平面向量测试题及详解

高考总复习PAGE平面向量一、选择题1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为()A．－2B．0C．1D．22．已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥a，则实数k的值为()A．－2B．－1C．1D．23．如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为()A．－3B．2C．－eq\f(1,7)D.eq\f(1,7)4．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分别为a、b，则eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB.eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bD．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝()A．－3B．－1C．1D．36．已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))()A．最大值为8B．是定值6C．最小值为2D．与P的位置有关7．设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件8.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°9．设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－2y＋1≥0，,1≤x≤2，,1≤y≤2，))则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最大值时，点B的个数是()A．1B．2C．3D．无数10．a，b是不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝011．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OE,\s\up6(→))＋μeq\o(OF,\s\up6(→))其中λ，μ∈R，则λ＋μ是()A.eq\f(8,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,3)D．112．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，则△ABC的形状为()A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．三边均不相等的三角形D．直角三角形第Ⅱ卷(非选择题共90分)填空题13．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.14．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉为钝角，则λ的取值范围是________．15．已知二次函数y＝f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(eq\r(m)，－1)，b＝(eq\r(m)，－2)，则满足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值范围为________．16.已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ，\f(1,4)))，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)满足a⊥b且(a＋b)∥c，则实数m＝________.三、解答题17．已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，eq\r(3)cosx)，函数f(x)＝a·b，x∈[0，π]．(1)求函数f(x)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.19．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(eq\f(π,4)＋eq\f(B,2))，－1)，m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝eq\r(3)，b＝1，求c的值．20．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈[eq\f(π,2)，π]．(1)求a·b及|a＋b|；(2)求函数f(x)＝a·b＋|a＋b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．21．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2asin2x，a)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,2eq\r(3)sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋b，b>a.(1)若a>0，写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(2)若函数y＝f(x)的定义域为[eq\f(π,2)，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．22．已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝6|eq\o(PN,\s\up6(→))|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－eq\f(18,7)≤eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))≤－eq\f(12,5)，求直线l的斜率的取值范围．平面向量答案1.[解a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，∵a＋b与4b－2a平行，∴eq\f(3,6)＝eq\f(x＋1,4x－2)，∴x＝2，故选D.2.[解eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.3.[解由条件知，存在实数λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝6λ,k＋1λ＝1))，∴k＝－3，故选A.4.[解析]eq\o(AF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(DE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，设eq\o(DH,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))，则eq\o(DH,\s\up6(→))＝λa－eq\f(1,2)λb，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))＝λa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)λ))b，∵eq\o(AH,\s\up6(→))与eq\o(AF,\s\up6(→))共线且a、b不共线，∴eq\f(λ,\f(1,2))＝eq\f(1－\f(1,2)λ,1)，∴λ＝eq\f(2,5)，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b.5.[解析]∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝eq\r(9＋n＋12)＝eq\r(n2＋2n＋10)，又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，∴eq\r(n2＋2n＋10)＝n＋2，解之得n＝3，故选D.6.[解析]设BC边中点为D，则eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·(2eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|·cos∠PAD＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝6.7.[解析]|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，∵a、b都是非零向量，故选B.8.[解析]由条件知|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝eq\r(5)，∵(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，∴eq\r(5)×eq\r(5)·cosθ＝eq\f(5,2)，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°.∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.9.[解析]x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2＋(y－1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．10.[解析]∵A、B、C共线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λλ1,λ2＝λ))，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析]eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，相加得eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OF,\s\up6(→))，∴λ＋μ＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).12.[解析]根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)可知A＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．13.[解析]a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×eq\f(1,2)＝1，|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，∴|a＋2b|＝2eq\r(3).14.[解析]∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－eq\f(3,2)，当a与b方向相反时，λ＝－3，∴λ<－eq\f(3,2)且λ≠－3.15.[解析]由条件知f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴m＋2<3，∴m<1，∵m≥0，∴0≤m<1.16.[解析]∵a⊥b，∴sinθcosθ＋eq\f(1,4)＝0，∴sin2θ＝－eq\f(1,2)，又∵a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ，\f(5,4)))，(a＋b)∥c，∴m(sinθ＋cosθ)－eq\f(5,2)＝0，∴m＝eq\f(5,2sinθ＋cosθ)，∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝eq\f(1,2)，∴sinθ＋cosθ＝±eq\f(\r(2),2)，∴m＝±eq\f(5\r(2),2).17.[解析](1)f(x)＝a·b＝－cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－eq\f(1,2).∵x∈[0，π]，∴当x＝eq\f(π,3)时，f(x)max＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)由(1)知x＝eq\f(π,3)，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设向量a与b夹角为α，则cosα＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,3).因此，两向量a与b的夹角为eq\f(π,3).18.[解析](1)解：∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ，∵过(4，－eq\r(10))点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－3＋2eq\r(3)，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝－3＋m2，又∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→)).19.[解析](1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴4sinB·sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(B,2)))＋cos2B－2＝0，∴2sinB[1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋B))]＋cos2B－2＝0，∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，∴sinB＝eq\f(1,2)，∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π.(2)∵a＝eq\r(3)，b＝1，∴a>b，∴此时B＝eq\f(π,6)，方法一：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.方法二：由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，∴eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(\r(3),sinA)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π，若A＝eq\f(π,3)，因为B＝eq\f(π,6)，所以角C＝eq\f(π,2)，∴边c＝2；若A＝eq\f(2,3)π，则角C＝π－eq\f(2,3)π－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴边c＝b，∴c＝1.综上c＝2或c＝1.20.[解析](1)a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)－sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝cos2x，|a＋b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)＋cos\f(x,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)－sin\f(x,2)))2)＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)cos\f(x,2)－sin\f(3x,2)sin\f(x,2))))＝eq\r(2＋2cos2x)＝2|cosx|，∵x∈[eq\f(π,2)，π]，∴cosx<0，∴|a＋b|＝－2cosx.(2)f(x)＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2)∵x∈[eq\f(π,2)，π]，∴－1≤cosx≤0，∴当cosx＝－1，即x＝π时fmax(x)＝3.21.[解析](1)f(x)＝－2asin2x＋2eq\r(3)asinxcosx＋a＋b＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋b，∵a>0，∴由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)得，kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)(2)x∈[eq\f(π,2)，π]时，2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(7π,6)，eq\f(13π,6)]，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈[－1，eq\f(1,2)]当a>0时，f(x)∈[－2a＋b，a＋b]∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝2,a＋b＝5))，得eq\b\lc\{\r