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6.4平面向量的应用

6.4.1平面几何中的向量方法引入

前面我们学习了平面向量的有关概念及运算，知道了向量具有几何和代数的双重属性.你能再说说向量的这种特点吗？

一方面，向量具有长度和方向，可以用有向线段来表示，可以与几何上的长度，角度(含平行，垂直等）相关联，进一步解决，位置，面积，相似等问题，而且向量的线性运算，数量积运算的法则和规律都有明显的几何意义.

另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运算解决问题.向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积，

而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类似.借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几乎纯粹实数化。

因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决，其基本思路是：接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.几何图形到向量恰当的向量运算向量到几何关系返回例析

思考(3):通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量法解决几何问题的主要过程和步骤吗?用向量法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.返回转化:几何化向量运算翻译:向量回几何平行四边形对角线定理

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和（或两条邻边平方和的2倍)练习三角形的“心”重心：三条中线的交点；垂心：三条高

的交点；内心：三条内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)；中心：等边三角形重心，垂心，内心，外心的重合点例析

由于本题涉及是与正方形有关的问题，因此如果建立坐标系，很容易得到向量的坐标，从而用向量的坐标运算来解决。

练习课堂小结1.为什么说向量具有几何和代数的双重属性?2.说说用和向量解决几何问题的思路和步骤是怎样的?3.回顾一下，向量法中使用的一般定理理有哪一些？(1)向量加法(含减法)的运算法则及运算律;(2)向量数乘的意义及运算律(含共线向量定理);(3)向量数量积的意义和运算律(含向量垂直的充要条件);(4)平面向量基本定理.4.用向量法一般可解决几何中的那一些问题?(1)平行问题，共线问题;(2)角度问题，垂直问题；(3)长度问题；(4)位置问题.作业2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.

用向量法求证：DP⊥EF.2.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.

求证：DP⊥EF.证明:设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.

另证：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

设正方形ABCD的边长为1，2.如图，在正方形ABCD中，

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