光的衍射习题(附答案)

光的衍射(附答案)一．填空题.波长A=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射到宽度a二mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹.今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d=12mm,则凸透镜的焦距f为3m..在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光(A1-589nmmm,则A2-442nm(1nm=10-9m)的蓝紫色光的中央明纹宽度为mm.3,平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上，缝后有焦距为f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕.现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm,则入射光的波长为500nm(或5义10-4mm)..当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系b=3a时，衍射光谱中第±4,±8,…级谱线缺级..一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅,用平行钠光束与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱..用波长为A的单色平行红光垂直照射在光栅常数d=2um(1^m=10-6m)的光栅上，用焦距f=m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l=m,则可知该入射的红光波长A二nm..一会聚透镜，直径为3cm,焦距为20cm.照射光波长550nm.为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于也!rad.这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于um..nm(1nm=10-9m),若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是避..用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为A1=440nm的第3级光谱线将与波长为A2=660nm的第2级光谱线重叠(1nm=10-9m)..X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d.二.计算题.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长A1和A2,垂直入射于单缝上.假如A1的第一级衍射极小与A2的第二级衍射极小相重合，试问：(1)这两种波长之间有何关系？(2)在这两种波长的光所形成的衍射图样中,是否还有其它极小相重合？解：(1)由单缝衍射暗纹公式得asin0=1Aasin0=2A由题意可知0=0,sin0=sin0代入上式可得A1=2A2(2) asin01=k1A1=2k1A2(k1=1,2,…)sin01=2k1A2/aasin02=k2A2 (k2=1,2,…)sin02=2k2A2/a若k2=2k1,则01=。1即A1的任一k1级极小都有A2的2k1级极小与之重合.

12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a=mm,平行光垂直如射在单缝上，波长入二500nm,会聚透镜的焦距f=1.00m.求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度度•解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为asin0=Ax1=ftan01-fsin0~fA/a(v01很小)单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为asin02=2Ax=ftan02~fsin0~2fA/a(v02很小)

单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度Ax1=x2-x1-f(2A/a-A/a)=fA/a=1.00xx10-7/(x10-4)m13.在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，A1=400nm,A2=760nm(1nm=10-9m).已知单缝宽度a=x10-2cm,透镜焦距£=50cm.(1)求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．(2)若用光栅常数a=x10-3cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离.解：(1)由单缝衍射明纹公式可知asin夕=7((2k+1)A=:A(取k=1)1 2 1 21asin夕=7((2k+1)A=。A2 2 2 22tan夕=x/f,tan夕=x/f由于 sin伊1-tan夕,sin^2-tan夕3所以 x1=2fA1/ax=2fA/a则两个第一级明纹之间距为Ax=x-x=|f△2/a=cm1212(2)由光栅衍射主极大的公式dsin夕=kA=1Adsin夕=kA=1A且有sin夕=tan夕=x/f所以Ax=x-x=fAA/a=cm14.一双缝缝距d=mm,两缝宽度都是a=mm,用波长为A=480nm(1nm=10-9m)的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜．求：(1)在透镜焦平面的屏上,双缝干涉条纹的间距l；(2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数.解：双缝干涉条纹(1)第k级亮纹条件：dsin3=kA第k级亮条纹位置：x=ftan31工fsin3=kfA/d相邻两亮纹的间距：Ax=xk-xk=(k+1)fA/d-kA/d=fA/d二义10-3m=2.4mm(2)单缝衍射第一暗纹：asin31=A单缝衍射中央亮纹半宽度：Ax=ftan3~fsin3~kfA/d=12mmAx/Ax=50・二双缝干涉第±5级主极大缺级.・•.在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N=9分别为k=0,±1,±2,±3,±4级亮纹或根据d/a=5指出双缝干涉缺第±5级主极大，同样可得出结论。15.用钠光(A=5nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°.若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．(2)若以白光(400nm~760nm)照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角.解：(1)(a+b)sin夕=3.a+b=3A/sin夕，夕=60°a+b=2//sin夕',夕'=30°3认/sin夕=2A'/sin夕'7=nma+b=3A/sin夕=2041.4nm伊'=arcsin(2x400/2041.4)nm (A=400nm)2矿=arcsin(2x760/2041.4)nm (A=760nm)2白光第二级光谱的张角A伊=中‘‘-伊’=25°2216.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，A1=440nm,A2=660nm.实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角夕=60°的方向上，求此光栅的光栅常数d.解：由光栅衍射主极大公式得dsincp=kA11dsinp=kA22sinp kA440k2ksinp=kA=660k=3k当两谱线重合时有P1=P2 2k369即k=2=4=6=…2k6两谱线第二次重合即是k=4，k1=6，k2=42由光栅公式可知dsin60°=6A1

1—sin60 1—sin60°x10-3mm17.将一束波长A=589nm(1nm=10-9m)的平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：⑴光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？(2)若光线以与光栅平面法线的夹角。=60°的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几条？解：(1)(a+b)sin。=kA当。=n/2时，k=(a+b)/A=,k=3又,「a=b,(a+b)sin。=2asin。=kA有谱线asin。=kA/2但当k=±2,±4,±6,…时缺级.能看到5条谱线，为0,±1,±3级.2)(a+b)(sin6+sin。)=kA,=30°,伞=±90°0=n，k=(a+b)(sin30°+sin90°)/A.取kmax=5n0=-方k=(a+b)(sin30°-sin90°)/A.取k'=-12, max•/a=b第2,4,…级缺级.・•・能看到5条谱线，为+5,+3,+1,0,-1级..波长A=600nm(1nm=10—9m)的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30°，且第三级是缺级．光栅常数(a+b)等于多少？(2)透光缝可能的最小宽度a等于多少？nn.(3)在选定了上述(a+b)和az后，求在衍射角-2v(P<2范围内可能观察到的全部主极大的级次．kA解：(1)由光栅衍射的主极大公式得a+b=诉x10-4cm(2)若第三级不缺级，则由光栅公式得(a+b)sin夕'=3A由于第三级缺级，则对应于最小可能的a,夕方向应是单缝衍射第一级暗纹：两式比较，得asin(P'=Aa=92bx10-5cm3(a+b)sin夕=kA(主极大)asin(P=k'A(单缝衍射极小)(k'=1,2,3,…)因此k=3,6,9,…缺级；a+b又「kmax= =4，实际呈现出的是k=0,±1,±2级明纹(k=±4在n/2处不可见)..在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为，若视觉感受最灵敏的光波长为A=550nm(1nm=10-9m),试问：人眼最小分辨角是多大？(2)在教室的黑板上，画的等号两横线相距2mm,坐在距黑板10m处的同学能否看清？(要有计算过程)解：(1)已知得d=3mm,A=550nm,人眼的最小分辨角为:3=A/d=2.24x10-4rad(2)设等号两横线相距Ax=2mm时，人距黑板刚好看清，则l=Ax/3=m所以距黑板10m处的同学看不清楚..—平面透射多缝光栅，当用波长A1=600nm(1nm=l0-9m)的单色平行光垂直入射时，在衍射角。二30°的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差M=5x10-3nm的两条谱线.当用波长A2=400nm的单色平行光垂直入射时，在衍射角。=30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大.求光栅常数d和总缝数N,再求可能的缝宽a.解：根据光栅公式dsine=kA1“1 k九 2x600得d=k=•oc。=x10-3nm=2.4^msin0 sin30° 片据光栅分辨本领公式R=A1/AA=kNA得N=kAl=60000kAA在e=30°的方向上，波长A=400nm的第3级主极大缺级，因而此处一定恰好是波长为A2入射光单缝衍射的一个极小出现的位置。故有：dsin30°=3A，asin230°=k'Aa=k'd/3,k'=1或2 2缝宽a有下列两种可能：当k'=1时，a=(d=Ix^m=0.8^m33当k'=2时，a=|d=|x^m=1.6^m33.某单色X射线以30°nm,它在与晶体表面掠射角为60°时，出现第三级极大.试求第一束X射线的波长.解：设晶面间距为d,第一束X射线波长为A1,掠射角e1=30°,级次k1二1； 1 1 1另一束射线波长为A=0.097nm,掠射角e=60°,级次k=3.根据布拉格公式：2 2 2第一束2dsine=kA第二束2dsin6=k1A'kAsine两式相除得A=十六高=0.168nm.1ksine12第五章光的衍射光源S以速度V沿一方向运动，它发出的光波在介质中的传播速度为v,试用惠更斯原理证明：当V〉v时，光波具有圆锥形波前，其半圆锥角为a=sin-i(-)点光源向平面镜发出球面波，用惠更斯作图法求出反射波的波前。导出格林公式(5-6)。[提示☆F=GVE。并利用恒等式V(GVE)=VGVE+GG2E土]所示的平面屏上孔径Z的衍射，证明：若选取格林函数~exp(ikr)exp(ikr')G= - r r'(r二r‘，p和p’对衍射屏成镜像关系)，则p点的场值为~Aexp(ikl)exp(ikr)E(p)= cos(n,r)doi九 乙lr在图中，设Z2上的场是由发散球面波产生的，证明它满足索末菲辐射条件。

5题图5题图九二500nm的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。5.7求矩孔夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于图样中心的强度。的单缝上以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。59证明平行光斜入射到单缝上时，单缝夫琅和费衍射强度为sin[^^(sin0-sini)]I=I{——^ °翠(sin0—sini)入式中，I0央亮纹中心强度，a式中，I0央亮纹中心强度，a是缝宽0是衍射角，1是入射角（见图）。（2）中央亮纹的角半宽度为A0=九acosi9题图在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为，所用透镜的焦距为300mm,光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？4cm的望远镜来观察10km远的两个相距的光源。在望远镜前置一可变宽度的狭缝，缝宽方向与两光源连线平行。让狭缝宽度逐渐减小，发现当狭缝宽度减小到某一宽度时，两光源产生的衍射像不能分辨，问这时狭缝宽度为？（设光波波长为550nm.）试利用第五章5-5的结果，导出外径和内径分别为a和b的圆环的夫琅和费衍射强度公式。并求出当b二a/2时。（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。12题图用望远镜观察远处两个等强度的发光点S1和S2。当S1的像（衍射图样）中央和S2的像的第一个强度零点相重合时，两像之间的强度极小值与两个像中央强度之比是？（1）一束直径为2mm的氦氖激光（九二632.8。四）自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76*103km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜倒用作为扩束器将该光束扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？人造卫星上的宇航员声称，他恰好能够分辨离他100km地面上的两个点光源。设光波的波长为550nm，宇航员眼瞳直径为4mm，这两个点光源的距离是？若望远镜能分辨角距离为3*10-7rad的两颗星，它的物镜的最小直径是？同时为了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？Nm的线距，（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？（设光波波长为550nm。）一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长九二400nm时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨本领提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨角为1’.）一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm的折射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度。钠D双线的波长为589.0nm和589.6nm。在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长为九二632.8nm，透镜焦距为f=50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离为e=，并且第4级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽;（2）第1,2,3级亮纹的相对强度。，折射率为1.5的玻璃片，设双缝间距为，缝宽为0.5m，用波长为500nm的平行光垂直入射，分析该双缝的夫琅和费衍射图样。10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm。问（1）它产生的波长九二632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度为？（2）若入射光是波长为632.8nm和波长与之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？计算光栅（光栅常数）是缝宽5倍的光栅的第0，1,2,3,4,5级亮纹的相对强度。并对N=5的情形画出光栅衍射的强度分布曲线。设计一块光栅，要求（1）使波长九二600nm的第2级谱线的衍射角，（2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长九二600nm的第2级谱线处能分辨0。02的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz）,光栅需要有多宽？证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为

丁丁‘sin”、/SinN|3、I=1(——)2(—0—)2

oap式中,a=等（sin0-sini）,P=^^d（sin0-sini）光栅形成e为衍射角，1为入射角（见图），n为光栅常数。（2）若光栅常数d>>九光栅形成主极大的条件可以写为（dcosi）（0-i）=m入m=0,土1,土2……26题图有一多缝衍射屏如图所示，缝数为2N，缝宽为a，缝间不透明部分的宽度依次为a和3a，试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。27题图一块每毫米1000个刻槽的闪耀光栅，以平行光垂直于槽面入射，一级闪耀波长为546nm。问（1）光栅的闪耀角为？（2）若不考虑缺级，有可能看见546nm的几级谱线；（3）各级谱线的衍射角是多少？260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角77012’。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空间间隔为1cm，精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。—透射式阶梯光栅由20块玻璃板叠成，板厚为1cm,玻璃折射率n=1.5,阶梯高度为，以波长500nm的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级数；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）一块位相光栅如图所示，在透明介质薄板上做成栅距为d的刻槽，刻槽的宽度与凸阶宽度相等，且都是透明的。设刻槽深度为t,介质折射率为n,平行光正入射。试导出这一光栅的夫琅和费强度分布公式，并讨论它的强度分布图样。

31题图如图所示，Z是单色点光源S发出的光波波面。试利用基尔霍夫衍射公式（5-19）,计算相对于考察点P划分的波面上第j个波带在P点产生的复振幅。设波面的半径为R,S到P的距离为R+r032题图如图所示，单色点光源（波长九=500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为和1mm的通光圆环。考察点P离光阑lm（SP连线通过圆环中心，并垂直于圆环平面）。问在P点的光强度和没有光阑时的光强度之比是多少？33题图波长九二563.3nm的平行光正入射直径D二的圆孔，与孔相距r0=1m处放一屏幕。问⑴屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？⑵要使P点变成与（1）相反的情况，至少把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？单位振幅的单色平面波垂直照明半径为1的圆孔，试利用式（5-24）证明，圆孔后通过圆孔中心的光轴上的点的光强分布为I=4sin2——九z式中，z为考察点到圆孔中心的距离。一波带片离点光源2m,点光源发光的波长九二546nm,波带片成点光源的像于远的地方，问波带片第一个波带和第二个波带的半径是多少？一波带片主焦点的强度约为入射光强度的103倍，在400nm的紫光照明下的主焦距为81cm。问（1）波带片应有几个开带；（2）波带片半径是多少？两个同频的平面波同时射向一张全息底板（设为xoy平面），它们的方向余弦分别为,cosacosB cos丫 cosa cosBcos丫、1， 1， 1）和（ 2， 产2， ’2），振幅分别为A1和庆2。（1）写出全息底板上干涉条纹强度分布的表达式；（2）说明干涉条纹的形状；（3）写出x方向和y方向上条纹间距的表达式。在图所示的全息记录装置中，若600O二-0R,是证明全息图上干涉条纹的间距为九e- 7^0；2sm（―）2式中，0是两平行光束的夹角。当采用氦氖激光记录（九二632.8nm）。并且0是100和600,条纹间距分别是多少？39题图试对于上题条件下所获得的全息图，讨论分别采用下面两种再现照明方法时衍射光波的变化：⑴再现光波的波长和方向与参考光波相同；⑵再现光波（波长仍与参考光波相同）正入射于全息图。如图a所示，全息底板H上记录的是参考点源SR（坐标为xR,yR,zR）和物电源SO（坐标为xO,yO,zO）发出的球面波（波长为九1）的干涉图样。（1）写出H平面上干涉条纹强度分布的表达式；（2）记录下的全息图，若以位于点（xp,yp,zp）的点光源发出的球面波（波长为九2）来再现（图b）,试决定像点的位置坐标。

41题图500〃加的平行光垂直照在宽度为0.025加加的单缝上，以焦距为50c加的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进项观察，求单缝衍射中央亮纹的半宽度。上题中第一亮纹和第二亮纹到衍射场中心的距离分别是多少？假设场中心的光强为I，他们的强度又是多少？O544导出单缝夫琅和费衍射中央亮纹中，强度为缝值强度的两点之间的角距离（角半宽度）的近似表示式（5-16）边长为a和b的矩孔的中心有一个边长为a’和b’的不透明方屏，试导出这种光阑的夫琅和费衍射强度公式。45题图利用单缝衍射的结果，导出棱镜的分辨本领的表示式。547平行白光射在两条平行的窄缝上，二缝相距d=l加加，用一个焦距为1加的透镜将双缝衍射条纹聚焦在屏幕上。如果在屏幕上距中央白色条纹3加加处开一个小孔，在该处检查所透过的光，问在可见光区（390nm〜780nm）将缺掉哪些波长？5.48上题中可见光区两边缘波长的二级极大之间的距离和三级极大之间的距离是多少？549根据双缝衍射原理，利用迈克耳逊测星干涉仪，可以测量星体之间的角距离。设两颗星之间的距离（相当于双缝的缝距）逐渐增大到5m时，衍射条纹的可见度变得很坏。试决定两星之间的角距离（所用光波波长为550nm）。49题图导出多缝干涉因子次极大位置表示式，并求最靠近主极大的一个次极大的数值。导出单色光正入射下，光栅产生的谱线的角半宽度的表示。如果光栅宽度为10cm，每毫米内有500条缝，它产生的波长九二632.8nm的单色光的一级和二级谱线的角半宽度是多少？上题中，若入射光是波长为632.8nm和633nm的两种单色光，透镜的焦距为50cm问两种波长的一级谱线之间和二级谱线之间的距离是多少？钠黄光包含589.6nm和589nm两种波长，问要在光栅的一级光谱中分辨开这两种波长的谱线，光栅至少应有多少条缝？波长范围从390nm到780nm的白光垂直入射到每毫米600条缝的光栅上。（1）求白光第一级光谱的角宽度；（2）说明第二级光谱和第三级光谱部分地重叠。证明当狭缝光源在以凹面光栅曲率半径为直径的圆周上时（此圆与光栅中点相切），光栅光谱也聚焦在这一圆周上。11T11T(y)=—+—cos(）。试求它的夫琅和费衍射的复振幅分布和强度分布。2mm的氦氖激光（九二632.8nm）自地面发向月球，已知月球到地面的距离为376义103km,问在月球