空间角的计算

关于空间角的计算

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。第2页,共59页，2024年2月25日，星期天空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。

空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求范围内的角；

斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是；

两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。第3页,共59页，2024年2月25日，星期天异面直线所成角的范围：

思考：结论：一、线线角：第4页,共59页，2024年2月25日，星期天所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：

所以：例一：第5页,共59页，2024年2月25日，星期天练习：在长方体

中，简解：第6页,共59页，2024年2月25日，星期天直线与平面所成角的范围：

思考：结论：二、线面角：第7页,共59页，2024年2月25日，星期天例二：在长方体中，简解：所以~~~~第8页,共59页，2024年2月25日，星期天练习：

的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为1，第9页,共59页，2024年2月25日，星期天l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：第10页,共59页，2024年2月25日，星期天

例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则有于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为第11页,共59页，2024年2月25日，星期天ll三、面面角：二面角的范围：②法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角第12页,共59页，2024年2月25日，星期天设平面

方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第13页,共59页，2024年2月25日，星期天小结：1.异面直线所成角：

2.直线与平面所成角：

第14页,共59页，2024年2月25日，星期天lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。第15页,共59页，2024年2月25日，星期天2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是n1=（1，0，1），n2=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.3.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,E为PC中点,,则PA与BE所成角的余弦值为_________.

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.

第16页,共59页，2024年2月25日，星期天2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.练习:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.6001350第17页,共59页，2024年2月25日，星期天4.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是________第18页,共59页，2024年2月25日，星期天7.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方体的边长为2，

O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM第19页,共59页，2024年2月25日，星期天

解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为第20页,共59页，2024年2月25日，星期天由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE第21页,共59页，2024年2月25日，星期天解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz

在坐标平面yoz中

设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)为面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值为

方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第22页,共59页，2024年2月25日，星期天8.①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体的边长为2，

O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第23页,共59页，2024年2月25日，星期天②B1A1C1D1DCBAOMxyz第24页,共59页，2024年2月25日，星期天习题课例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABDPEFC例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABDO第25页,共59页，2024年2月25日，星期天例3如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。DBACEP例4（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。第26页,共59页，2024年2月25日，星期天1.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方体的边长为2，

O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM练习：第27页,共59页，2024年2月25日，星期天

解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为第28页,共59页，2024年2月25日，星期天由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE第29页,共59页，2024年2月25日，星期天解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz

在坐标平面yoz中

设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)∴可取＝(1,0,0)为面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值为

方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第30页,共59页，2024年2月25日，星期天8.①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体的边长为2，

O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第31页,共59页，2024年2月25日，星期天②B1A1C1D1DCBAOMxyz第32页,共59页，2024年2月25日，星期天例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF第33页,共59页，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG第34页,共59页，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZG(2)求证：PB⊥平面EFD第35页,共59页，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。第36页,共59页，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZ第37页,共59页，2024年2月25日，星期天第38页,共59页，2024年2月25日，星期天例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz第39页,共59页，2024年2月25日，星期天SABDOC证明：(1)取BC中点O，连接OA、OS。第40页,共59页，2024年2月25日，星期天(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为第41页,共59页，2024年2月25日，星期天例3如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。

DBACEPxzy第42页,共59页，2024年2月25日，星期天解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设BE=m，则第43页,共59页，2024年2月25日，星期天例4（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。第44页,共59页，2024年2月25日，星期天解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为

第45页,共59页，2024年2月25日，星期天（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又所以点E到平面ACD的距离第46页,共59页，2024年2月25日，星期天例5、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。(1)证明：PA//平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz第47页,共59页，2024年2月25日，星期天ABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点第48页,共59页，2024年2月25日，星期天(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为第49页,共59页，2024年2月25日，星期天

方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第50页,共59页，2024年2月25日，星期天1、如图，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值

(2)OS与面SAB所成角的余弦值

(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【练习】

第51页,共59页，2024年2月25日，星期天OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值第52页,共59页，2024年2月25日，星期天OABCSxyz1、如图，已知