高等数学 课件 3.2 函数的单调性 3.5 函数的性态与作图

第三章微分中值定理及导数的应用3.2函数的单调性3.5函数的性态与作图（1）目录二、函数的极值三、函数的最值一、函数的单调性一、函数的单调性定理1

设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]上连续，在开区间

(a,b)

内可导.

则函数

y=f(x)在[a,b]上单调增加(或减少)的充要条件是.一、函数的单调性证明充分性在[a,b]上任取两点x1,x2，不妨设x1<x2，则由拉格朗日中值定理知

因此f(x)在[a,b]上单调增加.

因此f(x)在[a,b]上单调减少.

一、函数的单调性

因为f(x)在开区间

(a,b)

内可导

一、函数的单调性定理2

设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]上连续，在开区间

(a,b)

内可导.(2)若在(a,b)内f

(x)<0，则函数y=f(x)在[a,b]上严格单调减少.(1)若在(a,b)内f

(x)>0，则函数

y=f(x)在[a,b]上严格单调增加.

一、函数的单调性

一、函数的单调性解

(1)该函数的定义区间为(,)(2)

f

(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，令f

(x)=0，得

x1=-1，x2=2

(3)列表讨论如下：

x(,-1)(-1,2)

(2,)

f

(x)

-

f(x)

所以(-∞,-1)和(2,+∞)是f(x)

的递增区间,(-1,2)是f(x)

的递减区间.一、函数的单调性例1解单调区间为一、函数的单调性

作答主观题10分二、函数的极值定理

3充分条件I---单调法则

设函数

f(x)在点x0的左右近旁可导，若当x

在x0的左右，f

(x)改变符号，则函数f(x)在点x0取得极值，且,)(xf,，则(1)如果),,(00xxxd-Î有;0)('>xf而),(00d+Îxxx有0)('<xf，则)(xf在x0处取得极大值

(2)如果),,(00xxxd-Î有;0)('<xf而),(00d+Îxxx有0)('>xf在0x处取得极小值(3)如果当),(00xxxd-Î及),(00d+Îxxx时)('xf符号相同则)(xf在0x处无极值二、函数的极值

例4求函数的极值.解令得

二、函数的极值二、函数的极值例3求函数

f(x)=(x-1)3

的极值.解

（3）列表讨论如下：二、函数的极值x(-,0)f

(x)0+不存在-0+f(x)极大值03二、函数的极值定理

4充分条件II---二阶导符号法则

(1)若f

(x0)<0,则f(x0)

为函数f(x)的极大值，

x0为极大值点；

(2)若f

(x0)>0，则f(x0)

为函数f(x)的极小值，

x0为极小值点.若f

(x0)=0，且f

(x0)

0，

则函数f(x)在点x0取得极值，且设函数

f(x)在点x0的二阶导数存在，若二、函数的极值例6求函数

f(x)=x4

–10x2+5

的极值.解(1)f(x)的定义域为(-

,

+

).(2)f

(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，令f

(x)=0,得驻点(3)因为

f

(x)=12x2

–20，于是有所以函数f(x)在点x=0

取得极大值f(0)=5,

作答主观题10分三、函数的最值

在实际问题中常会遇到求函数的最大值与最小值问题．下面我们在函数极值的基础上讨论如何求函数的最大值与最小值．

三、函数的最值

分析：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在[a,b]上一定有最大值和最小值．显然，在所设条件下，f(x)在闭区间[a,b]的最值只可能在极值点和区间的端点处达到．

又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值．

1.函数在闭区间上的最大值和最小值三、函数的最值

三、函数的最值例7求函数

f(x)=2x3–9x2+12x+10在[0,3]上的最大值和最小值.解

f

(x)=6x2–18x

+12=6(x–2)(x–1),

令

f

(x)=0，得驻点x1=2,x2=1.计算f(x)在所有驻点及端点处的函数值：f(1)=15,f(2)=14,f(0)=10,f(3)=19,比较这些值的大小，可知，

在[0,3]上，函数f(x)的最大值为f(3)=19,最小值为f(0)=10.三、函数的最值实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;三、函数的最值例8某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每