向量组的线性相关性习题解答

习题四A组1．填空题(1)设，，，且，则=．解由得．(2)单个向量线性无关的充分必要条件是．解．(3)已知向量组,，线性相关，则．解因为，所以．(4)设有向量组，又，，，则向量组线性．解可由线性表示，所以的秩小于等于2，从而可知线性相关．(5)若向量组线性相关，则向量组，，线性．解因为，又，所以矩阵可逆，从而，即与等价．故，线性相关．(6)设行向量组，，，线性相关，且，则．解．(7)设向量组线性无关，则必满足关系式．解．(8)设三阶矩阵，三维列向量．已知与线性相关，则．解．2．选择题(1)维向量组(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是．(A)存在一组全为零的数，使；(B)存在一组不全为零的数，使；(C)中任意两个向量都线性无关；(D)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．答（D）．线性相关的充分必要条件是：中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．所以线性无关的充分必要条件是：中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示．(2)设有两个维向量组、，若存在两组不全为零的数；，使；则．(A)，线性相关；(B)、均线性无关；(C)、均线性相关；(D)，线性无关．答（A）．因为，，所以线性相关．(3)设向量组和向量组为两个维向量组()，且则有．(A)的秩小于的秩；(B)的秩大于的秩；(C)的秩等于的秩；(D)无法判定．答（C）．因为，又，所以有，即与等价，从而知与的秩相等．(4)设有两个维向量组和均线性无关，则向量组．(A)线性相关；(B)线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关．答（C）．例如，，则和都线性无关，但线性相关．又如，则和都线性无关，也线性无关．(5)设有向量组与均线性无关，且向量组中的每个向量都不能由向量组线性表示，同时量组中的每个向量也不能由向量组线性表示，则向量组的线性相关性为．(A)线性相关；(B)线性无关；(C)可能线性相关也可能线性无关；(D)既不线性相关，也不线性无关．答（C）．例如，当则和都线性无关，且不能由线性表示，也不能由线性表示．但，线性相关．又例如则和都线性无关，且不能由线性表示，也不能由线性表示．但，线性无关．(6)设向量组I:可由向量组Ⅱ:线性表示，则．（A）当时，向量组II必线性相关；（B）当时，向量组II必线性相关；（C）当时，向量组I必线性相关；（D）当时，向量组I必线性相关．答（D）．(7)设均为维向量，下列结论不正确的是．(A)若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关；(B)若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有；(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为；(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．答（B）．(8)设,为满足的任意两个非零矩阵，则必有．(A)的列向量组线性相关，的行向量组线性相关；(B)的列向量组线性相关，的列向量组线性相关；(C)的行向量组线性相关，的行向量组线性相关；(D)的行向量组线性相关，的列向量组线性相关．答（A）．3．将表示为的线性组合.(1)，，，；(2)，，，．解（1）令，即．因为，所以由Cramer法则，得，故．（2）令，即．因为，所以由Cramer法则，得．故．4．已知向量组线性无关，且，，…，．证明当r为奇数时线性无关；当r为偶数时线性相关．解令，得，．因为线性无关，所以有该方程组的系数行列为当为奇数时，方程组只有零解，即线性无关；当为偶数时，方程组有非零解，即线性相关．5．已知线性无关，且，，…，，证明线性无关．证明因为，可逆，即．从而与等价，于是得线性无关．6．设有两个维向量组，，其中，而是这个自然数的某个排列，证明向量组与向量组的线性相关性相同．证明令，即上下交换方程，可得即．因为与同解，所以与的线性相关性相同．7．个维向量的每个向量添上个分量，成为个维向量．若个维向量线性无关，证明个维向量亦线性无关．证明设有个维向量，因为线性无关，所以当时，有且仅有，即方程组只有零解，从而方程组也只有零解．令则当时，有，所以线性无关．8．判别下列向量组的线性相关性．(1)，，；(2)，，，；(3)，，；(4)，，；(5)，，．解（1）因为，所以（1，1，0），（0，1，1），（3，0，0）线性无关．（2）4个3维向量一定线性相关．（3）3个2维向量也一定线性相关．（4）因为，所以，所以向量组的秩也等于2，故3个向量线性相关．（5）因为在矩阵中，有一个3阶子式，所以3个向量线性无关．9．利用初等行变换，求下列矩阵的列向量组的最大无关组．（1）；（2）．解（1）因为，所以或是最大无关组．（2）因为，所以或或是最大无关组．10．求下列向量组的秩，并求一个最大无关组．（1）；（2）．解（1）因为，所以向量组的秩等于2．或都是最大无关组．（2）因为，所以向量组的秩等于2．或都是最大无关组．也是最大无关组．11．已知维单位坐标向量可由维向量组线性表示，证明线性无关．证明因为可由线性表示，所以的秩小于或等于的秩，即的秩大于或等于，从而可得的秩等于．故线性无关．12．证明维向量组线性无关的充分必要条件是，任一维向量都可由线性表示．证明必要性．已知线性无关，又对于任意维向量a，有线性相关，所以a可以线性表示（且表示式惟一）．充分性．根据已知可得，可由线性表示，所以由11题可知，线性无关．13．向量组的秩为，向量组的秩为，向量组的秩为，证明．证明因为可由线性表示，又也可由线性表示，所以得且，即．设的最大无关组为，的最大无关组为，则，可由线性表示，所以．14．设是同型矩阵，证明．证明将同型矩阵，表示为则．因为可由，线性表示，所以的秩小于或等于，的秩．又根据13题可知，的秩小于或等于的秩与的秩之和，所以．15．判别下列向量集合是否为向量空间？为什么？(1)；(2)；(3)．解（1）是向量空间．因为任取，，，则．由于，故．又当为任意实数时，，由于，故．（2）V不是向量空间．因为，若，则有，且．对于，有，其中，故．（3）是向量空间．因为任取，则有，，且，．于是，且，所以．又当，为任意实数，则有，且，所以．16．证明由所生成的向量空间就是．证明设所生成的向量空间为．任取，则有，使得．可知，从而得．又任取，则线性相关，又因为线性无关，所以可用线性表示且表示式惟一，即有惟一的，使得．从而可知，于是得．综上可知．17．设V1是由，所生成的向量空间，V2是由，所生成的向量空间，试证V1=V2．证明因为，可见，及都线性无关，但和都线性相关，且和也都线性相关，即可由线性表示，也可由线性表示，所以与等价，从而．18．验证，，为的一个基，并求在这个基下的坐标．解因为所以线性无关，故是的基．对于，令，则有解之得，所以在基下的坐标是．B组1．已知向量组线性相关，向量组线性无关，证明(1)可由线性表示；(2)不能由线性表示．证明（1）因为线性无关，所以线性无关；又因为线性相关，所以可由线性表示（且表示式惟一）．（2）反证法，假设可由线性表示，又由（1）知，可由线性表示．所以可由线性表示，这与线性无关相矛盾．于是得不能由线性表示．2．设是阶方阵，是维列向量，且，，，．证明线性无关．证明根据已知条件，得，设，上式两边左乘，得，上式两边再左乘得，因为，所以得．又由及可得，，所以线性无关．3．设线性无关，，其中，证明线性无关．证明令，则由，得，从而有因为，所以得，根据上述方程组又可得，即线性无关．4．设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示．证明向量组线性无关(其中为常数)．证明若线性相关，而线性无关，由定理２可知可由线性表示，矛盾．所以线性无关．因为可由线性表示，所以有一组数使．又令，则有，从而有解之得，，所以线性无关．5．设有一个含个向量的向量组(m≥2),且，证明向量组线性无关的充分必要条件是线性无关．证明因为又，于是有即与等价．故与的线性相关性相同，即线性无关的充分必要条件为线性无关．6．设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且向量组线性无关，证明向量组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩．证明令，，并将按列分块为．必要性．由于组向量线性无关，有故．充分性．设有一组数使，则有而线性无关，所以，即，而线性无关，故．说明线性无关．7．设有两个向量组；，,…,，，证明向量组的秩等于向量组的秩．证明因为，由于，所以，即与等价，所以与有相同的秩．8．设是阶方阵，是维列向量，若,，试证,,,…,线性无关()．证明因为，所以．令，上式两边左乘，则有．因为，所以，从而有，上式两边左乘，则有，从而，又得．以此类推，还可以得，所以线性无关．9．已知向量组的秩为3，向量组的秩为3，而向量组的秩为4．证明向量组的秩为4．证明因为的秩为3，所以线性无关．又由的秩为3，可得线性相关．故可由线性表示，即存在一组数．使．令，则有，得．因为的秩为4，所以线性无关．从而有解之得．于是可知线性无关．10．已知向量组中任一向量都不是它前面i-1个向量的线性组合，且，证明的秩为．证明令．首先证明．反证法，假设，则有．这与题设矛盾．所以得．同理可证，最后得．又因为，所以又得．综上得，故线性无关，即的秩为．11．设；都是维空间V的基．证明W是V的子空间．证明任取，则有因为是维向量，所以也是维向量，即，故．又设，则有且，且，从而，且，于是可知．又对于及实数，有且，从而且，即．所以W是向量空间，且是V的子空间．线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题1．n维向量线性相关的充分必要条件是[D]（A）对于任何一组不全为零的数组都有（B）中任何个向量线性相关（C）设，非齐次线性方程组有唯一解（D）设，A的行秩＜s.2．若向量组线性无关，向量组线性相关，则[C]（A）必可由线性表示（B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示（D）比不可由线性表示二．填空题：设则设，其中，，则已知线性相关，则2设向量组线性无关，则满足关系式三．计算题：设向量，，，，试问当为何值时（1）可由线性表示，且表示式是唯一？（2）可由线性表示，且表示式不唯一？（3）不能由线性表示？线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第三节向量组的秩一．选择题：1．已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是[C]（A）（B）（C）（D）2．设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则[B]（A）不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B）不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C）可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D）可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n维向量组的秩为3，则[C]（A）中任意3个向量线性无关（B）中无零向量（C）中任意4个向量线性相关（D）中任意两个向量线性无关4．设n维向量组的秩为，则[C]（A）若，则任何n维向量都可用线性表示（B）若，则任何n维向量都可用线性表示（C）若，则任何n维向量都可用线性表示（D）若，则二．填空题：1．已知向量组的秩为2，则t=32．已知向量组，，，，则该向量组的秩为2向量组，，，的秩为2，则a