二次曲线动弦中点轨迹问题

关于二次曲线动弦中点轨迹问题实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2(x1≠x2)则有△=b2-4ac>0曲线的参数方程

{x=f(k)y=g(k)消参F(x,y)=0abx1+x2=-cax1x2=第2页,共13页，2024年2月25日，星期天解法一:(点差法)

设A(x1,y1),B(x2,y2)AB中点P(x,y)则有x12+y12=4x22+y22=4两式相减得：

例1：直线y=x+b与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B,求弦ＡＢ中点

P的轨迹方程。（普通方程）x1-x2y1-y2k==y1+y2x1+x2-=xy-又k=1所以y=-x,又由直线与圆相交得22-<x<所以y=-x()为所求轨迹方程22-<x<第3页,共13页，2024年2月25日，星期天解法二：(参数法)

把直线y=x+b代入x2+y2=4得2x2+2bx+b2-4=0

设A(x1,y1),B(x2,y2)AB中点P(x,y)由韦达定理有x1+x2=-by1+y2=x1+x2+2b=b△=32-4b2>022-2<b<2

2x1+x22b又x==-

2y1+y22by==消去b得：y=-x()22-<x<所以y=-x()22-<x<为所求轨迹方程。第4页,共13页，2024年2月25日，星期天解法三：

设弦中点为P(x,y),由题可得OP⊥AB，当x≠0时

有KOP·KAB=-1,所以·1=-1即y=-x又x=0也适合,所以y=-x(-<x<)为所求轨迹方程。22yx解法四：(向量法)

设弦中点P(x,y),直线AB的方向向量为=(1,1)

又⊥即·=0所以x+y=0

即y=-x(-<x<)为所求轨迹方程。nopABopn22第5页,共13页，2024年2月25日，星期天●●●2yxy=x+b●●●y=-x第6页,共13页，2024年2月25日，星期天例2:过点M(-1,-1)作直线与圆x2+y2=4相交于不同两点A、B,

求弦AB中点P的轨迹方程。x2+y2+x

+y=0••••••••••M（-1，-1）••••yx2

第7页,共13页，2024年2月25日，星期天问题1:所求的两个方程各表示什么轨迹？

3.y=2x2-3,抛物线型4.x2+2y2+x+2y=0,椭圆型问题3:比较上面四题结论的异同，请猜测哪些条件对结论起了决定性的作用？1.构成动弦的直线形式2.二次曲线的形状问题4:你能否从上面的问题中探索出规律性结论吗？平行直线系所构成的动弦中点轨迹为直线型，过定点的直线系所构成的动弦中点轨迹与原二次曲线同型。

问题2:将例1、例2中的圆换为抛物线：

y=x2-2x+2或者椭圆x2+2y2=1,所求轨迹又如何？例1为直线的一部份，例2为圆。1.x=,直线型322.y=,直线型x2-第8页,共13页，2024年2月25日，星期天问题5：直线y=kx+m(k为常数）与曲线ax2+by2=1(ab≠0)相交于不同两点A、B则弦AB中点轨迹是什么类型？问题6:过点M(a、b)(a、b为常数)的直线与双曲线x2-4y2=1相交于不同两点A、B，求弦AB中点的轨迹方程？轨迹方程为x2-4y2-ax+4by=0轨迹方程为y=-,轨迹为直线型bkax第9页,共13页，2024年2月25日，星期天问题7：判断问题6中所求的轨迹是什么曲线？问题8：根据问题6、问题7修正问题4中所探索的规律性结论，并给予证明(课外完成)。(x-)2-4(y-)2=

-b2a2b2a241)-b2=0即b=±时为两直线a2a242)-b2≠0即b≠±时为双曲线型a2a24第10页,共13页，2024年2月25日，星期天小结：二次曲线动弦中点轨迹的求法一个结论(特殊到一般，简单到复杂，先猜后证)第11页,共13页，2024年2月25日，星期天作业：已知椭圆x2+2y2=2,

(1)求被点P（,）平分的弦所在直线方程；

(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。

(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨迹。1212抛物线y=x2-2x+2与直线y=mx交于P1、P2两点

(1)求线段P