《电路分析基础(第三版)》(沈元隆-刘栋-编著)-第6章

7正弦稳态分析7－1正弦量7－2正弦量的相量表示法7－3正弦稳态电路的相量模型7－4阻抗和导纳7－5正弦稳态电路的相量分析法7－6正弦稳态电路的功率7－7三相电路7－8非正弦周期电路的稳态分析线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源鼓励下，随着时间的增长，暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波，电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路(渐近稳定电路)通常称为正弦电路或正弦稳态电路。正弦稳态分析的重要性：(1)正弦信号是最根本的信号，它容易产生、加工和传输；(2)很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。(3)用相量法分析正弦稳态十分有效。(4)电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号鼓励下的响应。分析正弦稳态的有效方法——相量法。7－1正弦量正弦量——按正弦规律随时间变化的物理量。7-1-1正弦量的三要素函数式表示：f(t)=Fmcos(ωt+

)

Fm——振幅；ω——角频率；rad/sωt+——相位；弧度〔rad〕或度()；——初相位。||波形图表示如下〔以电流为例〕：f——频率；赫〔Hz〕ω=2fT——周期；秒〔s〕T=1/f(a)

>0(b)

=0(c)

<0振幅Fm，角频率ω和初相

，完全确定一个正弦量，称它们为正弦量的三要素。例1正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。解：角频率函数表达式为u(t)=Umcos(ωt+

)

=10cos(62.8t+30°),波形如右图。例2试求正弦量的振幅Fm、初相

与频率f。解：将正弦量表达式化为根本形式：所以Fm=10，

=/3rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz

正弦稳态电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，常常需要将这些正弦量的相位进行比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差。如两个同频率的正弦电流:i1(t)=I1mcos(ωt+1),i2(t)=I2mcos(ωt+2),电流i1(t)与i2(t)间的相位差为7-1-2

正弦量间的相位差

=(ωt+

1)-(ωt+

2)=

1-

2相位差反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系：当=1-2>0时，说明i1(t)超前i2(t)，超前的角度为。当=1-2<0时，说明i1(t)滞后i2(t)，滞后的角度为||。两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。(a)电流i1超前于电流i2,(b)电流i1滞后于电流i2当

=

1-

2=0时，i1(t)与i2(t)同相。当

=

1-

2=

时，i1(t)与i2(t)反相。当

=

1-

2=/2时，i1(t)与i2(t)正交

(c)同相(d)正交(e)反相注意：角频率不同的两个正弦间的相位差为是时间t的函数，不再等于初相之差。

(t)=(ω1t+

1)-(ω2t+

2)=(ω1-ω2)t+(

1-

2)例3正弦电压u(t)和电流i1(t),i2(t)的表达式为u(t)=30cos(ωt-180°),i1(t)=5cos(ωt-45°),i2(t)=cos(ωt+60°).试求:u(t)与i1(t)和i2(t)的相位差。

u(t)与i2(t)的相位差为

=(-180°)-60°)=-240°

解：u(t)与i1(t)的相位差为

=(-180°)-(-45°)=-135°-240

+360

=120,即：u(t)超前于i2(t)120

。周期信号的有效值将直流电流I和周期电流i(t)通过电阻R时的热效应作比较，导出周期电压电流的有效值。7-1-3正弦量的有效值通过周期电流信号i(t)时，电阻吸收的功率p(t)=i2(t)R，在一个周期T内获得的能量为当通过同一电阻R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即电阻R通过直流电流I时，吸收的功率P=I2R，在时间T内获得的能量为W=PT=I2RT.由此解得电流i(t)的方均根值，称为有效值。(2)正弦量的有效值对于正弦电流i(t)=Imcos(

t+

),方均根值(有效值):振幅为Im的正弦电流的有效值为I=0.707Im。即正弦电流的有效值为振幅值的0.707倍正弦电压u(t)=Umcos(

t+

)的有效值为由此可见：(1)正弦量的有效值只与振幅值有关，与角频率和初相无关；(2)非正弦周期量的有效值没有上述关系，需要单独计算。对于半波整流波形，其表达式：可得半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍。7-2正弦量的相量表示法(1)复数直角坐标形式：A=a1+ja2三角形式：A=a(cos

+jsin

)指数形式：A=aej

极坐标形式：A=a

+1ja

a1a20复数A的复平面表示a1=acos

a2=asin

分析正弦稳态的有效方法是相量法，用相量〔向量〕或复数来表示正弦量的振幅和初相。注意：其频率不变。称为：f(t)的振幅相量(2)正弦量的相量表示+1jFm

0相量图Fm

sin

Fm

cos

f(t)=Fmcos(

t+

)=Re[Fmej

ej

t]正弦量f(t)的有效值相量有效值相量正弦量有效值与复值的关系：正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋转的旋转相量在实轴投影。即：1j

t2

t2tf(t)(3)正弦量与其相量的对应关系：正弦量的时间表达式，可得相应的相量。相量，就知道振幅和初相，再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式(两者存在一一对应关系)。即显然，有可以选用振幅相量或有效值相量来表示同一个正弦量；但有效值相量更为普遍些。在没有特指的情况下，指的是有效值相量。相量：用复平面(二维空间)中的复常数表示正弦量的振幅或有效值、初相。相量图：形象描述各个相量(表示正弦量)之间的相位关系，把相量画在同一复平面内。参考相量：图中假设为零相位的相量。例4电流i1(t)=5cos(314t+60)A,i2(t)=-10sin(314t+60)A。写出它们的相量，画出相量图。解：从相量图容易看出正弦电流的相位关系：i2(t)超前于i1(t)90°。i2(t)=-10cos(314t-30

)=10cos(314t+150

)A7－3正弦稳态电路的相量模型

电路中全部电流都具有同一频率ω，那么可用振幅相量或有效值相量表示：7-3-1基尔霍夫定律的相量形式

KCL:因此

相量形式KCL：对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点，流出该节点的全部支路电流相量的代数和为零。1流出节点的电流取”+”号，流入节点的电流取”-”号。2流出任一节点的全部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。即,一般情况下:注意：例5试求电流i(t)及其有效值相量。解：根据图(a)电路的时域模型，得图(b)所示的相量模型——将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。ii1i2(a)iS(b)图(b)相量模型中节点1的KCL方程，得那么：相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否根本正确。有效值相量ÍÍ2Í1+1jKVL:相量形式KVL：对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。相量形式为：1与回路绕行方向相同的电压取”+”号，相反的电压取”-”号。2沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说注意例6求uS(t)和相应的相量，并画出相量图。解：根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-图(b)，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得时间表达式各相量的关系如右图+1j

1电阻元件伏安关系的相量形式当电流i(t)=Imcos(

t+

i)时，电阻上电压电流关系：7-3-2电路元件伏安关系的相量形式

时域：u(t)=Ri(t)关联参考方向下电阻电压电流的相量形式或这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：(1)U=RI(2)

u=

i。相量模型图时域模型图2电容元件伏安关系的相量形式

当u(t)=Umcos(

t+

u)时电容的电压和电流是同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为电容电压电流关系为电容元件的时域模型如图(a)所示，电压电流的波形图如图(b)所示。由此可看出电容电流超前于电容电压90°。由上述推导，得在关联参考方向下电容元件电压和电流相量的关系式这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。电容元件的相量模型如图(a)所示，其相量关系如图(b)所示。(a)1j(b)或

3电感元件伏安关系的相量形式

电感上电压电流关系：推导得在关联参考方向下相量关系式:相量模型如图(a)，伏安关系的相量图如图(b)所示。例7图示电路，求:u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量。解：相量模型如图(b)，根据相量形式的KCL求电流相量根据相量形式的VCR，得：根据相量形式的KVL，得到时域表达式相量图如图(c)所示。例8图(a)所示,求：i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。解:相量模型如图(b),电压相量根据RLC元件相量形式的VCR方程求电流。相量形式的KCL，得到时域表达式：相量图如图(c)所示。1R、L、C元件VCR的相量关系

电压与电流相量间的关系类似欧姆定律，相量之比是一个与时间无关的量(单位：

)。电流、电压的参考方向关联时7-4阻抗与导纳R电阻容抗(与

成反比)XL=ωL

感抗(成正比)阻抗：可得欧姆定律的相量形式：2无源二端网络N0的阻抗和导纳导纳：显然：N0+-G、C、L元件的导纳以下G、C、L元件的导纳是一个与时间无关的量，它是一个复数。实部R—电阻分量，虚部X—电抗分量一般情况，阻抗是复数：RX|Z|

Z阻抗三角形：由于阻抗角

Z=

u-

i，阻抗的模|Z|=U/I当X>0时，

Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感；当X<0时，

Z<0，端口电流超前电压，网络呈容性，电抗元件可等效为一个电容；当X=0时，

Z=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。实部G—电导分量，虚部B—电纳分量，导纳角

Y=

i-

u=-

Z。GB|Y|

Y导纳三角形：当B>0时，

Y>0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容；当B<0时，

Y<0，端口电压超前电流，网络呈感性，电纳元件可等效为一个电感；当B=0时，

Y=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。无源网络相量模型有两种等效电路，〔1〕根据阻抗Z=R+jX得到的电阻R与电抗jX串联电路，如图(c)；〔2〕根据导纳Y=G+jB得到的电导G与电纳jB的并联，如图(e)。例9图示网络，u(t)=10cos(5t+36.9°)V,i(t)=2cos(5t)A。试求网络的输入阻抗、导纳及等效电路。解：输入阻抗N0+-0.6H4

5/3H0.16S3分析RLC串联电路相量模型如图(b)所示。等效阻抗其中：=R+jX当X=XL-XC>0时，

Z>0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为R串联电感；当X=XL-XC<0时，

Z<0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为R串联电容；当X=XL-XC=0时，

Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为R。电压三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z(串联电路选取电流为参考相量)例10

u(t)=10cos2tV。试求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：相量模型如图(b)所示。等效阻抗相量电流RLC元件上的电压相量相量图如图(c)。u(t)超前i(t)45°，该RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即具有电感性。4分析GCL并联电路

相量模型如图(b)所示。等效导纳当B=BC-BL>0时，

Y>0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为G并联电容；当B=BC-BL<0时，

Y<0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为G并联电感；当B=BC-BL=0时，

Y=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为G。电流三角形如下：容性BC>BL感性BC<BL

Y

Y(并联电路选取电压为参考相量)例11求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。:解相量模型如图(b)。等效导纳：求相量电压：从相量图(c)看各电压电流的相量关系.如端口电流的相位超前于端口电压36.9°，RLC并联网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性5阻抗的等效化简〔1〕串联分压公式〔2〕并联分流公式阻抗运算与电阻等效化简的方法相同；导纳运算与电导等效化简的方法相同。7-3,7-5(1),7-6(3)7-11,例12求图(a)网络在

=1rad/s和

=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。解：

=1rad/s时的相量模型如图(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效电路如图(c)所示同理，

=2rad/s时的相量模型如图(b)所示，求得等效阻抗为等效电路如图(e)，相应的时域等效电路为一个0.5Ω的电阻与1/3F电容的串联。例13试求等效阻抗和相应的等效电路。解：相量模型如图(b)。设在端口加电流源，用相量形式KVL方程求电压相量等效阻抗为等效电路如图(c)所示。L=0.06H7－5正弦稳态的相量分析

相量形式的两类约束关系与时域相同:(1)KL相量形式与时域相同.(2)元件(RLC)的VCR相量形式与时域电阻VCR(欧姆定律)相同.可以将电阻电路分析方法推广到正弦稳态的相量法:电压电流用相应的相量替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。

2，时域模型中RLC元件的参数，用相应的阻抗(或导纳)表示:R→R或G一画电路