抛物线的简单几何性质高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线的简单几何性质1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题．学习目标

在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.准线方程焦点坐标标准方程焦点位置

图

形

x轴的正半轴上

x轴的负半轴上

y轴的正半轴上

y轴的负半轴上y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)定义：复习由抛物线

y2=2px（p>0）有所以抛物线的范围为总结：抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线y2=2px(p>0)的有哪些几何性质：探究1：抛物线性质（一）lFKMNyxo范围抛物线在第一象限的图像对应的函数为：_______x↗y___↗≥关于x轴对称即点(x,-y)

也在抛物线上,∴抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，lFKMNyxo对称性定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。lFKMNyxo顶点定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=___.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质.lFKMNyxo离心率1归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1总结特点并说说与其他两种圆锥曲线的区别1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔lFKMNyxo探究2：抛物线的焦点弦长1设直线与二次曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线AB的斜率为k．弦长公式焦点弦长是否适用弦长公式？有没有更简单的计算方法？xOyABFDE(x1,y1)(x2,y2)|AF|＝______|AF|＝______|AB|＝_________＝______M(x0,

y0)焦点弦长公式xOyABF当AB⊥x轴时，x1=x2=x0=___|AB|＝_________＝______通径长焦点弦AB称之为通径探究2：抛物线的焦点弦长2xOyABFDE(x1,

y1)(x2,

y2)α解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!探究2：抛物线的焦点弦长2xOyABFDE(x1,

y1)(x2,

y2)α几何法公式法(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ证明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短注意:过焦点的所有弦中，通径最短；这一结论在一般圆锥曲线中也成立的!探究3：抛物线的焦点弦性质1xOyABFDE(x1,y1)(x2,y2)x1x2=

;y1y2=

;p2/4-p2证明：思路分析：韦达定理xOyABFDE(x1,y1)(x2,y2)抛物线的焦点弦性质过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p=(2)通径长为

(3)x1x2=;y1y2=;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为。xOyABFθ2x0+p2pp2/4-p290oF

[解析]如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，题型二抛物线几何性质的应用[例2]

已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，其中|OA|＝|OB|.若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．探究2：抛物线的焦点弦性质（二）练习．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(

)A．4B．－4C．p2D．－p2变式:xyOy2=2pxABlP(2p,0)(1)法1xyOy2=2pxABlP(2p,0)法2同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中点P的轨迹方程；即y02=px0-2p2，∴中点M轨迹方程y2=px-2p2(3)设OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，(4)当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(4)求△AOB面积的最小值；(5)法一：设M(x3,y3),则例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.由(1)知，y1y2=-4p2，

整理得：x32+y32-2px3=0，∴点M轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).∴M在以OT为直径的圆上

∴点M轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

评注：此类问题要充分利用(2)的结论.∴

∠OMT=90

,又OT为定线段法二：∵

AB过定点T(2p,0).例3.

A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M轨迹方程.(5)以AB为直径的圆与准线相切.lFAxyBB1pp1(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为

。90oXyFAOBA1B112345