福建省竺数教研2023-2024学年高三下学期质量监测数学试题

姓名：__________________准考证号：__________________（在此卷上答题无效）绝密★启用前2024年竺数教研高中毕业班质量监测数学本试卷共19题，共6页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某批农产品的质量（单位：千克）服从正态分布，且其中质量大于0.7的数量等于质量小于0.4的数量.则下列四部分中A．质量小于0.4的农产品数量最多 B．质量大于1.09的农产品数量最多C．质量大于0.7的农产品数量最多 D．质量小于0.55的农产品数量最多2．复数满足，复数，若在复平面上对应的点在第四象限，则A．在复平面上对应的点在实轴正半轴上B．在复平面上对应的点在实轴负半轴上 C．在复平面上对应的点在第一象限内 D．在复平面上对应的点在第二象限内3．已知等差数列{an}的前n项和为，若an>0，a2＋a3＝6，则的取值范围为A．[15,20) B．[15,18) C．[12,20) D．[12,18)4..设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为m，n.若点B在m上，且BF⊥m，AB⊥n，则m与n的夹角的正切值为A． B． C．2 D．5..若函数在上有零点，则整数A的值是A．3 B．4 C．5 D．66..已知，现有均由4个数组成的甲、乙两组数据，甲组数据的平均数与方差均为m，乙组数据的平均数与方差均为n，若将这两组数据混合，则混合后新数据的方差A．一定大于n B．可能等于nC．一定大于m且小于n D．可能等于m7．一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积为A． B． C． D．.已知数列{an}，{bn}，c是常数，若{}为等差数列，{}为等比数列，则下列说法中错误的是A．{an+bn}可能为公差不为0的等差数列 B．{}可能为公比不为1的等比数列C．{}可能为公差不为0的等差数列 D．{}可能为公比不为1的等比数列二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．已知正整数x，n，其中x的因数不包含3，若的展开式中有且只有6项能被9整除，则n的取值可以是A．6 B．7 C．8 D．910．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E，F分别是边BD，C1D1上（含端点）的点，则A．当EF∥AD1时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定B．当A1F∥CE时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定C．当C1E∥平面ADF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定D．当平面AED1∥平面A1CF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定11．小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西30°方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动.若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是A． B．.C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在△ABC中，，若，则A的取值范围是_________．13．设a，b均为单位向量，且|a|，|a-b|，|a+b|可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件的a·b的值_________．14．已知抛物线W：y²=2px，A(－2,0)，B(2,0)，C(4,0)，过B的直线交W于M，N两点，若四边形AMCN为等腰梯形，则它的面积为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数在(1，f(1))上的切线在y轴上的截距为．（1）求a的值；（2）若有且仅有两个零点，求b的取值范围．16．（15分）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”.求甲发生的概率；证明：甲与乙相互独立.17．（15分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，AB⊥BC，AB=3，，已知二面角P－AB－C的大小为，∠PAB=.（1）求点P到平面ABC的距离；（2）当三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，求：（Ⅰ）二面角P－AB－C的余弦值；（Ⅱ）直线PC与平面PAB所成角.18．（17分）已知数列{an}的前n项和为，a1＝1，数列{bn}满足，且an，bn均为正整数.是否存在数列{an}，使得{bn}是等差数列？若存在，求此时的；若不存在，说明理由；若，求{an}的通项公式.19．（17分）一个面积为9的正方形的四个顶点均在以坐标原点为中心，以(3,0)为右顶点的椭圆Z上.（1）求Z的方程；（2）记该正方形在第一象限的顶点为P，斜率为的直线l与Z交于A，B两点.记△PAB..的外接圆为S.（Ⅰ）求S的半径的取值范围；（Ⅱ）将Z与S的所有交点顺次连接，求所得图形的最大面积.数学试题参考答案（客观题部分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D2．C3．A4．B5．C6．B7．A8．B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AB10．AD11．BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．，，，（任填其一即可）14．姓名：__________________准考证号：__________________（在此卷上答题无效）保密★启用前2024年竺数教研高中毕业班质量监测数学参考答案及评分细则（选填部分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某批农产品的质量（单位：千克）服从正态分布，且其中质量大于0.7的数量等于质量小于0.4的数量.则下列四部分中A．质量小于0.4的农产品数量最多 B．质量大于1.09的农产品数量最多C．质量大于0.7的农产品数量最多 D．质量小于0.55的农产品数量最多【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查正态分布等基础知识；考查抽象概括与运算求解能力．体现基础性与应用性，导向对发展数学抽象、数学运算等核心素养的关注【试题解析】由正态分布的定义知，正态分布曲线的对称轴处该批农产品的数量最多。其对称轴，质量小于0.55的农产品数量最多故选D.2．复数满足，复数，若在复平面上对应的点在第四象限，则A．在复平面上对应的点在实轴正半轴上B．在复平面上对应的点在实轴负半轴上 C．在复平面上对应的点在第一象限内 D．在复平面上对应的点在第二象限内【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题考察复数的概念及其运算，常用逻辑用语等基础知识；考察推理论证能力；体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注.【试题解析】由复数满足知，在复平面上对应的点在虚轴上。故设，则，由在复平面上对应的点在第四象限知，故所以在复平面上对应的点在第一象限内故选C.【另解提示】利用模与辐角的相关知识思考3．已知等差数列{an}的前n项和为，若an>0，a2＋a3＝6，则的取值范围为A．[15,20) B．[15,18) C．[12,20) D．[12,18)【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义等基础知识；考查抽象概括与运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想等．体现基础性与综合性，导向对发展数学抽象、数学运算等核心素养的关注【试题解析】由{an}为正项等差数列可知，则，，，故故选A【易错提醒】考生应注意不要漏掉公差为0的情况4..记双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为m，n.若点B在m上，且BF⊥m，AB⊥n，则m与n的夹角的正切值为A． B． C．2 D．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质，直线的夹角等基础知识；考查运算求解，几何直观等能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算核心素养的关注．【试题解析】记两渐近线的交点为O，由双曲线的定义得：OA=a，OF=c，由BF⊥m知，BF=b，由勾股定理可得OB=a，因为OA=OB，AB⊥n，知n为∠BOA的平分线，记n交AB于点H，因为渐近线的性质，有∠HOA=∠BOC综上，∠HOA=∠HOB=∠BOC=故选B.【易错提醒】本题所求为直线所成角的正切值，考生应注意不要求解成离心率错选C项.5..若函数在上有零点，则整数A的值是A．3 B．4 C．5 D．6【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质与函数的零点等基础知识；考查运算求解，推理论证能力等；考查数形结合思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】由于函数在上有零点所以方程在上有实数根即与在上有交点令，则，当，单调递减故在区间上最多只有1个零点有，即解得，由于A是整数，所以A=5故选C.【试题补充】考生可以在考后思考，若函数在该区间内没有零点，不从反面考虑时A的取值范围可以如何求解.6..已知，现有均由4个数组成的甲、乙两组数据，甲组数据的平均数与方差均为m，乙组数据的平均数与方差均为n，若将这两组数据混合，则混合后新数据的方差A．一定大于n B．可能等于nC．一定大于m且小于n D．可能等于m【命题人】福建—竺数、湖北—水日【命题意图】本小题主要考查平均数、方差等基础知识；考查运算求解等能力；体现基础性、应用性；导向对逻辑推理核心素养的关注．【试题解析】设甲组数据为，乙组数据为，合并后的数据为方差，解得同理，解得所以令混合后的方差等于n，则.由知，当且仅当时，混合后的方差等于n，符合题意，故B正确；令混合后的方差等于m，则 由知，当且仅当时，混合后的方差等于m，不符合题意；同理可知，混合后的方差大于m，可能等于n故选：B7．一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积为A． B． C． D．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题考查圆锥、圆台与截面有关的基础知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现基础性与综合性，导向对发展数学运算、直观想象等核心素养的关注．【试题解析】由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面；圆台的下底面即原圆锥的底面.不妨设圆台上底面半径为，圆台下底面半径为，小圆锥母线长为，原圆锥母线长为由轴截面为正三角形知，则小圆锥底面积为，底面周长为，侧面积为易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积则圆台侧面积为，下底面积为由于两部分表面积相等，则化简得，即因为，则所以截面面积为故选A.【另解提示】可使用圆台侧面积公式，其中l为圆台的母线长，R、r分别表示圆台上下底面半径.【试题补充】有兴趣的考生可以对【另解提示】中所涉及的公式进行推导，记忆..已知数列{an}，{bn}，c是常数，若{}为等差数列，{}为等比数列，则下列说法中错误的是A．{an+bn}可能为公差不为0的等差数列 B．{}可能为公比不为1的等比数列C．{}可能为公差不为0的等差数列 D．{}可能为公比不为1的等比数列【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查等差，等比数列的通项、性质等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】对于A选项： 当c=1时，{an}为等差数列，若{}为公比为1的等比数列，则此时{bn}为等差数列，{an+bn}为等差数列，故A选项正确； 对于B选项： 不妨设{an}，{bn}均为形式为（其中p，q为常数）的数列，显然其符合题设要求.则{}可以看作形式为的数列，而等比数列的形式为，显然其中不存在项，由于中无法单独消去，{}不可能为等比数列，故B选项错误；对于C选项： 当c=1时，an=1时，同样符合要求，此时，即问{bn}是否可能为等差数列，由对选项A的分析知，{bn}可能为等差数列，故C正确； 对于D选项： 不妨设{an}，{bn}均为形式为（其中p，q为常数）的数列，则{}可以看作形式为的数列，显然当或等于1时，{}符合等比数列的形式，故{}可能为等比数列，D选项正确. 故选B.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．已知正整数x，n，其中x的因数不包含3，若的展开式中有且只有6项能被9整除，则n的取值可以是A．6 B．7 C．8 D．9【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查二项式定理及其通项公式，考查运算求解等能力，考查化归与转化等思想，体现基础性，创新性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注，符合当前高考“重思维，轻计算”的趋势．【试题解析】的展开式的第k+1项为，即当k≥2时必能被9，即3²整除，即至少有项可被9整除故转为研究当k=0、1时是否满足题意，当k=0时，该项为，由于x的因数不含3，故无法被9整除；当k=1时，该项为，若n为3的倍数，则该项可被9整除.若k=1时该项可被9整除，则共有n项可被9整除，此时n=6，为3的倍数，成立若k=1时该项不可被9整除，则共有项可被9整除，此时n=7，符合题意.综上，n可以为6或7故选：AB10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E，F分别是边BD，C1D1上（含端点）的点，则A．当EF∥AD1时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定B．当A1F∥CE时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定C．当C1E∥平面ADF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定D．当平面AED1∥平面A1CF时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证，空间想象等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性、综合性，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注．【试题解析】对于A选项，当且仅当点E与点B重合，且点F与点C1重合时条件成立，故A选项正确；对于B选项，设A1F在平面ABCD上的投影为AF1，，记BD的中点为O，则对于任何满足OE＝OG且E，G不重合的情况均有条件成立，故B选项错误；对于C选项，设E在直线AD上的投影为E1，对于任何满足EE1=C1F的情况，有EE1∥AB∥C1D1，所以EE1FC1为平行四边形，所以C1E∥FE1，又因为，，所以C1E∥平面ADF，即直线EF的位置无法唯一确定，故C选项错误；对于D选项，当且仅当F为C1D1的中点，点E为线段BD上靠近点D的四等分点时原条件成立，故D选项正确.故选：AD11．小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西30°方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动.若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是A． B．.C． D．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查三角函数的应用，直线的方程等基础知识；考查运算求解，推理论证，抽象概括能力等；考查数形结合，化归与转化思想等；体现综合性，创新性，应用性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算，数学建模等核心素养的关注．【试题解析】依题意，绘出示意图如右图所示易知，当且仅当在喷洒范围与行进路线重叠的危险区域内，小竹可能被淋湿。由于洒水桩最初面朝正东方向，不妨以洒水桩为起点向面朝方向作射线，即可将问题转化为小竹（用点代替）与该射线在行进路线上的交点不重合的问题。设时间为t秒以洒水桩为原点，正东方向、正北方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系。则小竹行进路线的方程为x=3由每3秒旋转一周循环转动知，该射线可看作其中，故射线与行进路线的交点纵坐标为易知小竹（用点代替）的纵坐标为故可将原问题转化为图像，与图像的交点问题，即求当斜率v为何时两图像无交点解得，故选BD.【另解提示】考生亦可从洒水桩与小竹行进路线的临界交汇情况作出直观判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在△ABC中，，若，则A的取值范围是_________．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查数形结合和化归与转化等思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养的关注．【试题解析】因为，，所以，所以.若，则，原题设不成立；若，则由，解得故填：13．设a，b均为单位向量，且|a|，|a-b|，|a+b|可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件的a·b的值_________．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查向量的基本运算、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解等能力，考查数形结合、化归与转化等思想，体现基础性、综合性，导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】由a，b均为单位向量，则|a|=1设a，b的夹角为，则|a-b|=，|a+b|=，a·b=cos当|a|，|a-b|，|a+b|成等比数列时，有，解得（已舍）则由二倍角公式得，同理，当|a+b|，|a-b|，|a|成等比数列时，解得当|a+b|，|a|，|a-b|成等比数列时有此时，，故可以填：，，，（任填其一即可）14．已知抛物线W：y²=2px，A（－2,0）、B（2,0）、C（4,0），过B的直线交W于M、N两点，若四边形AMCN为等腰梯形，则它的面积为_________．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解，几何直观等；考查数形结合思想、化归与转化思想等，体现基础性，导向对数学运算、直观想象等核心素养的关注，符合当前高考“重思维，轻计算”的趋势．【试题解析】易知MN的位置交替不影响结论，不妨令图像如右图所示以方便研究解法一（涉及二级结论）：由题知，点A、B关于抛物线顶点对称，且弦MN经过点B则∠NAB=∠MAB（二级结论）又因为AMCN为等腰梯形所以AN∥CM，有∠ACM=∠NAB故AM=CM，即点M的横坐标为1又BM=BC=2，所以∠NBC=60°所以AMCN为等腰梯形的面积为故填：解法二：由等腰梯形的性质得，△ABN∽△BCM，相似比为AB：BC=2，所以设直线MN为，与抛物线方程联立，得所以，解得，代入得又因为BN=AB=4，由勾股定理可确定所以AMCN为等腰梯形的面积为解法三：由等腰梯形的性质得，AN∥CM故设直线AN为，设直线CM为由N、B、M三点共线得解得下同解法二.【试题补充】解法一所涉及二级结论曾在2018年新课标Ⅰ卷文科卷中考察证明.（2018·新课标Ⅰ卷·文）设抛物线，点过点A的直线l与C交于M、N两点.证明：∠ABM=∠ABN有兴趣的考生可以尝试推导该结论的一般形式.在2018年新课标Ⅰ卷理科卷中，则对该结论在椭圆当中的情况作出考察.

姓名：__________________准考证号：__________________（在此卷上答题无效）保密★启用前2024年竺数教研高中毕业班质量监测数学参考答案及评分细则（解答题部分）评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。15．（13分）已知函数在(1，f(1))上的切线在y轴上的截距为．（1）求a的值；（2）若有且仅有两个零点，求b的取值范围．【命题人】福建—竺数【命题意图】本小题主要考查导数的应用，函数的零点，切线等知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，体现检测逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的命题意图．【试题解析】解法一：（1）求得···················································································1分由·······································································3分求出切线方程·········································4分由其在y轴上的截距为知，，故a=2········································5分（2）由（1）得，当，，f（x）在上单调递增，故f（x）至多只有一个零点，不符合题意··············································································6分当时，若，;若，·····················8分所以f（x）在上单调递增，在上单调递减····························9分又因为，····················································10分由零点存在性定理知，若函数有且只有两个零点，只需满足所以··············································12分综上，若有且仅有两个零点，··········································13分解法二：同解法一··························································································5分由（1）得，依题意，可将函数的零点问题转化为直线与函数图像的交点问题由得，·······················································6分若，;若，···································8分所以g（x）在上单调递增，在上单调递减···························9分所以g（x）的最大值为g（e），即····················································10分又因为，······················································12分故若直线与函数图像有且只有两个交点，·····13分16．（15分）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”.求甲发生的概率；证明：甲与乙相互独立.【命题人】福建—竺数【命题意图】本题考察古典概型，全概率公式，独立事件等基础知识；考察推理论证及运算求解能力；考察化归与转化思想等；体现基础性、综合性、应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注.【试题解析】记事件丙为“第一次取出的球是红球”····················································1分则···············································································2分所以，,····················4分所以······················6分带入数据得：······················································7分由题意知，乙等价于“停止取球时共取出了1个白球和2个红球”，且第三次取出的球一定为红球·······························································8分故此时取出顺序只有“红、白、红”与“白、红、红”两种可能··················9分则······································11分其中，甲乙同时发生等价于“白、红、红”的情况，故···········12分于是····································································14分所以甲与乙相互独立.·········································································15分17．（15分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥PB，AB⊥BC，AB=3，，已知二面角P－AB－C的大小为，∠PAB=.（1）求点P到平面ABC的距离；（2）当三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，求：（Ⅰ）二面角P－AB－C的余弦值；（Ⅱ）直线PC与平面PAB所成角.【命题人】福建—竺数【命题意图】本题综合考察二面角的性质，空间向量的运算与运用，三角函数，导数的运算、单调性，极值等基础知识；考察空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考察数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性、创新性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注.【试题解析】解法一：（1）由已知，得，·······················································1分过P作AB的垂线交其于点D，过P作平面ABC的垂线交其于点O，因为，，所以PO⊥AB································2分因为，所以·················································3分因为，所以，所以∠PDO为二面角P－AB－C的平面角，∠PDO=·······························4分故·················5分考生也可以选择保留的形式（2）（Ⅰ）三棱锥P－ABC的体积为·······6分令，则三棱锥P－ABC的体积V（t）=所以······································································7分当，，当，，所以V（t）在上单调递增，在上单调递减····························9分故当时，三棱锥P－ABC的体积最大，此时·········10分（Ⅱ）求得此时体积为，可知此时，·······························11分由平面几何知识知，·············································12分记点C到平面PAB的距离为h由等体积法可知，求得·······································13分记直线PC与平面PAB所成角为，则，即··············15分解法二：（1）同解法一··························································································5分（2）（Ⅰ）同解法一·························································································10分（Ⅱ）可知此时，以B为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系所以·······················11分则设为平面PAB的一个法向量则有，即可取············································································13分记直线PC与平面PAB所成角为则，即·····················15分

18．（17分）已知数列{an}的前n项和为，a1＝1，数列{bn}满足，且an，bn均为正整数.是否存在数列{an}，使得{bn}是等差数列？若存在，求此时的；若不存在，说明理由；若，求{an}的通项公式.【命题人】福建—竺数【命题意图】本题综合考察等差数列，数列的求和，整数的性质等基础知识；考察推理论证及运算求解能力；考察化归与转化思想等；体现基础性、综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.【试题解析】解法一：由题知，当n=1时，a1＝1，解得b1＝1····················································1分当n=2时，，整理得···········································2分由an，bn均为整数知，a2为整数且b2为整数，当且仅当，即时，····························································3分，为整数···················································································4分若未由整数的性质说明直接得到b2，扣1分若存在数列{an}，使得{bn}是等差数列，则故··········································································5分此时bn为整数，符合题意·····································································6分所以，当时，有············································7分两式相减得，整理得故，当n=2时，，故············································8分经检验，当时，，充分性成立···············································9分故存在数列{an}，使得{bn}是等差数列.此时······································································10分若未检验充分性成立，扣1分。若考生只回答“故当时，”，依然算作验证了充分性。（2）因为，当时，有两式相减，整理得：···················································11分由递增数列的题意与整数的性质知，·······································13分若未由递增数列的题意与整数的性质说明直接得到结论，扣1分故，因为，所以··························15分则······································································16分因为an为正整数，所以······························································17分解法二：（1）同解法一························································································10分假设存在一个正整数，使得·················································12分体现反证法的思路得2分则，，···························13分则，不符合递增数列的题意····16分故假设错误，不存在这样的正整数，使得，所以··············17分【评分补充】若在（2）中回答：由（1）知，当时，符合递增数列题意，故.视为只说明了必要性，没有严格证明充分性，只得1分

19．（17分）一个面积为9的正方形的四个顶点均在以坐标原点为中心，以(3,0)为右顶点的椭圆Z上.（1）求Z的方程；（2）记该正方形在第一象限的顶点为P，斜率为的直线l与Z交于A、B两点.记△PAB..的外接圆为S；..（Ⅰ）求S的半径的取值范围；（Ⅱ）将Z与S的所有交点顺次连接，求所得图形的最大面积.【命题人】福建—竺数、福建—June、湖北—懒懒【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想；体现综合性、应用性与创新性，彰显高考的选拔特点，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算直观想象、数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为Z以（3,0）为右顶点，由椭圆的定义，设，则a=3············1分由对称性得，内接正方形在第一象限的顶点为·································3分代入椭圆方程，解得，·············································4分（2）（Ⅰ）由（1）得，设直线，联立直线l与椭圆Z的方程，得所以，··················································5分由，解得···········································6分有即展开得·································7分同理有故x1,x2是方程的两个解···········8分所以···············9分故·······················································10分两式联立得因为，所以·····························································11分则，故圆心的轨迹为···················································12分由几何关系知，···················