圆锥曲线：高考大题第一类题型 弦长面积问题

第一类题型弦长面积问题1．(本小题满分14分)已知椭圆U上+22=1(a>b>0)的离心率是二,且过点P«2,1).直线广2XX+ma2b2 2 2与椭圆C相交于AB两点.(I)求椭圆C的方程；(11)求^PAB的面积的最大值；(III)设直线PA,PB分别与y轴交于点M,N.判断IPMI,IPNI的大小关系，并加以证明．2.(本小题14分)已知椭圆C：二+22=1,直线l：x+y—2=0与椭圆C相交于P,Q两点，3mm与x轴交于点B,点P,Q与点B不重合.(I)求椭圆C的离心率；(II)当S八OPQ=2时，求椭圆C的方程；(III)过原点O作直线l的垂线，垂足为N,若PN=九|BQ|，求人的值.3．(本小题共14分)已知椭圆C:二+22=1(。>b>0)离心率等于1,P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两a2b2 2点.(I)求椭圆C的方程；1A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为-，求四边2形APBQ面积的最大值.4．(本小题满分14分)已知椭圆C:mx2+3m>=1(m>0)的长轴长为2M，O为坐标原点.(I)求椭圆C的方程和离心率；(II)设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若IBA曰BPI，求四边形OPAB面积的最小值.5．(本小题共14分)已知椭圆C：x2+y2=1,F为右焦点，圆o：X2+y2=LP为椭圆C上4一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F,T在OP两侧.(I)求椭圆C的焦距及离心率；(II)求四边形OFPT面积的最大值.6.(本小题13分)已知抛物线C：y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点。的不同的两点，其中。为原点.(I)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(II)若OA±OB，求4AOB面积的最小值.答案解析第一类题型弦长面积问题1．（本小题满分14分）解：（I）设椭圆C:二+£=1（a>b>0）的半焦距为c.a2b2因为椭圆C的离心率是北,2所以2=竺士=1.b2」，即a2=2b2.[1分]a2 a2 a22a2=2b2,21一+~T=1，Ia2 b2解得r2=4，［3分］

、b2=2.所以椭圆C的方程为=+£=1.［4分］4 2(II)将y=—x+m代入x2+y2=1,2 4 2消去y整理得x2+2mmx+m2一2=0.［5分］令A=令A=2m2—4(m2—2)>0，解得—2<m<2.点 P«2,1) 到直线 x—、.2yy+,/2m=0 的距离为d=出一应+^m|=收m|vl+2一d=［8分］所以△PAB的面积S=2|AB|.d=弓|mI.工/4—［8分］=•\：-(m2—2)2+4wv'2，/^2当且仅当加二±五时，s=近.所以的面积的最大值是行\PM\=\PN\.证明如下：［10分］TOC\o"1-5"\h\z设直线B4,朋的斜率分别是人k,1 2贝麋+k 八一?("「心)■"I分］2X-五X-V2 (x-V2)(x-V2)1 2 1 2由(II)(y—1)(%-^2)+(y-l)(x—^2)1 2 2 1五 五=(——x+m-l)(x-近)+ +m-1)(%-五)1 2 22 1=41xx+(m-2)(%+%)—2万(m-1)12 1 2=V2(m2-2)+(m-2)(—鬲)-2近(m-1)=0,所以直线BA,的倾斜角互补."3分】所以/1=/2，所以ZPMN=ZPNM-所以IPM\=\PN\.［14分］2.(本题共14分)解：(I)a2=3m?。2=机，。2=2机，TOC\o"1-5"\h\zC22,, 7662=——=—,故e=—.(22 3 3(II)设尸Q,y),Q(x,y)1 1 2 2产+3>2=3加,得到4x2-12工+12-3皿=0,x+y-2=Q依题意，由A=(—12)2—4x4x(12—3加)>0得小〉1.x+x=3TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2且有《 12—3根，XX= 12 4I 1\PQ\=41+左2Ix-x1=72^9-(12-3m)=疵｛m-1,原点到直线/的距离d=&

1 1 一. -所以S二IPQI-d二x46Mm-1x<2=2AOPQ2 2解得m二3>当t=0时，S最大为12<3当t=0时，S最大为12<3（III）直线l的垂线为ON:y=x,y二xx+y-2二0解得交点MU），因为IPN|=X|BQ|，又x1+x2=3所以入=所以入=X2一2X2一23.（本小题共14分）解：（I）因为e二c所以a2=4c2,b2=3c2设椭圆方程为二+二二1,代入（2,3），得c2二4,a2二16,b2二124c2 3c2椭圆方程为Q*1(II)设A(x,y),B(x,y)1 1 2 2设AB方程为J，代入化简得：x2+tx+12-12二设AB方程为Jx2+”二1〔1612A=12—4(12—12)>0,-4<t<4x+x二一t1 2 ，又P(2,3),Q(2,-3)xx=12-1212S=S+S13分APBQ NAPQ N13分3\'(x+x)2-4xx=3<48-3t2

1 2 12TOC\o"1-5"\h\z4(1)解：由题意，椭圆C：.+十=1,m 3m所以a2=—,b2=—,m 3m故2a=2 =2<6，解得m=—,mm 6所以椭圆C的方程为三+y 1 —2y2—3=—x3xI 1 —2y2—3=—x3xIyI+x3xI―y—I 0 2 2y0因为c=aa2-b2=2,所以离心率e=C=且.a3(II)解：设线段AP的中点为D,因为IBA1=1BPI，所以BD1AP,由题意，直线BD的斜率存在，设点P(%,y)(y丰0)，00 0则点D的坐标为(—,y0),且直线AP的斜率k=」,APx—30所以直线BD的斜率为—工=",kyAP0所以直线BD的方程为：y—-yo-=-~%0(x—%0+)).TOC\o"1-5"\h\z2y 20令x=0，得y=%0+"—9，则B(0,%0+y0—9),2y 2y00由%2+y2=1，得x2=6—3y2,

62 0 0化简，得B(0,—2y二).2y0所以四边形OPAB的面积S=S+SOPAB AOAP AOAB

3 ~2y2-3=-(Iy1+1-—I)2 0 2y0=—(21yI+) 2。x2.21yIx--- =3<3.2 02IyI2 02IyI0 0当且仅当2y=2，即y=±ne[-、2氏]时等号成立.02yo20所以四边形OPAB面积的最小值为3<3.解：5.海淀理（本小题共14分）解：(I)在椭圆C：—+y2=1中，a=2,b=1,4所以c=aa2-b2=J3，故椭圆C的焦距为2c=2<3,离心率e=c=二.a2TOC\o"1-5"\h\z(II)法一：设P(x,y)(x>0,y>0),00 0 0则X0-+y2=1,故y2=1-X0-. •••・6分40 0 43所以ITPI2=IOPI2-IOTI2=x2+y2-1=-x2,0 0 40所以ITPI=3Lx, 8 分20S =-IOTI-ITPI=亘x.・・9分AOTP2 4 0又O(0,0),F(J3,0),故S=1OFl-y=3yy 10 分AOFP2 0 2 0因此S=S+S=亘(%+y) 11 分四边形OFPT AOFP AOTP 2 2 0x2由-0-+y2=x2由-0-+y2=1,

40得哈.y2V1，即x0-y0V1，13分14分所以s =宜-"7713分14分四边形OFPT2 % 00 2当且仅当铝y厂2，即x0=区y0=言时等号成立•・・兀(II)法二：设P(2cos仇sin6)(0<0<-), 6分2则ITPI2=IOPI2-IOTI2=4cos20+sin20-1=3cos20,

所以ITP1=v13cos0,S=1IOTI-ITPI=^3cos0.TOC\o"1-5"\h\zAOTP2 2又O(0,0),F(®0),故s=1OFI-y=逆sin0.AOFP 2 0 2因止匕S =S+S= -(cos0+sin0)四边形OFPT AOFP AOTP 2=且sin(0+?)<运,2 4 214分当且仅当0=：时，即x=\；2,y=更时等号成立.14分4o o26.解：(I)由抛物线C：y2=2px经过点P(2,2)知4p=4，解得p=1则抛物线C的方程为y2=2x.抛物线C的焦点坐标为抛物线C的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x=-24分(II)由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x=ty+a，,x=ty+a，一,由< 消去x，得y2—2ty—2a=0.y2=2xTOC\o"1-5"\h\z设A(x,y),B(x,y)，则y+y=21,yy=—2a.1 1 2 2 1 2 12因为OA±OB，所以xx+yy=0