暑假衔接课程讲义-第一讲-数与代数

2015广州一对一暑假衔接课程初一数学第1讲数与代数一、数的意义1、整数在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3……叫做自然数。2、分数〔1〕把单位“1”平均分成假设干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，表示其中一份的数是这个分数的分数单位。分数还可以用来表示两个整数相除的商，即：〔2〕表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数可以化成分母是100的分数，但“分母是100的分数就叫做百分数”。的说法是错误的。〔3〕几成就是十分之几，也就是百分之几十。〔4〕几折就表示两价是现价的百分之几十。3、小数〔1〕小数的分类。有限小数：、小数无限循环小数：…、…无限小数无限不循环小数：…〔〕二、数的改写1、把一个较大的多位数，改写成“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。如：24000000=2400万5098040≈510万2、假分数与带分数或整数之间的改写。如：2。3、分数、小数与百分数之间的互化。小数小数分数先改写成分母为10、100、1000…的分数、再约分百分数小数点向右移动两位，再添上%写成分数形式并约分去掉%，小数点向左移动两位先写成小数成整数再写成百分数三、数的大小比拟1、整数的大小比拟比拟两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比拟左起第二位上的数……直到比拟出数的大小。2、小数的大小比拟比拟两个小数的大小，先看它们的整数局部，整数局部大的那个数就大；整数局部相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大……3、分数的大小比拟分母相同的分数，分子大的分数比拟大；分子相同的分数，分母小的分数比拟大；分子和分母都都不相同的分数，先通分，再比拟大小。或将它们的分子变成同一分子、再比拟，例如：4、分数、百分数、小数的混合比拟一般将它们统一化成小数，然后按小数的大小比拟方法，进行比拟。四、整的整除1、整除的意义整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除〔也可以说b能整除a〕。2、约数和倍数如果整数a能被整数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3、能被2、5、3整除的数的特征。个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除；个位上是0和5的数都能被5整除；一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整作。4、质数、合数、分解质因数一个数，如果只有1和它本身两个约数，叫做质数。一个数，如果除了1和本身，还有别的约数，叫做合数。5、最大公约数和最小公倍数几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公约数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数。公约数只有1的两个数叫做互质数。6、最大公约数和最小公倍数的三种表现形式。①较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公约数。②如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公约数是1。③如果两个数具有公共质因数，那么，它们各自的质因数和公共质因数的乘积就是它们的最小公倍数；它们的最大公约数是它们公共质因数的乘积。五、分数和小数的根本性质分数的根本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数〔零除外〕，分数的大小不变。小数的根本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。同步练习〔1〕一、填空题1、六十五万四千三百零六写作〔〕，四舍五入到万位记作〔〕万2、一道减去算式，被减数、减数和差相加的和是156，这道题的被减数是〔〕3、最小的质数与最小的自然数相乘所得的积比最小的合数小〔〕4、一个六位数，个位数字是8，十位数字是6，任意相邻的三个数字的和都是21，这个六位数是〔〕5、把，，，按从小到大的顺序排列〔〕6、甲数除以乙数的商是24，如果甲数缩小到原来的，乙数缩小到原来的，商是〔〕7、四位数49，能同时被3和5整除，这个四位数最小是〔〕，最大是〔〕8、三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公约数是〔〕，最小公倍数是〔〕9、两个数相除商47余8，这两个数加上商与余数的总和是927，这两个数分别是〔〕和〔〕10、被7除少3，被6除少2，被5除余2。适合上述条件的最小三位数是〔〕二、判断(对的打“”√，错的打“×”)1、任何自然数都是有约数1。〔〕2、整数和小数之间的进率都是10。〔〕3、两个分数分子相同，分数单位大的分数值就大。〔〕4、的意义不同，结果相同。〔〕5、把4米长的铁丝分成5份，每份是全长的。〔〕三、选择题1、下面八位数中，一个零也不读出来的是〔〕A、50002000B、50000200C、50020000D、502000002、把387500改写成万作单位的数是〔〕A、万B、39万C、38万D、万3、保存三位小数约是〔〕A、5.464B、5.465C、4、末尾添上一个0，原来的计数单位就〔〕A、扩大10倍B、不变C、缩不10倍D、扩大10倍5、在、和三个分数中，分数值中，分数值最大的是〔〕A、B、C、6、下面分数中，不能化成有限小数的分数是〔〕A、B、C、D、7、小于而大于的真分数有〔〕个A、3个B、4个C、无数个8、比32多它的的算式是〔〕A、32×B、32×(1+)C、32×〔1-〕四．解答题1.把下面各数从大到小按顺序排列起来。0.6、66.6%、、六成五、2.把360、182分解质因数。500人，今天病假4人，求今天的出勤率。六、数的运算〔1〕、四那么混合运算在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。〔2〕、运算定律和性质1、加法的交换律：a+b=b+a2、加法的结合律：a+b+c=a+(b+c)3、乘法的交换律：a×b=b×a4、乘法的结合律：a×b×c=a×(b×c)5、乘法的分配律：(a+b)×c=a×c+b×c6、减法的运算性质：a-b-c=a-(b+c)7、除法的运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)8、平方、立方运算：读作a的平方读作a的立方〔3〕、运算的好习惯要想提高计算能力，首先要准确熟练掌握各种运算法那么，运算过程中，尽量不要跳步，计算要有层次，养成宁慢不错、一遍算对的好习惯。当然还要多做练习。这里说的“多”是高质量的“多”，不单是数量上的“多”。多做题，多见题才能见多识广、积累经验熟能生巧，坚持不懈的努力就能提高运算能力。在具体运算中，一定要一看、二想、三动笔，也就是：要仔细看明白题目的特点，认真想一想如何运算最科学有效。看清了，想好了，再动笔运算，特别是要养成速算、巧算的习惯，要注意领会老师的方法指导。能速算、巧算是运算能力强的突出表现。比方计算855÷45当然可以直接运算，但是如果注意到：由于855比900少45，所以855÷45的商应比900÷45的商小1，而900÷45＝20很简单，这样就很容易得到855÷45＝〔900÷45〕－1＝20－1＝19。同步练习〔2〕1、计算。①5；②③×9.9+85×0.012、根据你发现的规律填空。〔4分〕EQ\f(9,2)÷3＝EQ\f(9,2)-3EQ\f(16,3)÷4＝EQ\f(16,3)-4EQ\f(25,4)÷5＝EQ\f(25,4)-5〔1〕我还能至少写出2个这样的算式：__________________、__________________〔2〕我发现这些算式的特点是：______________________________________________3、计算：①②.③÷[〔＋〕×]④×75%-54、计算(能简算要简算)①②③④5、列式计算①2与的差除与的和，商是多少？②用除以的商，加上乘的积，和是多少？③什么数的比270的30%的倒数少多少？④的比的倒数少等多少？⑤20减去18的，用所得的差除13，得多少？三、式与方程用字母表示数：

1、用字母表示数可以简明地表达数量关系，运算定律和计算公式。

2、数与字母相乘，省略乘号，数字写在字母的前面。〔如1a=a×1〕

3、字母与字母相乘，可省略乘号，也可以写成乘号的简写法〔如a×b＝ab=a.b〕

4、数与数不能省略乘号。简易方程：

方程：含有未知数的等式叫做方程。

使方程左右两边相等的求知数的值，叫做方程的解。方程的解只是一个数。

求方程的解的过程，叫做解方程。解方程只是一个过程。同步练习题〔3〕一、填空。1．在〔1〕8x=96〔2〕1.7-x〔3〕a+b=230〔4〕y+5＜11.3〔5〕0.25+m=0.5〔6〕5.4-2.8=2.6〔7〕z+0.2＞0.52中，____________是等式，_______________是方程。2．在〔〕里写出含有字母的式子。(1)绿绳长x米，红绳的长度是绿绳的2.4倍，红绳长〔〕米，两种绳一共长〔〕米，绿绳比红绳短〔〕米。(2)妈妈买8只茶杯，付了100元，找回m元，一只茶杯〔〕元。(3)师徒加工一批零件，师傅单独完成要a小时，徒弟单独完成要b小时，徒弟和师傅工作时间的比是〔〕，师傅和徒弟工作效率的比是〔〕。(4)m与n的差除它们的和〔〕。(5)一个圆锥底面直径为d，高为h，它的体积v=〔〕。3．在〔〕里填“＞”、“＜”或“＝”。〔1〕当x=1.6时，0.58+0.6x〔〕1.63。〔2〕当x=0.6时，x+0.3x〔〕55%。二、判断。(1)方程一定是等式，等式不一定是方程。〔〕(2)方程两边同时乘0.5，所得结果仍然是方程。〔〕(3)含有未知数的式子叫方程。〔〕(4)方程x-1.2=1.6的解是2.8。〔〕三、选择。1、等腰三角形的一个底角是n°，它的顶角是〔〕°。°°－n°°－2n°D.〔180°－n°〕÷22、如果a×75％=75％÷b=c－75％=d+75％。那么a、b、c、d中最大的是〔〕。3、5个连续偶数，中间的一个数为m，那么最大的数是〔〕。A.m+1B.m+2C.m+3D.m+4四、解方程。1.25-0.25x=48.5+65%x=15五、解决问题。1.某市规定：乘坐出租车起步价为6元〔3千米以内〕，超过3千米以外每1千米按2.5元计费〔缺乏1千米按1千米收费〕。小明的妈妈乘坐出租车行了m千米。〔1〕用式子表示小明的妈妈应付的钱数。〔2〕当m=11时，求小明的妈妈应付多少钱。2.小芳收集的外国邮票比中国邮票小35张，外国邮票的张数是中国邮票的1/6，小芳收集的外国邮票和中国邮票各多少张？3．学校开展兴趣小组活动，参加书法组的有18人，比美术组的25℅少6人，参加美术组的有几人？4.修一段路，第一天修了全长的25%，第二天修了500米，两天正好修了全长的40℅。这条路全长多少千米？5．2008年我国公布了新的个人收入所得税征收标准。个人月收入2000元以下不收税。月收入超过2000元，超过局部按下面的标准征税〔如图〕。黎明老师这个月缴纳了35元税款，他这个月的收入是多少元？四、找规律例1：例2：举一反三1、2、3、4、找规律计算。5、6、〔1〕第n堆有〔〕小正方体7、规律：涂色正方形的个数=未涂色正方形的个数=8、9、如图，用“十”分割法分割正方形。看图找规律填空分割一次，分成小正方形的个数为1×3+1=4个分割二次，分成小正方形的个数为2×3+1=7个分割三次，分成小正方形的个数为个分割四次，分成小正方形的个数为个分割30次，分成小正方形的个数为