基本初等函数的公式及导数的运算法则

关于基本初等函数的公式及导数的运算法则学习目标：1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数．

2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数

3.会求一些简单复合函数的导数.

第2页,共24页，2024年2月25日，星期天教学重点：

导数公式和导数的四则运算法则。教学难点：灵活地运用导数的四则运算法则进行相关计算教学重难点第3页,共24页，2024年2月25日，星期天知识链接基本初等函数的导数公式第4页,共24页，2024年2月25日，星期天基本初等函数的导数公式第5页,共24页，2024年2月25日，星期天例1

假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系

p(t)=p0(1+5%)t,其中为t=0时的物价.假定某种商品的=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解:p(t)=1.05tln1.05,p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.第6页,共24页，2024年2月25日，星期天思考

如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?当p0=5时,p(t)=5×1.05t求p关于t导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.如何求?第7页,共24页，2024年2月25日，星期天导数运算法则第8页,共24页，2024年2月25日，星期天例2

根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数y=x3-2x+3的导数.解:y=(x3-2x+3)＝(x3)－(2x)

＋(3)

＝3x2－2,所以，函数y=x3-2x+3的导数是y=3x2-2.第9页,共24页，2024年2月25日，星期天堂上练习求下列函数的导数：第10页,共24页，2024年2月25日，星期天例3日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%;(2)98%.第11页,共24页，2024年2月25日，星期天所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.第12页,共24页，2024年2月25日，星期天如何求函数y=ln(x+2)的导数呢?令u=x+2(x>-2),则y=lnu.y=ln(x+2)就由y=lnu和u=x+2(x>-2)复合得到.y与u的关系记作y=f(u),u与x的关系记作u=g(x)y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2).第13页,共24页，2024年2月25日，星期天许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到

对于两个函数y=f(u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x))且yx=yu

ux

y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积y=(2x+3)2y=u2u=2x+3复合y=sin(2x+5)y=sinuu=2x+5复合第14页,共24页，2024年2月25日，星期天例4求下列函数的导数:解:(1)函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有第15页,共24页，2024年2月25日，星期天(2)函数y=e-0.05x+1可以看作函数y=eu

和u=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数求导法则有(3)函数y=sin(

x+

)

可以看作函数y=sinu

和u=

x+

的复合函数.根据复合函数求导法则有第16页,共24页，2024年2月25日，星期天例

6设y=sin2x，求

y

.

解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sin

x复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.第17页,共24页，2024年2月25日，星期天求

y

.解将中间变量u=1-

x2

记在脑子中.这样可以直接写出下式例

7第18页,共24页，2024年2月25日，星期天达标练习第19页,共24页，2024年2月25日，星期天5.设f(x)

=sinx2，求

f

(x).第20页,共24页，2024年2月25日，星期天导数的四则运算法则推论

1

(cu(x))

=cu

(x)(c为常数).推论2

推论3课堂小结第21页,共24页，2024年2月25日，星期天堂上练习课本第