垂直平分线的判定

关于垂直平分线的判定线段的垂直平分线我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?回顾思考已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要证明PA=PB,而△APC≌△BPC的条件由已知故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，第2页,共49页，2024年2月25日，星期天几何的三种语言定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启智慧ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).第3页,共49页，2024年2月25日，星期天进步的标志′思考分析你能写出“定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?逆命题到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?ABP如果是.请你证明它.已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确.想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证?第4页,共49页，2024年2月25日，星期天证法一：取AB的中点C，连接P,C∵△APC与△BPC中∵AP=BPPC=PCAC=CB∴△APC≌△BPC(SSS)BPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．一题多解C∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=∠90°即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上第5页,共49页，2024年2月25日，星期天证明：过P点做PM⊥AB于M∵PM⊥AB∴∠PMA=∠PMB=90°

在RtΔPAC和RtΔPBC中，

AP=BPPM=PM∴RtΔPAC≌RtΔPBC(HL)∴MA=MB(全等三角形的对应边相等）∴P点在线段AB的垂直平分线上ABPM证法二：第6页,共49页，2024年2月25日，星期天驶向胜利的彼岸逆定理

我能行1逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?第7页,共49页，2024年2月25日，星期天回味无穷线段垂直平分线性质定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.符号语言,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).线段垂直平分线判定定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.符号语言,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).小结拓展ACBPMN第8页,共49页，2024年2月25日，星期天判断（1）如图，CD

AB于D，则AC＝BC。（）ABCD

ABCD练习一第9页,共49页，2024年2月25日，星期天

ABCD（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（）第10页,共49页，2024年2月25日，星期天1.已知线段AB（1）若CA=CB，问：过C点的直线是不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出反例.（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？练习二第11页,共49页，2024年2月25日，星期天（2）过C和D两点的直线是线段AB的垂直平分线。因为点C、点D到线段AB的两端点距离相等，它们一定都在线段AB的垂直平分线上，由“两点确定一条直线”可知过C和D两点的直线必是线段AB的垂直平分线答：（1）过C点的直线不一定是线段AB的垂直平分线，反例：如图，CA=CB，但直线CD不是线段AB的垂直平分线.第12页,共49页，2024年2月25日，星期天

2.如图，AB=AC,MB=MC上,求证：直线AM是线段BC的垂直平分线上．BACM第13页,共49页，2024年2月25日，星期天1．如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：点D在AC的垂直平分线上．证明：∵BD＋AD＝BC∴AD=BC-BD=CD∴点D在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)练习三第14页,共49页，2024年2月25日，星期天2．如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：AB＋CD＝AD＋BC．证明：∵AE＝CE，BD⊥AC∴BA=BCDA=DC(线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等)∴BA+DA=BC+DC

第15页,共49页，2024年2月25日，星期天3：如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。DCBEA解：

∴BD=AD=AD+DC+BC=AC+BC=12+7=19∵ED是线段AB的垂直平分线∴△BCD的周长=BD+DC+BC127所以△BCD的周长为19。

变式：如图，若AC=12，△BCD的周长=25，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BC。第16页,共49页，2024年2月25日，星期天4.在△ABC中,DE为BC的垂直平分线,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E,EF⊥AB于F点,EG⊥AC于G点求证:BF=CG第17页,共49页，2024年2月25日，星期天1．如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA＝PB．提示：连结AB,作AB的垂直平分线，交直线l于P,点P就是所求的点。练习四第18页,共49页，2024年2月25日，星期天2.如图,已知:AOB,点M、N.求作:一点P,使点P到AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN...MNAOB.P点P为所求作的点第19页,共49页，2024年2月25日，星期天1、已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.(1)求证：PA=PB=PC;（2）点P是否在AC的垂直平分线BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：练习五结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。第20页,共49页，2024年2月25日，星期天·2.东城新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC生活中的数学第21页,共49页，2024年2月25日，星期天回味无穷定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).小结拓展ACBPMN第22页,共49页，2024年2月25日，星期天

如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=5cm,那么EA=________,DA=____.DE=_______ABEDC（1）4cm5cm练习3cm第23页,共49页，2024年2月25日，星期天1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____

4cm

2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.10200第24页,共49页，2024年2月25日，星期天

3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______.

700或200第25页,共49页，2024年2月25日，星期天

如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.ABCDE(2)26练习第26页,共49页，2024年2月25日，星期天如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（）cm。∟ADEBCMNA.6B.7C.8D.99练习第27页,共49页，2024年2月25日，星期天习题1.4

独立作业3驶向胜利的彼岸3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDC第28页,共49页，2024年2月25日，星期天拓展：1.如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。第29页,共49页，2024年2月25日，星期天例题：如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC第30页,共49页，2024年2月25日，星期天

如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。AEDBC练习：第31页,共49页，2024年2月25日，星期天如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB第32页,共49页，2024年2月25日，星期天已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB（）.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.BACMNM’N’P练习第33页,共49页，2024年2月25日，星期天

已知:如图,在ΔABC中,AB、BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂线上吗？为什么？BACMNEFO·开启智慧这点O是三角形的

心，它到三角形三个顶点的距离相等外第34页,共49页，2024年2月25日，星期天例题：有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。ABC第35页,共49页，2024年2月25日，星期天你能找到图中相等的角吗?

如图，在△ABC中，∠C=90，AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，连接AD，若AD平分∠BAC，找出图中相等的线段，并说说你的理由。解：∵AB的中垂线DE交BC于D，交AB于E，∴EB=EA

，DB=DA

；∵AD平分∠BAC

，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE

∴AC=AE∴∠DAB=∠ABC=∠DAC，练习第36页,共49页，2024年2月25日，星期天

高速公路AB

在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L第37页,共49页，2024年2月25日，星期天基本作图：作线段的垂直平分线。已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线。ABCD作法：（2）作直线CD。

CD即为所求。(1)分别以点A、B为圆心，以大于——AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；12结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。第38页,共49页，2024年2月25日，星期天梦想成真

试一试P2721.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过点P.P●l第39页,共49页，2024年2月25日，星期天例：如图所示，AD为△ABC的高，

∠B＝2∠C，借助于轴对称的性质想一想：

CD与AB＋BD相等吗？请说明你的理由。第40页,共49页，2024年2月25日，星期天答：相等，理由如下：在DC上截取DE使DE＝DB，连接AE∵AD⊥BE且DB＝DE∴B、E关于AD对称∴△ABD与△AED关于直线AD对称∴△ABD≌△AED∴AB＝AE，∠AED＝∠B又∵∠B＝2∠C∴∠AED＝2∠C而∠AED＝∠C＋∠CAE∴∠CAE＝∠C∴AE＝CE∴AB＝CE故AB＋BD＝DE＋EC即：AB＋BD＝CD第41页,共49页，2024年2月25日，星期天二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等三、

线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合任何图形都是有点组成的。因此我们可以把图形看成点的集合。由上述定理和判定，线段的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形？问第42页,共49页，2024年2月25日，星期天角的平分线ODEABPC定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线第43页,共49页，2024年2月25日，星期天线段垂直平分线的判定：

定理：到