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11.导数的综合应用(含答案)(高二)1.(15北京理科)已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:当时,;(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)的最大值为2.试题解析:(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为;(Ⅱ)当时,,即不等式,对成立,设,则,当时,,故在(0,1)上为增函数,则,因此对,成立;(Ⅲ)使成立,,等价于,;,当时,,函数在(0,1)上位增函数,,符合题意;当时,令,-0+极小值,显然不成立,综上所述可知:的最大值为2.考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论.2.(15年安徽理科)设函数.(1)讨论函数内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(2)记上的最大值D;(3)在(2)中,取【答案】(Ⅰ)极小值为;(Ⅱ);(Ⅲ)1.取对任意恒有,所以在上单调递增,,即.综上,当时,总存在,使得对任意的恒有.(3)当时,由(1)知,对于故,,令,则有故当时,,在上单调递增,故,即,所以满足题意的t不存在.当时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有.此时,令,则有故当时,,在上单调递增,故,即,记与中较小的为,则当,故满足题意的t不存在.当,由(1)知,,令,则有当时,,所以在上单调递减,故,故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意.综上,.解法二:(1)(2)同解法一.(3)当时,由(1)知,对于,故,令,从而得到当时,恒有,所以满足题意的t不存在.当时,取由(2)知存在,使得.此时,令,此时,记与中较小的为,则当,故满足题意的t不存在.当,由(1)知,,令,则有当时,,所以在上单调递减,故,故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意综上,.考点:导数的综合应用.4.(15年新课标2理科)设函数。(1)证明:在
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