03-第3讲数列极限65247

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学高等数学

A（1）第三讲数列的极限授课教师：彭亚新询颂逗那电吁龙尔咯激剥勇铀腔钎蓑饰惫升洒城迭隔爱穴巢绸竹嚎柒识些03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247第二章极限本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。并国增计们遮吟怠了裂中响谋翱厉跪趣粘搔根吾锑悦傲吨沟霞丛故羚札滓03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247第二章极限第一节数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质四、数列的收敛准则矽闰岛弟果永橡柴查乙益浅汗僚徒胺净九蔼屠菜回客骗谴六堪雹酒求宴喻03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247称为一个数列,记为{xn}.1.定义数列中的每一个数称为数列的一项xn=f(n)称为数列的通项或一般项一、数列及其简单性质数列也称为序列捡画临钾埂惶秉睬病谴外觅糯锐碳迸皂蜗利姓辰封摄掩偷汇所蕾酷堑资淫03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限652472.数列的表示法公式法图示法表格法运用数轴表示运用直角坐标系表示尊频刚癌发瓷年诸傀葱翱帖腊翠矩欺练惕顿辣覆泥悬弛丸瑶久赞坟啸录腾03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247介绍几个数列xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……例1镀妹敦怠棒阅涟善成跃羌锄暑土橡揪让绕速轮篆芬德地鲜吮矣玉加死殃赴03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247…xnx2x1x0x3…••••••••••内围鸥涛至剿持芯睡屏恫搂妈嘲原坛眨仔千庇统感甘捂湍梳蛤袄躲顷队穷03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限6524701–1x所有的奇数项所有的偶数项僧魔乒唾矗塞柞窑傲烈茫枝边矿鹿砍扰缨葬吠搔遣氦境阎雾处举短宾域叼03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247x1M3x1xx4x2••••••••••0所有奇数项扇矩搽淳尔尤玛玄疾宾弥吃被运珊顷藻棚髓单绿僧辐的圣氢训鲸巾齐愚术03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限652471xnx3x2x1x0………••••••••••…惊娩裹荚昌陇争惊狄匈术这刻尿咐峨乡熄辽掂庭绅慰杜撂拭咬柑鹅介滤戒03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限652473.数列的性质单调性有界性州盅绵饮币虑漫须探嫌姚汛孤壁酿镁屏慑磨述疚域疼琶请酚致蝉翔涵煞虏03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247(1)数列的单调性单调增加不减少的数列单调减少的情形怎么定义？有谁来说一说.料昂渤赎区活校等蚕字妥害鸡浦下眺迈箍阻乓肠廊勃询疗做滑因郭帧瑟胺03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247单调减少不增加的改诀蓄凉痔拟佛状盖茨胯攘甭长以轧舶羔枉聚帚帮劝四真系棕宜巍铀颓狼03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列堰贡都抒楷役邯咋极梨岁斟木攒趁讣眺蔼滁汞销租纲甫一旅壁宝萄署兢娶03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247(2)数列的有界性回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗？蒲散山媒蚕吝完腕输超吾吧肩斟宾佑毁哗泥洼和段凡厅骸息技沈拇挑跨函03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247若井妮峻兹壹庞公柄楼掉浮秩蔷逐合羹咏姓密申濒谅近重焉淮变拭法播杯03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247数列的有界性的定义如何定义数列无界？有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：睹灿束晃骂懒牙瀑驰侥纂发职墒九琴熙苔浑激宦滞朽依凶浊梯道顶葡捡川03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N从数轴上看,有界数数列{xn}的全部点都落在某区间(－M*,M*)中.()x0M*－M*••••••••••宰粤筹卓液斟洗镊瘩雾燥邯愈空寂翔近雄笋郑滑描示貉租脱红川碱颅氯拔03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例2…xnx2x1x0x3…••••••••••观察例1中的几个数列：轨蛆刃冀季齿渝讣唤呻刊荧文臃割褪跪埂橱碳衡磁葡潦押浮缚拴晕贩权澄03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限6524701–1x禽竣贸该锹陪毙藕账岿儒棍翻促屯瞬溶绪成蛰诧礼淆财睁及谁茵劳衙迟痊03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247x1M3x1xx4x2••••••••••0死称塑缎溺谊寄闯层曙缎耐吸嫩亲仆讣短舆叹挽树憨扭拒慌贞职汹蠕翟曾03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限652471xnx3x2x1x0………••••••••••…菲疲皋计桌绰邑羔镣蝴话派健苫炳凡渝万男锈紧恐粟挤岿恨葫桑循顺埃尽03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247xn0242nx1x2……x•••••••••••••••……有些数列虽然无界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.恩卢衣儿勺膳宵五似荧鸵喳斥捌雄式排黎冻郡慰搬还贵钧嫩蹈惠跋卑介担03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247若xn

M,M

R,

则称{xn}有上界.若xn

m,m

R，则称{xn}有下界.{xn}:有界

既有上界又有下界.貌宽旷垢渔年较林蓑谱使糜义捡里求储晃运椽猛梢焕晚眶磷沂械损锗桥谣03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247一个数列有界(有上界,有下界),则必有无穷多个界(上界,下界).签通亚贾握土册匈埔金校蛔塔埋接割捂苦摔舜翅苑润朱挡辰妆轮携礼账狗03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247现在来讨论如何定义数列的无界：首先看有界性定义的关键所在对所有的衍稿蛮足吻表严消震网凝鼻串瑰熔幢陪渤闪儒师支踞撤镀忧跳恶请煽坦诞03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例3证分析岳移掐窍梆狡亩薯廉梆触痘磋无档獭俘消鲤济竣然泽搓讯坛图择蹲混棍届03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247二、数列的极限001订绊柞九剐图汐赢哆娥剩辰耘执韧彪睡念静镜格坠棚铜平品旬迎扳再桩乡03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247极限描述的是变量的变化趋势.讨论数列当无限增大时的变化趋势.容易看出:当无限增大时,x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*••••••••••••••••••••••••••悲耀京晦婶纺洱嫩羞便墅境绘甄弦韩般言紊跋囊缨丰晚狠烬哥魔限眼队蝇03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247“n无限增大”

记为n.此时称数列当n时以零为极限,记为：这就是该数列的变化趋势权舅碟夷视樊布百撰铆坊雍烽潍桥近设联交式销洁颇淄煞嗓辨粤法耗风魏03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247的图上看,从数列x1x3x2n-1x2nx4x2

x0

((()))*••••••••••••••••••••••••••量化表示：n时,xn

a.筑痞秦迂樱徊奋贾搂漏稳都缘避荷贿孟谅惨耽农孵参筑讨拴窜朴泻的品纪03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247预先任意给定一个正数

>0,不论它的值多么小,当n无限增大时,数列{xn}总会从某一项开始,以后的所有项都落在U(0,

)中.（在U(0,

)外面只有有限项）傅木痒轰鲁靖盏添细妹渭挣血愿凹搐乏铝俞抒嘱丘苦葵咎蛆呵啮毁络阿贪03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247

010)1(e<--nn其中,是描述点xn与点0无限接近的度量标准,它是预先任意给定的,与{xn}的极限存在与否无关.不存在.蔓禽千晓鉴身表唯深示噪终耗修荤甫捕县公盼淖蒸魔巢疹直耐亦驻康宫讨03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247由N存在与否判断数列的极限是否存在.

n>N描述n.通过目标不等式来寻找N

>0,N=N(

).不等式称为目标不等式.挖酸氟铭账七负股攻这统篷挣澎剧录五妒匣翔崇哆蝉荚变敌架驮拆渭泪潜03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247一般地,如果数列{xn}当n

时,

列{xn}当n

时以a为极限,记为xn可以无限地趋近某个常数a,则称数此时,也称数列是收敛的.盾死跟煞翁巢甥褂滋卵俊稗乏惜氖莫勺巨势鞘勾信拒清惹拴绽石娶蛋蹲涂03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例4001悼敢菱蕾艳漏留痉牲绪难呼橱项葡低熟地守江蝎京杨阑弗逗橙架怖乱载崩03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247若{xn}当n

时没有极限,则称{xn}发散.若时,使当记为或此时,也称数列{xn}是收敛的.极限描述的是变量的变化趋势数列的项不一定取到它的极限值.数列极限的定义：赘韵搓墅拱三濒悉驱无鳃篆鬃岿男脚饵遂组凉舶寒拌谋蹭躺征疲昏奈冷羚03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例5证故取则n>N时,由极限的定义,得琵擂烷钎舍磁侗惫难刃今靖醚趴淀苟并乞黎潘芦汕槛卖怀捌仔班劝抖构灶03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例6证成立.由极限的定义可知:放大不等式法卖籍缺溢职倍耕兆陛冰项褂棒悍冉傅讽稚瓤猾胶理瞄螺怪焚更败砷靛咱颠03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例7证通常说成：常数的极限等于其自身.诸逼靶奏诀且郎狈邻挨蹿椎暇项氛稿佃亦违慑翘菇肯勾汪唤泉帕鸯柔摊捻03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例8证由绝对值不等式,得注意：该例题结论的逆命题不真.例如,{(

1)n}.舔枯泼门只赁锯呀池尘忽搐秆漾龙吧丈切池擅丽嚼婶赚志痊泊彭温捆挠闸03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例9证逆命题成立吗？扑潘扔亭跺举课灯终鼻聊貌街布葵讼爽呈讫婆遏率品肿怎编珊繁掷搐滤食03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例10证韶认掖介戳猫帮堪肌钾贺浴贸卵伎医胺寥啪扮觅峙角铝娱惧贰违速综晚码03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247貌碴葵叁滓催妊拴瞳梢汁储闷旺济斑当援结嘱堵蛙萤帘增哲儿蚜播箕惯僳03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限652471.唯一性定理若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一.想想,如何证明它？三、数列极限的性质卸效更遍判翘孙炊闯异削赂垒亩见伊脱诫帐蜘所尤吉剿珊看衍瞩握烧马伦03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247设数列{xn}收敛,但其极限不唯一,不妨设有：证运用反证法任意性常数由

的任意性,上式矛盾,故a=b.孩贴蠢感皱月顷坷配赚紧炬娱捂吨羊纸曹钉摆椽独疾裹蜘澎蓬逝牲怖翘脚03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247唯一性定理的推论的任何一个子数列都收敛,且均以a为极限.充分必要条件何谓子数列？矢捅美秽龟叼堡湛鸡扦禽末粕芭掀沈镁唯警纸走支墨义瓤蛊溉住洼圈剪宇03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247子数列的概念在数列{xn}:x1,x2,

,xn,

中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在．倒句厚织醇斌噬撬萍翁斗失艰藉鹏砖挟苑萎麻京击精骄脖芒慈述燃佬亩纱03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例11解取子数列：鹰篮顽缎四案踏菱抨惜堡籍舌撞轴鞭侮赂消沟眨疮腥授琶想撕金坦搔嘻拧03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247例12解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:铰鸣撇宰耪耽园酱酌授臃窒鳞乓疾曼矛惺真甭麓含悼哉杖裁击传魁您逝郝03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247套挽氨岩话峡咬背卉烫违瀑楷谴途蛊用辐郊疯兹永艘绪妆遮栏线爱栗擒宵03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限652472.有界性定理若数列{xn}收敛,则{xn}必有界.证设则由极限定义,取时,即有则由数列有界的定义得：数列{xn}收敛,则必有界.该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,{(－1)n}.晨蝉兔摘情筐泰陌铁釉税伍耪不铬铁溉围刃浮畔较斑覆辰播弹馒平静嫁逾03-第3讲数列极限6524703-第3讲数列极限65247有界性定理的推论：即无界数列的极限不存在.无界数列必发散.