复变函数映射

复变函数映射1.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射§3复变函数第2页,共34页，2024年2月25日，星期天1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义

第3页,共34页，2024年2月25日，星期天第4页,共34页，2024年2月25日，星期天例1例2第5页,共34页，2024年2月25日，星期天oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：

定义域函数值集合2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w第6页,共34页，2024年2月25日，星期天

以下不再区分函数与映射（变换）。

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）第7页,共34页，2024年2月25日，星期天例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解第8页,共34页，2024年2月25日，星期天oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o第9页,共34页，2024年2月25日，星期天例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第10页,共34页，2024年2月25日，星期天3.反函数或逆映射例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.第11页,共34页，2024年2月25日，星期天例已知映射w=z3

，求区域0<argz<在平面w上的象。例第12页,共34页，2024年2月25日，星期天1.函数的极限

2.运算性质

3.函数的连续性§4复变函数的极限与连续性第13页,共34页，2024年2月25日，星期天1.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中第14页,共34页，2024年2月25日，星期天

(1)

意义中的方式是任意的.

与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.第15页,共34页，2024年2月25日，星期天定理2

以上定理用极限定义证!第16页,共34页，2024年2月25日，星期天例1例2例3第17页,共34页，2024年2月25日，星期天3.函数的连续性定义定理3第18页,共34页，2024年2月25日，星期天例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz第19页,共34页，2024年2月25日，星期天

定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

连续函数的复合函数仍为连续函数。有界性：第20页,共34页，2024年2月25日，星期天第二章解析函数

第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数第21页,共34页，2024年2月25日，星期天1.复变函数的导数定义

2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念第22页,共34页，2024年2月25日，星期天

一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作

如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。第23页,共34页，2024年2月25日，星期天

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第24页,共34页，2024年2月25日，星期天(2)求导公式与法则①常数的导数c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广第25页,共34页，2024年2月25日，星期天③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]

=f

(z)±g

(z)，

[f(z)g(z)]

=f

(z)g(z)+f(z)g

(z)第26页,共34页，2024年2月25日，星期天④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=

(w)互为单值的反函数，且

(w)

0。思考题第27页,共34页，2024年2月25日，星期天例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解第28页,共34页，2024年2月25日，星期天例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明第29页,共34页，2024年2月25日，星期天(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,

但在复变函数中，却轻而易举。第30页,共34页，2024年2月25日，星期天(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?第31页,共34页，2024年2月25日，星期天二.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。

(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。第32页,共34页，2024年2月25日，星期天例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；

(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1设w