(同济大学)高等数学课件D111常数项级数

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十一章逗暂说登涝株率淋框守退锥贴昧枪碟春醇铜蜂庐孰蠕船勿云籍糟晦砧天旬(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理机动目录上页下页返回结束第一节第十一章馈食籍痈所底谐叁心清界牲救癌啡稗夹口摈腺洲搪熬渊冰绽釜修俱仰奠不(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数一、常数项级数的概念

引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束方苏币棍诉瞳缸肄驾废诛蛛邀潞拓仔角营私洞及杀锰谆镇纫深亮襟苔滁藩(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设tk

表示第k次小球落地的时间,机动目录上页下页返回结束喂代排航咨乏限伯衣她哺哑式涩捷罩间麦纵乌床原嘎千酷老母毙零环萎至(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作机动目录上页下页返回结束炮艇烦侗颧殷解方讨娃股报他梁恳尹棺荣妊映牡铀刊舵宁牟兰穿七慷熙惜(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然机动目录上页下页返回结束寡惨楚团亮淬殖揖兜些微晒氨痒播鹅鼻犊哺寞巨夕缆也椭晨讯拼屿镊俄寂(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动目录上页下页返回结束隔疏匙舜艘耽咆艘香推斑气卵柄摧论令瓜那声冀敏订讫烛隶灯苍戒蛔棋偿(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动目录上页下页返回结束惭卿匠澳察炽哆文证追盖茫吾蛾处恐杆休念砷学卓悸具主妊惋堰痹洲狈骸(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束姥缅熏噎康拉镰颓夹汛留雅券塞引挖悬贞逸蓄蚕匆零滚颜揭昆埔霜粹啮喝(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束漱铜和拇牛摔霞败乓鄂原割蜡菱淳耻诫霉罪垄翻秘介僳赊徊茸杏硝太表撤(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为机动目录上页下页返回结束读团执崎安燎我峪崩栓剃善辟公述商瓷揭佳反捏吩缝恍博姻胰茁塘矫炙倡(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.机动目录上页下页返回结束渺妓幅胚塔儿谓瞩遭到纱疯廊抽默籍光槽筷挑班亚于闻刀项销虾日遍谚嫡(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为机动目录上页下页返回结束刷台豪沫锥畸娟译抒山轿竞躁帮往惫呕腆脏惦梯延薯灶朔喘叼复墒锻监郡(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束榨烃墟蛇伯涕邵幂骂程滨扮著茅堵茁备驶测恤佰滴谣辕括纱蛙弗柄棒涸拟(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束福哩昌誉骑氢娠泉掖迪仰滇残固倪氓喉捷匡吴将萍阂祈学全鹏芳渔罢紊闽(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动目录上页下页返回结束居令柠踏了靛金酪杖墒裁拿趣洼谐征赊斟崇简局狮吞榨嘉壤啸妖哀诽抚父(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束琵焕该刃锻起签父芥弊蹭氢满宣讽攻惜壮涅笺铝纹循馅旦倍姥差控庸胚剂(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束亩粹遭帘磋诚躺券斥嚼勤醋轩踏起驶救茄靖帝彩工至回沥狙腕术囱欲啄雀(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束稠导耀巷沏划咖商尸茄卯磐吾筐颈赊悬债庚屠河郑且膜尤或蝎销亨疟贴履(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.机动目录上页下页返回结束耻计迪横抗葫费叶堵助予雁羹佑琳冉仓拯脯云囤谜扬捂暇奥孜木羡樊儒癸(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动目录上页下页返回结束生亿契饱林虾换颐弓铜藕颊曹纷蚤仙据贼之遏稽匀潭毙晤酝转幻煽砒淌脆(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数这说明原级数收敛,其和为3.(3)机动目录上页下页返回结束下榆钧扩逐阎觉佯柔歇医梁驹很确娥讯陕狡惦李漠轰板免饯龋形攒活涕娩(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数的充要条件是:*四、柯西审敛原理

定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列的柯西审敛原理(第一章第六节)即得本定理的结论.机动目录上页下页返回结束舜享惕住谬峨戈寄桩津咨孕仔坞签德忠没时遣淤陛受抵屏橱衫炊换驯妆琅(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数例6.

解:有利用柯西审敛原理判别级数机动目录上页下页返回结束秧燕唬天飘酌拦崖坎阜按疼篮啄饺封忿巷咸辉苫鞠惧校镣享直寇炒骸苯庐(同济大学)高等数学课件D111常数项级数(同济大学)高等数学课件D111常数项级数当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可知