会形成等腰三角形，解题时要考虑。如图2，③三等角模型，对应边夹角相等，都等于旋转角。

【例2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．

【例2-2】如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．

【例2-3】已知，M是等边△ABC边BC上的点．（1）如图1，过点M作MN∥AC且交于点N，求证：BM＝BN；（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D．求证：MA＝MH．

【例2-4】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝36°时，求∠DEF的度数．

模型三角平分线模型1、角平分线定理【模型条件】【模型解析】如图1，已知,则有【模型总结】角平分线上的点到角的两边距离相等。（角平分线定理）2、等腰△三线合一【模型条件】如图2：以上四个条件中两个即可。【模型解析】如图2，已知,则有如图2，已知,则有如图2，已知,则有【模型总结】等腰三角形的高是中线也是角平分线（等腰三线合一）

【例3-1】如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（）A．（m﹣60）° B．（180﹣2m）° C．（2m﹣90）° D．（120﹣m）°

【例3-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．

【例3-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BQ和AP分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为18，BP＝4，则AB的长为7．

【例3-4】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．

【例3-5】如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC＝BE+CD．

【例3-6】在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．

模型四三垂直模型【模型条件】如图1，【模型解析】如图1，已知,则有如图2，已知,则有如图3，已知,则有【模型总结】如果已知边的数量关系，亦可证直角三角形全等

【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．

【例4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：∠AEM＝∠DEM．

【例4-3】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：AC+CO＝AB．

【例4-4】问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．

【例4-5】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC．（1）如图①，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的同侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE是过点C的一条直线，且A，B在DE的两侧，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．写出AD，BE，ED间的数量关系，并写明理由．

【例4-6】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

【例4-7】如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．

模型五十字模型【模型条件】正方形或等腰三角形，一组对应边相等【模型解析】如图1，已知：四边形ABCD是正方形，MN⊥EF，则有MN=EF图1如图2，已知等边△ABC，BD=EC，则有AD=BE，且AD和BE夹角为60°图2【模型总结】正方形中两条垂直的线段相等，两条相等的线段垂直等腰三角形中两条相等的线段夹角等于等腰三角形底角

【例5-1】如图．已知△ABC中．∠BAC＝90°．∠BCA＝45°，D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD＝CE．试说明BD和AE之间的关系，并证明．

【例5-2】如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度数．

【例5-3】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF．求证：∠ADB＝∠CDF．

【例5-4】如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例5-5】提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．

【例5-6】如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．（1）写出图中所有的全等三角形，并选择其中一对加以证明；（2）求∠BOQ的度数；（3）连接OC，若OC⊥BP，求的值．

模型六半角模型1、正方形半角模型【模型条件】【模型解析】如图1，正方形中存在一个45°角与正方形共顶点，∠BDC被45°分成三个角，且有∠EDF=∠BDE+∠FDC=45°，这也是半角的意义所在，通过旋转的思想，我们将∠BDE和∠FDC拼接成一个角，即∠FDC。通过全等三角形的旋转和正方形的性质我们易证。半角通常的思路就是通过旋转构造半角得全等。【模型总结】①；②DF平分∠EAG；③2、等边三角形半角模型【模型条件】【模型解析】【模型总结】①；②DF平分∠EAG；③

【例6-1】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝135°﹣α（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．

【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．

【例6-3】如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．

【例6-4】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

【例6-5】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

【例6-6】如图，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，AC＝BC，CD＝DE，且BC＝BD，边BD交CE于点F，连接AD．（1）如图1，连接BE，若AD＝4，求BE的长；（2）如图2，若点F为BD的中点，求证：AD＝2EF．

模型七共顶点等直模型图1图2【模型条件】△ABO和△DOC共顶点等直三角形【模型解析】【模型总结】

【例7-1】如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为8cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．

【例7-2】已知：如图，直线AF经过两个等腰直角△ABC和△ADE的顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，且BD⊥AF于点F，CE与直线AF交于点G．求证：点G是CE的中点．

【例7-3】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．

【例7-4】在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG＝CE；②BG⊥CE；③∠EAM＝∠ABC；④AM是△AEG的中线，其中结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【例7-5】已知，△ABC中，AB＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，（1）如图1，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG；（2）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；（3）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．

【例7-6】以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

模型八对角互补四边形模型【模型条件】对角互补邻边相等的四边形【模型解析】如图1，已知,则有【模型总结】如图1，三个条件，已知其中即可推出第三个。【拓展思考1】如图4，当点A运动到OB下方时，OP平分∠AOB的外角时，且仍有∠AOB的外角与∠APB互补，猜想线段AP与BP的数量关系。【拓展思考2】如图4，当点A运动到OB下方时，∠AOB的外角与∠APB互补，AP=BP，是否仍有OP平分∠AOB的外角？

【例8-1】如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．

【例8-2】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．

【例8-3】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为CD延长线上一点，连接BE，AE，在BC上取一点F，使EF＝AE，过F点作FG⊥EF交CD于点G．（1）求证：AE⊥EF；（2）连接DF，当DF＝GF时，求证：①DF∥BE；②求的值．

【例8-4】问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的等量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+FD．探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙再指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向行驶60海里到达E处，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向行驶100海里到达F处，此时指挥中心观测到甲、乙两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

模型九手拉手模型如图1如图2如图3【模型条件】△ABC和△ADC是共顶点的顶角相等的等腰三角形【模型解析】【模型总结】△ABC和△ADC是共顶点的顶角相等的等腰三角形，一定会形成全等三角形，EC和BD的夹角等于等腰三角形的顶角。【模型拓展】△ABC和△CDE均为等边三角形，求证：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+OD

【例9-1】如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．

【例9-2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．

【例9-3】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）

【例9-4】△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD．（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；