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文档简介

第十章双线性函数§10.1

线性函数§10.2

对偶空间§10.3

双线性函数§10.4

对称双线性函数一、对偶空间与对偶基二、对偶空间的有关结果§10.2对偶空间10.2

对偶空间一、对偶空间与对偶基1.对偶空间设是数域上的维线性空间，表示上全体线性函数的集合，在中定义加法和数乘运算：则构成数域上的线性空间，称之为V的对偶空间，记为定义10.2

对偶空间1.对偶基设为数域上线性空间的一组基，作映射

则，且即，有，①

对任意10.2

对偶空间②线性无关.证明：设两端作用得③中任意线性函数可由线性表出.证明：，对，设则

线性无关.10.2

对偶空间10.2

对偶空间综合②与③即得定理2取定线性空间V的一组基若V上的n个线性函数满足则为的一组基.称之为的对偶基.10.2

对偶空间例.上线性空间,任意个不同实数

根据拉格朗日插值公式，有多项式

则且为的一组基.10.2

对偶空间这是因为:①线性无关.事实上，若有用依次代入上式则得:线性无关.②为基.10.2

对偶空间则线性函数满足因此是的对偶基.设是在点的取值函数：10.2

对偶空间二、对偶空间的有关结果1.

设V数域P上的一个n维线性空间，与是V的两组基，它们的对偶基分别是即，再设10.2

对偶空间其中，于是有所以，即或10.2

对偶空间因此有下述定理定理3

设与为线性空间V的两组基，其的对偶基分别为与如果则到的过渡矩阵为即，10.2

对偶空间2.

线性函数空间的同构定理4

设V为线性空间，是V的对偶空间的对偶空间，即定义映射则为同构映射.即10.2

对偶空间证：同理所以保持加法和数量乘法.10.2

对偶空间首先：是1-1对应的，若则对,即,又由的任意性，即故是单射.10.2

对偶空间空间，所以可看成上线性函数空间,与是由Th3,与同构，而是上线性函数空间，互为线性函数空间的.

注：10.2

对偶空间例1.设是线性空间的一组基,是它的对偶基，

试证：是的一组基，并求它的对偶基.（用表示）10.2

对偶空间非退化.故是的一组基.它的对偶基解：而10.2

对偶空间例2.设是一个线性空间，是中的非零向量

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