一阶微分方程

关于一阶微分方程一、可分离变量方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法第2页,共88页，2024年2月25日，星期天例1

求解微分方程解分离变量两端积分典型例题第3页,共88页，2024年2月25日，星期天通解为解第4页,共88页，2024年2月25日，星期天解由题设条件衰变规律第5页,共88页，2024年2月25日，星期天例4

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第6页,共88页，2024年2月25日，星期天设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:第7页,共88页，2024年2月25日，星期天即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为第8页,共88页，2024年2月25日，星期天解例5

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量第9页,共88页，2024年2月25日，星期天的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到第10页,共88页，2024年2月25日，星期天二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义第11页,共88页，2024年2月25日，星期天第12页,共88页，2024年2月25日，星期天例6

求解微分方程微分方程的解为解第13页,共88页，2024年2月25日，星期天例7

求解微分方程解第14页,共88页，2024年2月25日，星期天微分方程的解为第15页,共88页，2024年2月25日，星期天例8

抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图第16页,共88页，2024年2月25日，星期天得微分方程由夹角正切公式得第17页,共88页，2024年2月25日，星期天分离变量积分得第18页,共88页，2024年2月25日，星期天平方化简得抛物线第19页,共88页，2024年2月25日，星期天可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义第20页,共88页，2024年2月25日，星期天有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.第21页,共88页，2024年2月25日，星期天可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.第22页,共88页，2024年2月25日，星期天解代入原方程得第23页,共88页，2024年2月25日，星期天分离变量法得得原方程的通解方程变为第24页,共88页，2024年2月25日，星期天利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为第25页,共88页，2024年2月25日，星期天一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.三、一阶线性方程第26页,共88页，2024年2月25日，星期天齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第27页,共88页，2024年2月25日，星期天2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:第28页,共88页，2024年2月25日，星期天常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换第29页,共88页，2024年2月25日，星期天积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第30页,共88页，2024年2月25日，星期天解例10第31页,共88页，2024年2月25日，星期天例11如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程第32页,共88页，2024年2月25日，星期天所求曲线为第33页,共88页，2024年2月25日，星期天伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.第34页,共88页，2024年2月25日，星期天求出通解后，将代入即得代入上式第35页,共88页，2024年2月25日，星期天解例12第36页,共88页，2024年2月25日，星期天例13

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第37页,共88页，2024年2月25日，星期天解分离变量法得所求通解为第38页,共88页，2024年2月25日，星期天解代入原式分离变量法得所求通解为另解第39页,共88页，2024年2月25日，星期天四、全微分方程1.定义:则若有全微分形式例如全微分方程或恰当方程所以是全微分方程.第40页,共88页，2024年2月25日，星期天2.解法:

应用曲线积分与路径无关.通解为

用直接凑全微分的方法.全微分方程第41页,共88页，2024年2月25日，星期天解是全微分方程,原方程的通解为例14第42页,共88页，2024年2月25日，星期天解是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为例15第43页,共88页，2024年2月25日，星期天积分因子法定义:问题:如何求方程的积分因子?第44页,共88页，2024年2月25日，星期天1.公式法:求解不容易特殊地:第45页,共88页，2024年2月25日，星期天第46页,共88页，2024年2月25日，星期天2.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式第47页,共88页，2024年2月25日，星期天可选用的积分因子有解例16则原方程为第48页,共88页，2024年2月25日，星期天原方程的通解为(公式法)可积组合法第49页,共88页，2024年2月25日，星期天解将方程左端重新组合,有例17求微分方程原方程的通解为第50页,共88页，2024年2月25日，星期天解将方程左端重新组合,有原方程的通解为可积组合法例18求微分方程第51页,共88页，2024年2月25日，星期天解1整理得A常数变易法:B公式法:例19第52页,共88页，2024年2月25日，星期天解2整理得A用曲线积分法:B凑微分法:第53页,共88页，2024年2月25日，星期天C不定积分法:原方程的通解为第54页,共88页，2024年2月25日，星期天五、一阶方程的近似解法定义1第55页,共88页，2024年2月25日，星期天第56页,共88页，2024年2月25日，星期天定义2等斜线的方程为在这条等斜线上的各点处方向场画法第57页,共88页，2024年2月25日，星期天例20画出方程所确定的方向解方程的等斜线为画出五条等斜线,场示意图.第58页,共88页，2024年2月25日，星期天定义3如图，的三条积分曲线．经过点根据方向场即可大致描绘出积分曲线．第59页,共88页，2024年2月25日，星期天欧拉-柯西近似法问题:方法：近似积分法——欧拉—柯西近似法．一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分条件如下定理：第60页,共88页，2024年2月25日，星期天注意第61页,共88页，2024年2月25日，星期天第62页,共88页，2024年2月25日，星期天第63页,共88页，2024年2月25日，星期天如此一段接一段地作下去，得一条折线，称欧拉折线．第64页,共88页，2024年2月25日，星期天注意初值问题的近似解第65页,共88页，2024年2月25日，星期天例21解列表计算如下第66页,共88页，2024年2月25日，星期天第67页,共88页，2024年2月25日，星期天分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.六、小结齐次方程齐次方程的解法可化为齐次方程的方程第68页,共88页，2024年2月25日，星期天齐次方程线性非齐次方程伯努利方程第69页,共88页，2024年2月25日，星期天思考题2求解微分方程方程是否为齐次方程?思考题1第70页,共88页，2024年2月25日，星期天思考题1解答为所求解.第71页,共88页，2024年2月25日，星期天思考题2解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.第72页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题1第73页,共88页，2024年2月25日，星期天第74页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题1答案第75页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题2第76页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题2答案第77页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题3第78页,共88页，2024年2月25日，星期天第79页,共88页，2024年2月25日，星期天第80页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题3答案第81页,共88页，2024年2月25日，星期天第82页,共88页，2