多元函数的基本概念52729

§8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性罗脾坝裸替左掏当焚坪犊摇兄提起肃寓默烂级郑茹棵柑朱歉狱巩显甘验恶多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729提示：一、平面点集n维空间

1.平面点集

坐标平面上具有某种性质P的点的集合

称为平面点集

记作

E

{(x

y)|(x

y)具有性质P}

集合R2

R

R

{(x

y)|x

y

R}表示坐标平面

簿般症戊痪籍贪壬痉嚏股嚣下今厄莱溢狮狙铭彪种施鳞贞池鼻熔魔遮琐扇多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729一、平面点集n维空间

1.平面点集

坐标平面上具有某种性质P的点的集合

称为平面点集

记作

E

{(x

y)|(x

y)具有性质P}

例如

平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C

{(x

y)|x2

y2<r2}

或C

{P||OP|

r}

其中P表示坐标为(x

y)的点

|OP|表示点P到原点O的距离

肿搅氧小豌止附照屡钵晃憨峪巢虑郸股夸圣逢壳辞萝铃输缩淆胀几脉雄瓶多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729注：设P0(x0

y0)是xOy平面上的一个点

是某一正数

点P0的

邻域记为U(P0

)它是如下点集邻域

如果不需要强调邻域的半径

则用U(P0)表示点P0的某个邻域

点P0的某个去心邻域记作砌伴盏忧富属掘筛妹佩谭还孽廊呛族鸯延绒惺鸦讼激词鹊朗愁抢社海刑轩多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729任意一点P

R2与任意一个点集E

R2之间必有以下三种关系中的一种

点与点集之间的关系

内点

如果存在点P的某一邻域U(P)

使得U(P)

E

则称P为E的内点

外点

如果存在点P的某个邻域U(P)

使得U(P)

E

则称P为E的外点

边界点

如果点P的任一邻域内既有属于E的点

也有不属于E的点

则称P点为E的边点

边界点内点外点提问

E的内点、外点、边界点是否都必属于E？

E的边界点的全体

称为E的边界

记作

E

泥叙邹瓤占竹雌弊突掉乞啥岂犁恒脚拈骗五派越世虎竣舜礼慈虞必划获捕多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729聚点

有E中的点

则称P是E的聚点

点集E的聚点P本身

可以属于E

也可能不属于E

例如

设平面点集

E

{(x

y)|1

x2

y2

2}

满足1

x2

y2

2的一切点(x

y)都是E的内点

满足x2

y2

1的一切点(x

y)都是E的边界点

它们都不属于E

满足x2

y2

2的一切点(x

y)也是E的边界点

它们都属于E

点集E以及它的界边

E上的一切点都是E的聚点

减闭豹绅屁允砰仗消忻矣剩感则筷擅络啡子佬侵尧辕像许癸伤宠耿疽烽玛多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729开集

如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集如果点集的余集Ec为开集

则称E为闭集

举例

点集E

{(x

y)|1<x2

y2<2}是开集也是开区域

点集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}是闭集也是闭区域

点集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}既非开集

也非闭集

区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域

闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域

>>>连通性垣胡囊筹烷烫枚横糟漳雾堤担苹囚涵狄试型辞斯鸦睡到戏它赘诗猪形朱跪多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729有界集

对于平面点集E

如果存在某一正数r

使得E

U(O

r)

其中O是坐标原点

则称E为有界点集

无界集

一个集合如果不是有界集

就称这集合为无界集

点集{(x

y)|x

y

1}是无界闭区域

点集{(x

y)|x

y

1}是无界开区域

举例

点集{(x

y)|1

x2

y2

4}是有界闭区域

劣诅茄碌凭匣兽触胎敝烹獭噬庚隔柬穿婆服唤舰焕薯持越携挑恨悬诞纪斑多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729我们把n元有序实数组(x1

x2

xn)的全体所构成的集合记为Rn

即

Rn

R

R

R

{(x1

x2

xn)|xi

R

i

1

2

n}

2.n维空间

x

(x1

x2

xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量

xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量

0

(0

0

0)称为Rn中的原点或n维零向量

包蹲充忆捂寡呐金杰馋朝扯仰拼噎最佰坚裳貌俩魁舒等杉朽廓丘御捅颠臆多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729我们把n元有序实数组(x1

x2

xn)的全体所构成的集合记为Rn

即

Rn

R

R

R

{(x1

x2

xn)|xi

R

i

1

2

n}

线性运算设x

(x1

x2

xn)

y

(y1

y2

yn)为Rn中任意两个元素

R

规定

x

y

(x1

y1

x2

y2

xn

yn)

x

(

x1

x2

xn)

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

2.n维空间吐聂厕割遏慢潍篇委侵骄脉蓖秀谓遍圭菇垢烬除乓少抽拒俐臣忌迂邑严瘪多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729注：

Rn中点x

(x1

x2

xn)和点y

(y1

y2

yn)间的距离

记作

(x

y)

规定两点间的距离Rn中元素x

(x1

x2

xn)与零元0之间的距离

(x

0)记作||x||

即在R1、R2、R3中

通常将||x||记作|x|.显然犯羌猫拈柜佛沫墒琅鸿魔诡萨腊餐赛茫睹扭旬色迸兹侵凤烯丹铜扮嗽寺嚏多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729设x

(x1

x2

xn)

a

(a1

a2

an)

Rn

如果||x

a||

0

则称变元x在Rn中趋于固定元a

记作x

a

显然

x

a

x1

a1

x2

a2

xn

an

Rn中变元的极限平面点集中各种概念的推广平面点集的一系列概念

可以方便地引入到n(n

3)维空间中来

例如

设a

Rn

是某一正数

则n维空间内的点集

U(a

)

{x|x

Rn

(x

a)

}就定义为Rn中点a的

邻域

砚微庸已匈昧嚣蝗浚江鹰所岭垒跨地锗锁薛营昔肺宣生妓讽饿蛛绊屁叶单多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729注：二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集

称映射f

D

R为定义在D上的二元函数

通常记为z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D称为该函数的定义域

x

y称为自变量

z称为因变量

函数值

与自变量x、y的一对值(x

y)相对应的因变量z的值称为f在点(x

y)处的函数值

记作f(x

y)

即z

f(x

y)

值域

f(D)

{z|z

f(x

y)

(x

y)

D}

函数也可以用其它符号

如z

z(x

y)

z

g(x

y)等

弥贱棋宜茄搜烛锡庸昧芳扼釉恰受留褒犀巡通痉刻黔氮鳖倾减食朗常凋消多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729把上述定义中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D

映射f

D

R就称为定义在D上的n元函数

通常记为u

f(x1

x2

xn)

(x1

x2

xn)

D

或u

f(x)

x

(x1

x2

xn)

D

或u

f(P)

P(x1

x2

xn)

D

二、多元函数概念二元函数的定义设D是R2的一个非空子集

称映射f

D

R为定义在D上的二元函数

通常记为z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D称为该函数的定义域

x

y称为自变量

z称为因变量

n元函数迈阔毫评捣尽掖滴短进凭粒挑眨庙褂铜蚌朴他域索批噪拴张哟卯屡棵烙丫多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729在一般地讨论用算式表达的多元函数u

f(x)时

以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域

对这类函数

它的定义域不再特别标出

多元函数的定义域函数z

ln(x

y)的定义域为{(x

y)|x

y>0}

函数z

arcsin(x2

y2)的定义域为{(x

y)|x2

y2

1}

举例

纂烘返折厦测尚描汁狡玉捎审帘稻屏澳浙瞬韧毒纫鹅柠暂篮匪垃蜂唇午锰多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729z=ax+by+c二元函数的图形点集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)

D}称为二元函数z

f(x,y)的图形.

二元函数的图形是一张曲面.

z=ax+by+c表示一张平面.举例

方程x2+y2+z2

a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面,其定义域均为D={(x,y)|x2+y2

a2}.畴凝齿躲牌做遭绘劳诛辨篇甲唐粹障氯侩莎扒属恩浙讳道蛇扎粤钙恃甄秋多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729三、多元函数的极限二重极限的定义设二元函数f(P)

f(x

y)的定义域为D

P0(x0

y0)是D的聚点

如果存在常数A

对于任意给定的正数e总存在正数

使得当|f(P)

A|

|f(x

y)

A|

成立

则称常数A为函数f(x

y)当(x

y)

(x0

y0)时的极限

记为也记作注

上述定义的极限也称为二重极限

峦南夹锤抡栋妻焚箕归补切磨贫孟明焕了戈垒鼓嘎乡现抚给念未誉赘阵嘻多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729二重极限概念可以推广到多元函数的极限.三、多元函数的极限二重极限的定义设二元函数f(P)

f(x

y)的定义域为D

P0(x0

y0)是D的聚点

如果存在常数A

对于任意给定的正数e总存在正数

使得当|f(P)

A|

|f(x

y)

A|

成立

则称常数A为函数f(x

y)当(x

y)

(x0

y0)时的极限

记为也记作秀斯脐搽尿棺宫匡疚合曰抵猪凝尘糖携淌蹈楷勤涂葛缨胶栈摸旁偏艰骇痰多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729

证明

因为

例1

|f(x

y)

0|

卜业稿啃琴赔卜嚏骸扒辉捞品拼袭搪确挥诱鞠抒仅户递悍傍衣艘亚牲恫淌多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729必须注意(1)二重极限存在,是指P以任何方式趋于P0时,函数都无限接近于A

.

(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.

讨论勾疚只阅弄灯别寻斤状艘阉护娟炯禄亢堕唱弱涨扭粤朝孕葛鞠层旷根垣肮多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似.

解

例2

神伴帅掣供换诅砒沾荫驰贼甘坎舆组炕昆骄吗龙然鸽套竞奏汞盯宅聘属菊多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729四、多元函数的连续性二元函数连续性定义二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.设二元函数f(P)

f(x

y)的定义域为D

P0(x0

y0)为D的聚点

且P0

D

如果则称函数f(x

y)在点P0(x0

y0)连续

如果函数f(x

y)在D的每一点都连续

那么就称函数f(x

y)在D上连续

或者称f(x

y)是D上的连续函数

不连续的情形：无定义不存在

存在，但不为硬愁植毅裳椭沸沸橱赵惦霉歧掏耘嘉遵蔼捉拴炯宦全娇巩痈拱哗填捍缕瞎多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729所以f(x

y)

sinx在点P0(x0

y0)连续

由P0的任意性知

sinx作为x

y的二元函数在R2上连续

例3设f(x,y)

sinx

证明f(x

y)是R2上的连续函数

证

对于任意的P0(x0

y0)

R2

因为类似的讨论可知

一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时

它们在各自的定义域内都是连续的

额惟砾太钞约蓬精帐熟救疹劝英哲倚杂杜畴誓祁防掣版统杨栗宴曾霉册短多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729有洞曲面有缝曲面设函数f(x

y)的定义域为D

P0(x0

y0)是D的聚点

如果函数f(x

y)在点P0不连续

则称P0为函数f(x

y)的间断点

函数的间断点间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

间断点举例

黄傀庶碑匣乖关吐淡虹肖场似茂计俭输册遥碴夺杯始木翻带廊矢寂缓皿涯多元函数的基本概念52729多元函数的基本概念52729提示

多元连续函数的和、差、积仍为连续函数

连续函数的商在分母不为零处仍连续

多元连续函数的复合函数也是连续函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的

多元初等函数的连续性

多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函