微专题5　二次函数的综合应用 课件 2023-2024学年人教版数学九年级上册

1课堂学练微专题5二次函数的综合应用2分层检测二次函数的最值综合问题类型1：1．【例】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，－3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）若点M是抛物线在x轴上方的部分上的一点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点E，B两点．与y轴

交于点A（0，5），的顶点坐标为（2，9）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当x为何值时，y＞0?

解：(1)设y＝a(x－2)2＋9，由条件得a(0－2)2＋9＝5，解得a＝－1，∴y＝－(x－2)2＋9，即y＝－x2＋4x＋5；(2)由－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝5，x2＝－1，∴当－1＜x＜5时，y＞0；（3）过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，点P为线段AC上方的抛物线上的一点，作PD∥y轴，交AB于点D，求四边形APCD面积的最大值．

3．【例】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）.对称轴为直线x＝1,BC交

抛物线的对称轴于点P.

（1）求此抛物线的解析式；

二次函数与等腰三角形（或直角三角形）相关的问题类型2：（2）求点P的坐标；

（3）点M是抛物线的对称轴上一点，且△ACM是等腰

三角形，求点M的坐标．4.如图．抛物线y＝－2x2＋bx＋c过A（－1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC.

（1）写出不等式－2x2＋bx＋c＞0的解集；

（2）求抛物线的解析式；

解：(1)－1＜x＜3；（3）点P是抛物线对称轴上一动点，且△PBC是以BC为直

角边的直角三角形，求点P的坐标．

(3)由抛物线的解析式知点C(0，6)，又对称轴为直线x＝1，设点P(1，m)，由勾股定理得：BC2＝32＋62＝45，PB2＝(3－1)2＋m2＝4＋m2，PC2＝1＋(m－6)2，当PB是斜边时，则45＋1＋(m－6)2＝(3－1)2＋m2，解得：m＝6.5；当PC是斜边时，则45＋(3－1)2＋m2＝1＋(m－6)2，解得：m＝－1；∴点P的坐标为(1，6.5)或(1，－1).5.如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）和点C，与y轴交于点B，顶点为E（1，－4）.

（1）求抛物线的解析式；

A基础解：(1)设y＝a(x－1)2－4，则a(－1－1)2－4＝0，解得a＝1，∴y＝(x－1)2－4即y＝x2－2x－3；（2）点D为y轴上一点，且DC＝DE，求点D的坐标．

(2)由x2－2x－3＝0解得x1＝－1，x2＝3，∴C(3，0)设D(0，y)由勾股定理得CD2＝9＋y2，DE2＝(y＋4)2＋1，则9＋y2＝(y＋4)2＋1，解得y＝－1，∴D(0，－1).6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，点M是y轴上一点，若∠AMD＝90°，求点M的坐标．

(2)∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴D(－1，－4)设M(0，y)，由勾股定理得AM2＝9＋y2，DM2＝(y＋4)2＋1，AD2＝20，∴9＋y2＋(y＋4)2＋1＝20，解得y1＝－1，y2＝－3，∴M的坐标为(0，－1)或(0，－3).7.如图，抛物线y＝－

x2＋bx＋c与y轴交于点A（0，1），过点A的直线y＝

x＋1与抛物线交于另一点B（m，

），过点B作BC⊥x轴，垂足为C.点P是线段OC上的一动点．过点P作PN⊥x轴，交直

线AB于点M，交抛物线于点N.

B提升（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段MN长度的最大值．

（3）连接CM、BN.当四边形BCMN为平行四边形时，求点P的坐标．

8.如图，已知关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交

于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）.

（1）求二次函数的解析式；

C培优（2）若点P是抛物线的对称轴上一点，PC＝PB，求点P的坐标；

(2)∵知抛物线的对称轴为直线x＝2，设P(2，n)，又C(0，3)，B(3，0)，由勾股定理得PC2＝22＋(n－3)2，PB2＝(2－3)2＋n