为随机变量的分布函数

关于为随机变量的分布函数§2.3连续型随机变量

定义设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.二、性质下页几何意义：

f(x)下方x轴上方所围面积为1一、定义第2页,共22页，2024年2月25日，星期天(4)在f(x)的连续点处有(5)连续型随机变量取任何实数值

a

的概率等于0.即

P{X=a}=0由性质(5)可得下页f(x)第3页,共22页，2024年2月25日，星期天

例1.设随机变量X的密度函数为求(1)常数a;(2)分布函数F(x).

解:(1)由解得A=－1/2.下页三、分布函数求法从而得第4页,共22页，2024年2月25日，星期天求(2)分布函数F(x).当0≤x＜2时，当x≥2时,由定义有下页当x<0时,

例1.设随机变量X的密度函数为第5页,共22页，2024年2月25日，星期天下页从而得分布函数为另：第6页,共22页，2024年2月25日，星期天例2.设连续型随机变量的分布函数为

求常数A.解：下页因为F(x)为连续型随机变量的分布函数，所以F(x)为连续函数，由连续函数的性质可得即A=1.第7页,共22页，2024年2月25日，星期天

如果随机变量X的概率密度为分布函数为则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X～U[a,b].得X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关．四、常见连续型随机变量的分布下页1.均匀分布第8页,共22页，2024年2月25日，星期天

例3.设随机变量X在[2,8]上服从均匀分布，求二次方程

y2+2Xy+9=0有实根的概率.解：由于X在[2,8]上服从均匀分布，故X的概率密度为从而，P{y2+2Xy+9=0有实根}=P{X≥3}+P{X≤-3}=1-P{X<3}+P{X≤-3}下页方程有实根等价于4X2-36≥0,即X≥3或X≤-3,第9页,共22页，2024年2月25日，星期天2.指数分布则称X服从参数为l的指数分布,记作X～E[l].l>0为常数.分布函数为

指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布．若随机变量X的密度函数为下页第10页,共22页，2024年2月25日，星期天

例4.

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(单位:分钟)服从参数l=1/5的指数分布.等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去.若该顾客一个月到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.该顾客未得到服务事件为{X>10}，其概率为所以Y的分布律为下页解：X的分布函数第11页,共22页，2024年2月25日，星期天若X的概率密度为分布函数F(x)x其中m,s(s

>0)为常数，则称X服从参数为m,s

2的正态分布或高斯(Gauss)分布,记作X～N(m

,

s

2).f(x)0x下页3.正态分布⑴

正态分布定义第12页,共22页，2024年2月25日，星期天①曲线关于x=m对称.②当x=m时，函数f(x)达到最大值，最大值为下页f(x)mm+hm-h⑵

概率密度的特点③拐点(m

±s

，f(m

±s));水平渐近线为ox轴.第13页,共22页，2024年2月25日，星期天④固定s

，改变m值，曲线f(x)形状不变，仅沿x轴平移.可见m确定曲线f(x)的位置.⑤固定m，改变s值，则s愈小时，f(x)图形的形状愈陡峭，X

落在m附近的概率越大.m1m2f(x)xf(x)xs=2s=0.5s=1下页第14页,共22页，2024年2月25日，星期天当m=0,s=1时，称为标准正态分布.

记作X～N(0,1).下页⑶

标准正态分布标准正态分布的密度函数标准正态分布的分布函数第15页,共22页，2024年2月25日，星期天⑷标准正态分布的特点下页第16页,共22页，2024年2月25日，星期天

例5.设X～N(0,1),计算：①P{X≤2.35}；②P{-1.64≤X＜0.82}；③P{|X|≤1.54}.解：①P{X≤2.35}=Φ(2.35)=0.9906.②P{-1.64≤X＜0.82}=Φ(0.82)-Φ(-1.64)=Φ(0.82)-[1-Φ(1.64)]=0.7434.③P{|X|≤1.54}=Φ(1.54)–Φ(-1.54)=2Φ(1.54)–1=0.8764.下页⑸标准正态分布查表计算查页表第17页,共22页，2024年2月25日，星期天即下页⑹一般正态分布查表计算方法：转换为标准正态分布情形后，再查表.转换：于是有显然，第18页,共22页，2024年2月25日，星期天解：①P{X＞-2}=1-

P{X≤-2}=1-F(-2)=1－φ(-1.5)=φ(1.5)=0.9932.=0.9938-0.9332=0.0606.=1–[φ(1.5)-φ(-2.5)]=φ(2.5)-φ(1.5)③P{|X|＞4}=1-P{|X|≤4}=1-

P{-4≤X≤4}②=0.9772－0.6915=0.2857.下页

例6.

设X~N(1,4)，求：①P{X＞-2}；②P{2＜X＜5}；③P{|X|＞4}.第19页,共22页，2024年2月25日，星期天

例7

（“三σ”原则）设X~N(μ,σ2)，

求P{|X―μ|＜σ}，P{|X―μ|＜2σ}，P{|X―μ|＜3σ}解

P{|X―μ|＜σ}=P{μ―σ＜X＜μ+σ}= = 第20页,共22页，2024年2月25日，星期天

例9.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解:

设车门高度为h(cm),则碰头事件可表示为{X≥h}，依题意有

P{X≥h}≤0.01.因为X～N(170,62),所以P