中考压轴题《轴对称之最短路径》

《轴对称之最短路径》破解策略用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的题型有：1.已知：在直线l同恻有A.B两点，在l上找一点P,使得AP+PB最小.•BA• l作法：如图.作点A关于直线l的对称点A‘，连结A'B,与直线，的交点就是点PA'.已知：在直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P,使得|AP—PB|最小作法：如图，连结AB,作线段AB的垂甫平分线.与直线l的交点就是点P.已知：在直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P.使得|AP—PB|最大•BA• l作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P.已知：在直线l同侧有A,B两点.在l上找两点C,D（其中CD的长度固定，等于所给线段d），使得AC+CD+DB最小，5.已知：在/5.已知：在/MON内有一点P,作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A',作A'关于直线l的对称点A”,连结A"B,与直线l的交点就是点D.连结A'D,过点A作AC〃A'D,交直线l于点C.则此时AC'+CD+DB最小.作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P',P",连结P'P",与射线ON,OM的交点就是点Q,R.6．,Q.使得6．,Q.使得PR+QR最小作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P',作P'Q±ON,垂足为Q,P'Q与射线ON的交点就是R.Q NQ N例题讲解例1 (1)如图1,等边4ABC中，AB=2,E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P,使BP+EP的值最小，并求BP+PE的最小值.(2)如图2,已知。。的直径CD为2,AC的度数为60°,点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.(3)如图3,点P是四边形ABCD内一点，BP=m,NABC=a，分别在边AB,BC上作出点M,N,使4PMN的周长最小，并求出这个最小值(用含m,a的代数式表示).图1解图1解(1)<3(作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P)；(2)五(作法是：作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P)；(3)分别作点P关于边AB,BC的对称点E,F,连结EF,分别与边AB,BC交于点M,N,线段EF的长度即为4PMN的周长的最小值.如图，连结BE,BF,ZEBF=2ZABC=2a,BE=BF=BP=m.过点B作BHLEF于点H,

所以NEBH=1NEBF=a,EH=FH.2在Rt^BEH中，sina=EH,BE所以EH=BE•sina=m•sina,所以EF=2m-sina,IPPM+PN+MN=EF=2m-sina.例2如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心，以1,3为半径作。A,0B,M,N分别是。A,0B上的动点，点P为x轴上的动点，求PM+PN的最小值．解如图，作。A关于x轴的对称图形。A',连结A'B,与x轴交于点P,与。A'交点为M',与。B交点为N,连结PA,PA与。A交点为M,则此时PA+PB值最小，从而PM+PN值也最小，最小值为线段M'N的长.如图，易得A'(2,—3),由两电间距离公式得A'B=5、；2.故M'N=5x：2—4,即PM+PN=5<2—4.BE是两条边上的高，点。为其交点.例3如图1,等边4ABC的边长为6,AD,P,N分别是BE,BCBE是两条边上的高，点。为其交点.NDNDNDND图1 图2(1)当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；(2)如图2,若点Q在线段BO上，BQ=1,求QN+NP+PD的最小值.

AAAA图3 图4解(1)由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D'在AB上，且为AB的中点．如图3,过点D'作BC的垂线，垂足为N',D'N交BE于点P,连结PD',则PD'=PD.此时D'N的长度即为PN+PD长度的最小值.显然D'N〃AD,即点N为BD的中点.所以BN=1BC=3,42从而BP=一BN一=n.cosZPBN(2)如图4,作点Q关于BC的对称点Q',则BQ'=1,NCBQ'=30°.点D'是点D关于BE的对称点，连接D'Q',交BE于点P,交BC于点N.此时D'Q'即为QN+NP+PD的最小值.显然ND'BQ'=90°,所以D'Q'=、BD&+BQ‘2=105,即QN+NP+PD的最小值为v10.进阶训练.两平面镜OM,ON相交于点。，且CMLCN,一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹,并简要说明理由．OM’OM’答案：作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',连接A'B',与OM,ON分别交于点D,C.光线行进路线如图.. (1)在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD,桥建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)(2)如图2,在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ,桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)解：(1)如图，过点B作BB′垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C,过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D,则CD即为架桥最合适的位置.(2)如图，过点A作AA′垂直于距点A较近的河岸，且使AA′长等于该河宽，同样，过点B作BB′垂直于距点B较近的河岸，且使BB′长等于河宽，连接A'B‘分别交两条河相邻的河岸于点N,P,过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M,过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q,则MN,PQ即为架桥最合适的位置.图1图1图23.如图，直线y=X+3分别与x轴，y轴交于点A,B,抛物线y=-X2+2x+1与y4轴交于点C.若点E在抛物线y=—X2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值.

提示：作点C关于对称轴x=1的对称点C‘，则c'（2,1）.过点C‘作C'