幂函数的图像与性质

关于幂函数的图像与性质问题引入

(1)如果回收旧报纸每公斤１元,某班每年卖旧报纸ｘ公斤,所得价钱ｙ是关于ｘ的函数(2)如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;(3)如果正方体的边长为ｘ,正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ函数;

(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;

(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.

我们先看几个具体问题:以上各题目的函数关系分别是什么？第2页,共32页，2024年2月25日，星期天5个函数式的共同特征：(2)底数是自变量；(1)指数是常数；(3)函数式前的系数都是1；归纳概括(4)形式都是，其中是常数.第3页,共32页，2024年2月25日，星期天幂函数定义：

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，

是常数．二、新课讲解(2)底数是自变量；(1)指数是常数；(3)函数式前的系数都是1；(4)形式都是，其中是常数.第4页,共32页，2024年2月25日，星期天

练习：判断下列函数哪几个是幂函数？答案（2）（6）（8）第5页,共32页，2024年2月25日，星期天联系旧知形成区别指数函数与幂函数的对比自变量在指数位置自变量在底数位置第6页,共32页，2024年2月25日，星期天（指数函数）（幂函数）（指数函数）（幂函数）快速反应（指数函数）（幂函数）第7页,共32页，2024年2月25日，星期天这种方法叫待定系数法例题讲解第8页,共32页，2024年2月25日，星期天例2.如果函数是幂函数，求满足条件的实数m的值.解：由题意有范例讲解第9页,共32页，2024年2月25日，星期天三、五个常用幂函数的

图象和性质

(1)(2)(3)(4)(5)几何画板第10页,共32页，2024年2月25日，星期天作出下列函数的图象:x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=x第11页,共32页，2024年2月25日，星期天第12页,共32页，2024年2月25日，星期天x-3-2-10123y=x29410149第13页,共32页，2024年2月25日，星期天第14页,共32页，2024年2月25日，星期天x-3-2-10123y=x3-27-8-101827第15页,共32页，2024年2月25日，星期天

x0124012第16页,共32页，2024年2月25日，星期天第17页,共32页，2024年2月25日，星期天x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3第18页,共32页，2024年2月25日，星期天第19页,共32页，2024年2月25日，星期天第20页,共32页，2024年2月25日，星期天公共点

单调性奇偶性值域定义域y=x-1y=x1/2y=x3y=x2y=x

奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞)RR{y|y≠0}［0,+∞)［0,+∞)x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增增x∈[0,+∞)时,减x∈(-∞,0]时,减二、新课讲解第21页,共32页，2024年2月25日，星期天当a为奇数时,幂函数为奇函数,当a为偶数时,幂函数为偶函数.4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)第22页,共32页，2024年2月25日，星期天0<<1>1<0图象特点性质oyx11oyx11oyx11在[0，+∞)为单调增函数.（慢增）在[0，+∞)为单调增函数.（快增）在（0，+∞)为单调减函数.(慢减)都经过定点（1，1）第23页,共32页，2024年2月25日，星期天幂函数图象在第一象限的分布情况：＝1幂函数在第一象限的图像★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).★如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在[0,+∞)上为增函数.★

如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数，一定不过点（0,0）.★一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，a越大图像越在上方，在Y轴与直线x=1之间正好相反。第24页,共32页，2024年2月25日，星期天练习如图所示，曲线是幂函数y=xa

在第一象限内的图象，已知a分别取四个值，则相应图象依次为:________

C4C2C3C11提高训练第25页,共32页，2024年2月25日，星期天例1.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3

(3)解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5a>10<a<1a<0a=1a=0a>10<a<1a<0a=1a=0范例讲解第26页,共32页，2024年2月25日，星期天(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小.例2

用不等号填空：（1）5.1－2____5.9－2；（2）（3）若3a＞2a，则a____0。（4）1.30.5____0.51.3；1.73.5____

1.73；＝1＞＞＞＞第27页,共32页，2024年2月25日，星期天第28页,共32页，2024年2月25日，星期天从而有是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数.例4.如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的值.解：由题意有范例讲解第29页,共32页，2024年2月25日，星期天

已知函数是幂函数,并且是偶函数，求m的值。练习4：第30页,共32页，2024年2月25日，星期