2025届新高考数学精准复习正弦定理

一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。

——拿破仑2025届新高考数学精准复习

正弦定理

（1）在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？导入新课.B.A

（2）在当代，某通信公司拟布设电缆，需测定河岸A点到对岸B点的距离，如何测定呢？导入新课赢在高考考纲要求考向预测

从内容上看，解三角形的考题主要从以下三个方面考查：一是直接使用正、余弦定理解三角形；二是正、余弦定理及面积公式与三角函数相结合，体现正、余弦定理的工具性作用；三是正、余弦定理与向量、函数、不等式等知识的综合应用.选择题、填空题、解答题均可出现.难度属于容易题或中等题.

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.素养目标1．了解正弦定理的推导过程，强化直观想象和逻辑推理能力；2．掌握正弦定理及其基本应用，提升数据分析和数学运算能力；3．能利用正弦定理解决实际生活中的简单问题，培养数学抽象和数学建模能力．重点难点

重点：正弦定理的探索、证明及基本应用

难点：正弦定理在实际生活中的应用把握考纲要求明确素养目标突破重点难点新知探究

在初中阶段，我们已经知道在任意三角形中都有大角对大边，大边对大角，这是从定性角度描述了角与其对边之间的关系，那么，从定量角度又该如何描述角与其对边之间的关系呢？在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一般记为a，其余类似)的关系:CBAabc我们研究新问题时，是从哪方面入手的呢？不难得到:思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?研究1直角三角形探究一正弦定理D如图:在锐角三角形中：设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,得到BACabcE思考：当是钝角三角形时,结论是否还成立呢?研究2锐角三角形且仿(2)可得D此时交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB研究3钝角三角形若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图,

想一想：除了根据三角函数的定义，还可以用其他方法得到这个结论吗？向量法正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.sinsinsinCcBbAa==

说明：

1.正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角之间的一个关系式；

2.正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；三角形的元素3.每个等式可视为一个方程：知三求一.探究二解三角形

已知三角形的三角形的元素几个元素求其他几个元素的过程叫做解三角形.

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.三角形的元素解三角形我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？学以致用【思路探究】由题目已知条件，可先用内角和定理求出B，再由正弦定理求出b、c.

例1

已知两角和任意边，求其他两边和一角变式训练1A

感悟提升：解决已知两角一边类型的解题方法是：

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC中，

，A=75°，B=60°，则b等于()A.B.C.D.已知两边和其中一边的,求其他边和角对角例2

已知△ABC中，a=

，b=2,A=30°，求B、C及c.【思路探究】由题目已知条件，可以先用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角解：由

得：所以因为a<b,所以B>A=30°，所以B为锐角或钝角，所以B=45°或B=135°.当B=45°时，C=180°-(A+B)=105°，所以当B=135°时，C=180°-(A+B)=15°，所以所以B=45°，C=105°，c=√3+1或B=135°，C=15°，

.变式训练2

感悟提升：已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可先求出另一边的对角的正弦值，然后根据该正弦值求角，需对角的情况加以讨论，要看是一解还是两解，再由三角形的内角和定理求出第三个角，然后利用正弦定理求出第三边．C在△ABC中，A=60°，

，

则（

）A.B=45°或135°

B.B=135°C.B=45°

D.以上答案都不对（1）（2）探究三正弦定理的变形公式sinsinsinCcBbAa==变形公式=2R（3）=k（R为△ABC外接圆半径）

小试牛刀BDA

（1）在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？

（2）在当代，某通信公司拟布设电缆，需测定河岸A点到对岸B点的距离，如何测定呢？BA解决实