《应用数理统计》 课件 6 方差分析

方差分析主要用来检验两个以上总体均值差异的显著程度，由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值的总体，或不同总体间的均值是否有显著性差异。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量的差异，分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数量指标差异是否显著，是非常有用的。第六章方差分析§6.1单因素方差分析进行方差分析的基本思路是：首先通过试验（试验或调查），取得不同因素、不同水平条件下被考察的随机变量的样本，然后利用样本构造统计量，检验不同条件下的几个不同总体的参数是否相等，如果参数相等的假设成立，则说明因素及水平对该变量影响不显著，反之则影响显著。6.1.1问题引入在参数假设检验中，我们经常检验两个总体分布的均值是否相同，如果有多个总体，则必须两两比较检验，十分繁琐。而方差分析（ANOVA），可以一次完成对多个总体的均值是否相同的检验：

(6.1)方差分析是检验多个总体均值是否相同，本质上是研究分类型自变量对数值型因变量的影响。在分析均值之间是否有差异时，需要借助于方差，也即是数据误差来源的分析，所以叫方差分析。第六章方差分析6.1.11、相关概念单因素方差分析的基本思想是，用方案之间的方差（服从卡方分布）与所有方案内部的方差之和（也服从卡方分布）的比值（服从F分布）与fa

的比较，来判别s个方案的均值是否相同。设有s个技术方案，各方案的试验效果如表6.1所示，问怎样判断这s个方案的效果是否有显著区别？所谓单因素，就是指只有“方案”这个变量（因素）。不同方案，就是“方案”这个变量的不同取值。单因素方差分析的目的，就是一次性地检验各个方案的均值是否相同

单因素方差分析所使用的统计量，是F统计量。第六章方差分析例1已知在一组给定的条件下种植油菜所得亩产量服从正态分布。某农场欲检验四块试验田对油菜亩产量的影响是否不相同（假定已经经过检验表明不同试验田下的油菜产量方差相等）。为此，他们对四组初始条件完全相同的油菜种子，在完全相同的其他种植条件下，分别在四块试验田种植。所得到的亩产量数据如下表。试分析不同试验田下的油菜亩产量是否存在显著性差异？（a=0.05）第六章方差分析试验田123456试验田1370420450490试验田2490380400390500410试验田3330340400380470试验田4410480400420380410通常，在方差分析中，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素。如果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。在本例中，因素就是可能影响油菜亩产量的不同的试验田。因素的不同选择方案称之为因素的水平。上例中试验田有4种不同的选择就说因素有4个水平。因素的水平实际上就是因素的取值或者是因素的分组，例如，可以在施肥量、光照时间、灌溉时长、商品包装、质量、价格和产地等方面取不同的值或分为不同的组，就表示因素选了不同的水平。方差分析要检验的问题就是当因素选不同的水平时，对结果有无显著的影响。若无显著影响，则随便选择哪一种方案都无所谓。否则就要选择最终油菜亩产量最多的一种试验田方案。第六章方差分析打开数据文件“CH6例1试验田”。（1）在数据文件“CH6例1试验田”后，点击：【分析】→【比较平均值】→【单因素ANOVA】，进入单因素方差分析模块。（2）在单因素方差分析模块主窗口（图6.1）中，选中左框的变量“亩产量”放入右边的“因变量列表”框中。（3）选中左框的变量“试验田”，放入右边的“因子”框中，如图6.1所示。（4）点击【确定】，系统输出结果，如表6.3所示。

（5）结果说明：第六章方差分析表6.3方差分析表

平方和df均方F显著性组之间7112.14332370.7141.012.412组内39811.667172341.863

总计46923.81020

6.1.2单因素方差分析的原理1数学模型方差分析的基本假定是：每个总体都应服从正态分布；各个总体的方差相同（SPSS操作时s个水平下的总体方差可不等，先进行“方差齐性检验”）；不同水平下的样本之间是相互独立的。现设单因素A的s个水平下的总体均服从正态分布，均值分别为：

，与未知，对进行估计和检验，需要重复试验。为了分析因素A的第i个水平，对进行两次分解。第一次，将分解成两部分

(6.2)式中为因素A的第i个水平下的总体均值，试验误差之间相互独立且，是因为

(6.3)(6.4)(6.5)第六章方差分析6.1.2单因素方差分析的原理第二次，再对进行分解，(6.6)式中，，称为总平均，表示因素A的第i个水平下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将其称为水平Ai的效应。由两次分解得到单因素方差分析数学模型

第六章方差分析2方差分析检验单因素方差分析的基本思想是，用方案之间的方差（服从卡方分布）与所有方案内部的方差之和（也服从卡方分布）的比值（服从F分布），与fa的比较，来判别s个方案的均值是否相同。①求各方案之间的变差SA（用各方案的均值对所有数据的总均值的离差平方和来表达）

(6.8)式中，，，为所有数据的总平均值；对应于为第i个方案的样本均值，SA的自由度是s-1。②求所有方案内部变差SE（方案i的内部变差是该方案的试验数据Xij对该方案试验数据均值的变差）

(6.9)

SE与误差项相对应，SE的自由度是n-s。

第六章方差分析③计算方案间的方差与所有方案内的方差之比

(6.10)若，则，，所以

(6.11)在上面的计算中，如果把Xij换成xij，就得到统计量F对应的值f。④做假设检验

从临界值的角度考虑，若，则表明sA较大，的平方和较大，对应的总体参数是的绝对值较大，所以，如果以a的概率（或在a水平上）拒绝H0，即至少有两个方案之间的平均效果（均值），差异足够大，方案之内的差异相对小。反之，接受H0，即不同方案的效果（均值）没有显著差异。从p值法的角度考虑，在SPSS中，F检验的判别和t检验的类似，也可以用统计值f的外侧概率p（显著性概率）与a比较大小，来判别接受还是拒绝H0。而常规的数理统计学，是用统计值（如等）与统计值的阈值（如等）比较大小，来判别接受还是拒绝。

第六章方差分析而由图6.2可知，从统计值f与a所决定的阈值的角度看，若，则表明sA较大，的平方和较大，对应的的绝对值较大，即。所以拒绝H0。即至少有两个方案之间的平均效果（均值）的差异足够大，方案之间的差异相对小。反之，接受H0，即不同方案之间的平均效果（均值）没有显著差异。由图6.2可知，与f的右侧概率p<=a是等价的，这就是SPSS的检验判别方法。图6.2单因素方差分析F检验图a

1-a

6.1.3单因素方差分析的SPSS操作1不同方案间存在显著性差异上面的例1中不同试验田方案下的油菜亩产量不存在显著性差异。所以，接下来就不用再进一步分析了，也就是采取哪种试验田方案都可以。但是如果不同试验田方案存在显著性差异呢？仍以例1为例，增加一列数据“亩产量新”，数据仍见“CH6例1试验田”。（1）点击：【分析】→【比较平均值】→【单因素ANOVA】，进入单因素方差分析模块。（2）在单因素方差分析模块主窗口（图6.3）中，选中左框的变量“亩产量新”放入右边的“因变量列表”框中。（3）选中左框的变量“试验田”，放入右边的“因子”框中。如图6.3所示。（4）点击【确定】，系统输出结果，如表6.4所示。第六章方差分析表6.4方差分析表

平方和df均方F显著性组之间136921.667345640.5569.570.001组内81078.333174769.314

总计218000.00020

2使用选项两两比较在前面的步骤（3）后增加选项操作。（5）点击【选项】按钮，系统弹出一个对话框，见图6.4。在该对话框中， 描述性：选择需要输出的统计量。 方差同质性检验：如果选择，表示要进行方差齐次性检验（Levene检验），并输出检验结果。这一选择很重要，关系到【两两比较】窗口如何读取计算结果。本例选择此项。（6）点击【继续】按钮，在主窗口中点击【事后多重比较】，见图6.5。（7）点击【继续】按钮，返回主窗口（图6.3）。（8）如果不是任何两个分别两两比较，某两个比较，或多个分组比较，可以点击【对比】按钮，弹出“对比”窗口（见图6.6）。点击该窗口中的“多项式”选项，“度”被激活，点击“度”右边的小箭头，出现下拉菜单，有线性、二次项、立方、四次项、五次项的多项式模型，可供选择，一般选择“线性”模型。第六章方差分析在“系数”的方框中，输人各组均值的系数，确定所要比较的组均值的组合。例如输入1，再输入0，点击“添加”，再分别输入0和-1，点击“添加”，就完成了一个组合(1,0,0,-1)，表示要对照检验“1=试验田1”的平均亩产量与“4=试验田4”的平均亩产量有无显著性差异。点击【下一页】，再输入(1,-1,-1,-1)，表示要对照检验“1=试验田1”的平均亩产量与“2=试验田2”、“3=试验田3”、“4=试验田4”之和的平均亩产量有无显著性差异。（9）点击【确定】按钮，输出结果见下面的表格。由于显著性概率，表示4个组的数据都不具有方差齐性。这里的方差同质性检验请参照上一章5.4.2节的内容。由于在前面的检验中，得知四种试验田方案下的亩产量平均值存在显著性差异，所以，在进行方差同质性检验之后，下面的表6.6给出了两两对照的结果。第六章方差分析表6.5方差同质性检验表Levene统计df1df2显著性4.717317.0141第六章方差分析

表6.6两两多重比较结果

(I)试验田(J)试验田平均差(I-J)标准错误显著性95%置信区间

下限值上限LSD(L)试验田１试验田２-152.500*44.578.003-246.55-58.45试验田３48.50046.327.310-49.24146.24试验田４15.83344.578.727-78.22109.89试验田２试验田１152.500*44.578.00358.45246.55试验田３201.000*41.818.000112.77289.23试验田４168.333*39.872.00184.21252.46试验田３试验田１-48.50046.327.310-146.2449.24试验田２-201.000*41.818.000-289.23-112.77试验田４-32.66741.818.445-120.9055.56试验田４试验田１-15.83344.578.727-109.8978.22试验田２-168.333*39.872.001-252.46-84.21试验田３32.66741.818.445-55.56120.90Tamhane试验田１试验田２-152.50049.779.096-328.0423.04试验田３48.50035.575.768-81.38178.38试验田４15.83328.822.996-107.85139.51试验田２试验田１152.50049.779.096-23.04328.04试验田３201.000*49.642.02328.00374.00试验田４168.33345.049.056-4.52341.18试验田３试验田１-48.50035.575.768-178.3881.38试验田２-201.000*49.642.023-374.00-28.00试验田４-32.66728.585.877-140.0774.73试验田４试验田１-15.83328.822.996-139.51107.85试验田２-168.33345.049.056-341.184.52试验田３32.66728.585.877-74.73140.07由于前面已经得出了不具有方差齐性的结论，所以这里应当读取Tamhane的检验结果。假设，则由于试验田2和试验田3之间，所以试验田2、3之间存在显著性差异，该表格用*标出了两两均值之间是否存在显著性差异。接下来还可以按不同的组合进行单因素方差分析，结果如表6.7所示。前面在判断4块试验田对应的总体方差是否齐性时，得出了不具有方差齐性的结论，那么这里两两多重比较，也就是两个总体间方差的判断是否还应读取“不假定等方差”的检验结果？我们不妨和上一章学的“独立样本T检验”的SPSS结果做一下对比。第六章方差分析表6.7两两多重比较结果对比对比值标准错误tdf显著性(双尾)亩产量新假定等方差115.8344.578.35517.7272-953.17a61.123-15.59417.000不假定等方差115.8328.822.5494.803.6072-953.17a57.402-16.60511.833.000a.对比系数之和不为零。第1个组合方差的Levene检验p=0.363>a=0.05，所以读取表6.9中第一行结果，p=0.566>a=0.05，表示其组合的均值之间没有显著性差异，即试验田1和试验田4对油菜亩产量的影响无显著性差异。结果的不同反映了SPSS内部核心算法的不同。表6.10组统计量

试验田N均值标准差均值的标准误亩产量新>=217466.47113.63027.559<24432.5050.58025.290表6.9独立样本检验

方差方程的Levene检验均值方程的t检验FSig.tdfSig.(双侧)均值差值标准误差值差分的95%置信区间下限上限亩产量新假设方差相等.930.363.5998.56615.83326.426-45.10676.773假设方差不相等

.5494.803.60715.83328.822-59.17790.844表6.11独立样本检验

方差方程的Levene检验均值方程的t检验FSig.tdfSig.(双侧)均值差值标准误差值差分的95%置信区间下限上限亩产量新假设方差相等1.703.208.57619.57233.97159.014-89.546157.488假设方差不相等

.90811.354.38333.97137.405-48.044115.986§6.2无重复试验的双因素方差分析6.2.1问题引入为了理解双因素方差分析的基本思路，我们先举一个简单的例子。例23种教学法在4个不同的学校的试验结果（数据见文件“CH6例2教学法”）如下试分析不同学校的试验效果是否存在显著性差异？不同教学方法之间是否存在显著性差异？1、双因素方差分析模块的SPSS操作示例：读入数据后：（1）点击：【分析】→【一般线性模型】→【单变量】，进入单因素方差分析模块。第六章方差分析学校A学校B学校C学校D方法180903020方法290804050方法31001006040§6.2无重复试验的双因素方差分析6.2.1问题引入（2）在单因素方差分析模块主窗口（图6.7）中，选中左框的变量“试验结果”放入右边的“因变量”框中。（3）选中左框的变量“方法”和“学校”，放入右边的“固定因子”框中，如图6.7所示。（4）点击窗口右上侧的【模型】①左边的“指定模型”中的“全因子”（建立全模型，分析所有因素变量的主效应和交互效应），这是系统的默认值。由于本例题是无重复试验，不存在分析交互效应问题，所以不选择此项（点击右边的“定制”选项）。②点击【定制】（用户自定义模型），中间的“构建项”被激活，同时，左边的“因子与协变量”框中的变量也被激活。③选择所要分析的效应：点击【构建项】框中的下拉组合框小箭头，出现一个下拉菜单见图6.8。第六章方差分析§6.2无重复试验的双因素方差分析6.2.1问题引入（5）点击【继续】，回到上一个对话窗口。（6）其它选项略。（7）点击【确定】，输出结果，见表6.8所示。第六章方差分析表6.8方差分析结果因变量:试验结果

源III类平方和自由度均方F显著性校正的模型8366.667a51673.33318.825.001截距50700.000150700.000570.375.000方法800.0002400.0004.500.064学校7566.66732522.22228.375.001错误533.333688.889

总计59600.00012

校正后的总变异8900.00011

a.R平方=.940（调整后的R平方=.890）§6.2无重复试验的双因素方差分析6.2.2无重双因的算法步骤1、假设零假设：备择假设：之间不完全相等（至少有两个不等），或ai不全等于0。之间不完全相等（至少有两个不等），或bi不全等于0。2、计算（1）算行间变差

(6.12)（2）算列间变差

(6.13)（3）算总误差平方和

(6.14)（4）算总变差第六章方差分析可以证明，在无交互影响的双因素模型下，有如下结论①当H0A成立时

(6.16)②当成立时

(6.17)（5）计算2个方差之比

(6.18)(6.19)3、做假设检验对给定的a查表，若，则拒绝