湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷(二)数学(文科)试题(解析版)

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页2019年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷（文科）（二）（5月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知集合A={-1，0，1}，B={x∈N|x＜1}，则A∪B═（）A.{0} B.{−1,0} C.{−1,0，1} D.(−∞,1)下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A.i(1+i)2 B.i2(1−i) C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1与BD所成的角为（）A.45∘ B.90∘ C.60∘设x，y满足约束条件x+3y≤3x−y≥1y≥0，则z=x+y的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.3函数f(x)=−4x2A. B.

C. D.“2＜m＜6”是“方程x2m−2+y26−mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（）A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损

B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供

D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）A.12 B.13 C.14设函数，则f（x）=sin（2x+π4）+cos（2x+π4），则（）A.y=f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π4对称

B.y=f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π2对称

C.y=f(x)在(0,π《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为（）A.4

B.5

C.6

D.7已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是C左支上一点，A（0，66），当A.66 B.26 C.46已知函数f(x)=1+x2，x＜034x2+1，x≥0，点A，B是函数f（A.(0,5π12) B.(0,5π12]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知向量a=(−1，2)，b=(m，1)，若向量a+b与a垂直，则圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是______．春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{an}，已知a1=1，a2=2，且满足an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），则该医院30天入院治疗流感的人数共有______人．已知三棱锥P-DEF的各顶点都在球面上，PD⊥ED，EF⊥平面PDE，DE=4，EF=3，若该球的体积为17343π，则三棱锥P-DEF的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3a=2csinA且c＜b．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若b=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ABC的面积．

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，平面ABCD外一点P在平ABCD内的射影Q恰在边AD的中点Q上，PA=AD=2BC=2CD=3．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若M在线段PC上，且PA∥平面BMQ，求点M到平面PAB的距离．

随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了人口规模相当的4个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价：x（单位：元/月）和购买总人数y（单位：万人）的关系如表：定价x（元/月）20305060年轻人（40岁以下）101578中老年人（40岁以及40岁以上）201532购买总人数y（万人）30301010（Ⅰ）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的回归方程；并估计10元/月的流量包将有多少人购买？

（Ⅱ）若把50元/月以下（不包括50元）的流量包称为低价流量包，50元以上（包括50元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？定价x（元/月）小于50元大于或等于50元总计年轻人（40岁以下）中老年人（40岁以及40岁以上）总计参考公式：其中=x，=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

已知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1），且F1F2⊥OP（O为坐标原点）．

（I）求抛物线C2的方程；

（II）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

已知函数f(x)=−x3+ax−14，g(x)=ex−e（e为自然对数的底数）．

（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线互相垂直，求

函数f(x)=−x3+ax−14在区间[-1，1]上的最大值；

（2）设函数h(x)=在直角坐标系xOy中，直线C1：x=-2，圆C2：（x-1）2+（y-2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

设函数f（x）=|x+a|（a＞0）．

（1）当a=2时，求不等式f（x）＜x2的解集

（2）若函数g（x）=f（2x）+f（1-x），且g（x）≤11有解，求a的取值范围．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：B={x∈N|x＜1}={0}，

A∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}．

故选：C．

首先简化集合B，然后根据并集的定义得结果

此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】C

【解析】解：A．i（1+i）2=i•2i=-2，是实数．

B．i2（1-i）=-1+i，不是纯虚数．

C．（1+i）2=2i为纯虚数．

D．i（1+i）=i-1不是纯虚数．

故选：C．

利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C

【解析】解：如图，连结BC1、BD和DC1，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，

所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．

所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°

故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．

故选：C．

通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．

本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．4.【答案】D

【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由解得A（3，0），

所以z=x+y的最大值为：3．

故选：D．

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．

本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：函数是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限，排除A，C；

故选：D．

利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．

本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．6.【答案】B

【解析】解：若方程+=1为椭圆方程，

则，解得：2＜m＜6，且m≠4，

故“2＜m＜6”是“方程+=1为椭圆方程”的必要不充分条件，

故选：B．

求出方程+=1为椭圆方程的充要条件，根据充分必要条件的定义判断即可．

本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．7.【答案】B

【解析】解：根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为-0.48，是亏损的，A正确；

小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；

该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；

所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．

故选：B．

根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．

本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题．8.【答案】C

【解析】解：（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，

所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：，

故选：C．

利用古典概型求解即可．

主要考查对古典概型的定义及计算

等考点的理解．9.【答案】D

【解析】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．

故选：D．

利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．

本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．10.【答案】C

【解析】解：法一：i=0，S=0，x=1，y=1

开始执行，然后可得：

i=1，S=1+1，x=2，y=…

，

再执行一行，然后输出i=6．

法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，

a1=1+1，a2=2+（n≥2），

可得：a1+a2+…+an≥33，

解得n的最小值为6．

故选：C．

法一：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．法二：模拟程序的运行，可得要解决的问题是数列求和的问题，可得a1+a2+…+an≥33，进而解得n的值即可．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.【答案】B

【解析】解：如图：由双曲线C的方程可知：a2=1，b2=8，∴c2=a2+b2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E（-3，0），右焦点F（3，0），

∵|AF|==15，所以当三角形APF的周长最小时，|PA|+|PF|最小．

由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，

又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A，P，E三点共线时，等号成立．

∴三角形APF的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．

此时，直线AE的方程为y=2x+6，将其代入到双曲线方程得：x2+9x+14=0，

解得x=-7（舍）或x=-2，

由x=-2得y=2（负值已舍）

故选：B．

△APF周长最小⇔|PA|+|PF|最小⇔|PA|+|PE|+2最小⇔P在线段AE上．

本题考查了双曲线的性质，属中档题．12.【答案】A

【解析】解：当x＜0时，y=，则y2=1+x2，

即y2-x2=1，（x＜0，y＞0），为双曲线在第二象限的一部分，

双曲线的渐近线方程为y=-x，

若B在双曲线上，则∠BOy的范围是0＜∠BOy＜，

设当x≥0时，过原点的切线与f（x）=x2+1，相切，

设切点为（a，a2+1），

则f′（x）=x，即切线斜率k=a，

则切线方程为y-（a2+1）=a（x-a），

∵切线过原点，

∴-（a2+1）=a（-a）=-a2，

即-a2-1=-a2，

得a2=1，即a2=，则a==，

则切线斜率k=a=•=，即切线倾斜角为，

则∠AOy的最大值为π-=，

即0≤∠AOy≤，

则0＜∠AOy+∠BOy＜+=，

即0＜∠AOB＜，

故选：A．

根据分段函数的表达式，分别求出对应切线和双曲线渐近线的倾斜角，结合位置关系判断∠AOB的大小即可．

本题主要考查角的范围的求解，结合分段函数的表达式，利用数形结合，求出对应切线的斜率以及双曲线渐近线的倾斜角是解决本题的关键．13.【答案】7

【解析】解：∵向量，

∴=（m-1，3），

∵向量与垂直，

∴（）•=-1×（m-1）+2×3=0，

解得m=7．

故答案为：7．

利用平面向量坐标运算法则求出=（m-1，3），再由向量与垂直，能求出m的值．

本题考查实数值的求法，考查平面向量加法法则、向量垂直等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想是，是基础题．14.【答案】（x-1）2+（y-1）2=2

【解析】解：∵所求圆经过坐标原点，且圆心（1，1）与原点的距离为r=，

∴所求圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．

故答案为：（x-1）2+（y-1）2=2．

由两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，即圆的半径，代入圆的标准方程得答案．

本题考查圆的标准方程，关键是熟记圆的标准方程的形式，是基础题．15.【答案】255

【解析】解：由于an+2-an=1+（-1）n，

所以得n为奇数时，an+2=an，n为偶数时，an+2-an=2

所以a1=a3=…=a29，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，

因为a1=1，a2=2，

所以a1+a2+a3+…+a29+a30=15+15×2+×2=255．

故答案为：255．

由an+2-an=1+（-1）n可得n为奇数时，an+2=an，n为偶数时，an+2-an=2，即所有的奇数项都相等，所有的偶数项构成一个首项为2，公差为2的等差数列，根据a1=1，a2=2，可得a1=a3=…=a29=1，a2，a4，…，a30利用等差数列的求和公式求和，即可得到答案．

本题的考点是数列的应用，主要考查的数列的求和，由于已知的数列{an}即不是等差数列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法．16.【答案】27

【解析】解：如图所示，∵EF⊥平面PDE，∴EF⊥DE，EF⊥DP，

∵PD⊥ED，EF∩DE=E，∴PD⊥平面DEF，则PD⊥DF，

设PF的中点为O，则PO=OF=OD=DE，∴O为三棱锥P-DEF外接球的球心，

由题知，解得r=，∴PF=，

在Rt△DEF中，DE=4，EF=3，∴DF=，

在Rt△DEF中，PD=，

在Rt△PDE中，PE=，

∴三棱锥P-DEF的表面积为：

S△DEF+S△PDE+S△PDF==27．

故答案为：27．

设PF的中点为O，则PO=OF=OD=OE，可得O为三棱锥P-DEF外接球的球心，解得r=，求得PF=，分别求得DF=5，PD=3，PE=5，再利用面积公式，即可求解．

本题主要考查了三棱锥的表面积的公式，其中解答中根据球的体积求得球的半径，以及正确三棱锥的线面位置关系，利用三角形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得，3sinA=2sinCsinA，

∵sinA≠0，

∴sinC=32，

又c＜b，

∴C=π3．

（Ⅱ）设BC=x，则AB=5-x，在△ABC中，由余弦定理得：(5−x)2=x2+42−2⋅x⋅4cosπ3，

求得x=3

（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式即可求出sinC的值，从而求出C；

（Ⅱ）根据图形利用余弦定理求出BC的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

本题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用问题，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上，

∴PQ⊥平面ABCD，

∵AD⊂平面ABCD，∴PQ⊥AD，

∵Q为线段AD中点，

∴CD∥BQ，∴BQ⊥AD，∴AD⊥平面PBQ，AD⊂平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

解：（2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，

∴点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的12，

在三棱锥P-ABC中，高PQ=3，底面积为32，

∴三棱锥P-ABC的体积V=13×32×3=12，

又△PAB中，PA=AB=2，PB=6，

∴△PAB的面积为152，

设点M到平面PAB的距离为d，

由VC-PAB=VP-ABC，得13×2d×152=12，

解得d

（1）推导出PQ⊥平面ABCD，PQ⊥AD，CD∥BQ，从而BQ⊥AD，进而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．

（2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，则点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的，求出三棱锥P-ABC的体积V==，PAB的面积为，设点M到平面PAB的距离为d，由VC-PAB=VP-ABC，能求出点M到平面PAB的距离．

本题主要考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意，计算=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=−20×10−10×10+10×(−10)+20×(−10)(−20)2+(−10)2+102+202=-0.6，

=y−x−=20-（定价x（元/月）

小于50元大于或等于50元

总计年轻人（40岁以下）

2515

40中老年人（40岁以及40岁以上）355

40

总

计

60

20

80由表中数据，计算K2=80×(25×5−35×15)260×20×40×40≈6.667，

且6.667＞6.635，

所以能在犯错误的概率不超过0.01

（Ⅰ）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令x=10

代入即可求出此时y的估计值；

（Ⅱ）根据流量包的定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，计算K2的值，比较它与6.635的大小即可．

本题考查了线性回归方程的求法应用问题，也考查了独立性检验的应用问题和计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）F1（1，0），F2(0，p2)，

∴F1F2=(−1，p2)，F1F2⋅OP=(−1，p2)⋅(−1，−1)=1−p2=0，

∴p=2，

∴抛物线C2的方程为x2=4y；

（Ⅱ）设过点O的直线为y=kx，

联立y2=4xy=kx得（kx）2=4x，求得M（4k2，4k），

联立x2=4yy=kx得N（4k，4k2）（k＜0），

从而|MN|=1+k2|4k2−4k|=1+k2(4k2−4k)，

点P到直线MN

（Ⅰ）求得焦点坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，解得p=2，进而得到抛物线的方程；

（II）设过点O的直线为y=kx，联立抛物线的方程，求得交点M，N的坐标，进而得到MN的长，由P到直线的距离，运用三角形的面积公式，由二次函数的最值，即可得到所求最小值．

本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，求交点，考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，

∴f′（0）=a，g′（0）=1，

由题意知，a=-1，f′（x）=-3x2-1≤0，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，

∴f(x)max=f(−1)=74；

（2）函数g（x）=ex-e在R上单调递增，仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，

又f′（x）=-3x2+a．

①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在R上单调递减，且过点（0，-14），f（-1）=34−a＞0．

即f（x）在x≤0时，必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；

②当a＞0时，令f′（x）=-3x2+a=0，解得x1=−a3＜0，x2=a3＞0．

则−a3是函数f（x）的一个极小值点，a3是函数f（x）的一个极大值点．

而f（-a3）=(−a3)3+a(−a3)−14=−2a3a3−14＜0，

现在讨论极大值的情况：

f（a3）=−(−a3)3+aa3−14=2a3a3−14．

当f（a3）＜0，即a＜34时，函数f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此时y=h（x）有两个零点；

当f（a3）=0，即a=34时，函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，x0=a3=12，此时y=h（x）有三个零点；

当f（a3）＞0，即a＞34时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a3．

若f（1）=a-54＜0，即a＜54时，y=h（x）有四个零点；

f（1）=a-54=0，即a

（1）分别求出y=f（x）与y=g（x）在x=0处的导数，利用斜率之积等于-1求得a，得到f（x）解析式，再由导