专题08 二次函数中线段、面积、实际问题之五大题型2024年中考数学冲刺复习名校模拟题重要考点分类汇编（江西专用）(解析版)

第第页专题08二次函数中线段、面积、实际问题之五大题型目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一二次函数中顶点坐标问题】 1【题型二二次函数中求线段长问题】 5【题型三二次函数中求线段和最值问题】 13【题型四二次函数中面积最值问题】 22【题型五二次函数中的实际问题】 33【典型例题】【题型一二次函数中顶点坐标问题】例题：（2023·江西吉安·一模）已知二次函数．(1)当时，二次函数的图像与轴交点坐标为，对称轴为；(2)当该二次函数图像的对称轴为时，求的值和抛物线的顶点坐标；(3)当取不同的值时，抛物线的顶点也发生变化，当求抛物线的顶点达到最高点时，求此时的值和该抛物线的顶点坐标．【答案】(1)，(2)，顶点坐标为(3)，顶点坐标为【分析】（1）把代入，求出函数解析式，令，求出图像与轴交点坐标，和对称轴即可；（2）根据对称轴为，求出的值，再写出解析式化成顶点式，写出顶点坐标即可；（3）先用表示出顶点坐标，再根据抛物线的顶点达到最高点，即取得最大值，求出的值和顶点坐标即可．【详解】（1）解：当时，，令时，，二次函数的图像与轴交点坐标为，对称轴为，故答案为：，；（2）二次函数图像的对称轴为，即，

二次函数的解析式为，，抛物线的顶点坐标为，，顶点坐标为；（3）抛物线的顶点为，化简得，当顶点达到最高点时，即纵坐标为最大值时，取得最大值，时，顶点达到最高点，此时顶点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，抛物线的顶点坐标和对称轴，正确表示出抛物线的顶点坐标是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023·江西上饶·一模）已知抛物线和抛物线（n为正整数）．(1)抛物线与x轴的交点坐标为，对称轴为；(2)当时，请解答下列问题．①直接写出与x轴的交点坐标为，请写出抛物线y，的一条相同的图像性质；②当直线与y，相交至少有3个交点时，求b的取值范围．(3)若直线与抛物线和抛物线（n为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A，点B，点C，点D，若点B、C为线段的三等分点时，求出m，n之间满足的关系式．【答案】(1)，，直线(2)①，；对称轴都为直线（或与x轴交点坐标都为，）；②(3)【分析】（1）令，则，即，解方程即可，根据对称轴为直线，计算求解即可；（2）①，则，同（1）求解交点坐标以及对称轴即可；然后根据对称轴或交点坐标的关系对相同的图像性质进行解答即可；②当直线与y相交只有1个交点时，联立，整理得，则，解得；当直线与相交只有1个交点时，联立，整理得，则，解得；根据直线与y，相交至少有3个交点，可得；（3）如图，联立，整理得，，则，联立，整理得，，则，根据点B、C为线段的三等分点，可得，即，整理即可．【详解】（1）解：令，则，即，解得，，∴与x轴的交点坐标为，；∴对称轴为直线，故答案为：，，直线；（2）①解：∵，∴，令，则，即，解得，，∴与x轴的交点坐标为，；∴对称轴为直线，故答案为：，，对称轴都为直线（或与x轴交点坐标都为，）；②当直线与y相交只有1个交点时，联立，整理得，∴，解得；当直线与相交只有1个交点时，联立，整理得，∴，解得；∵直线与y，相交至少有3个交点，∴；（3）解：如图，联立，整理得，，∴，联立，整理得，，∴，∵点B、C为线段的三等分点，∴，即，整理得，∴m，n之间满足的关系式为．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【题型二二次函数中求线段长问题】例题：（2023·江西·中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，_______．②S关于t的函数解析式为_______．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．①_______；②当时，求正方形的面积．【答案】(1)①3；②(2)，(3)①4；②【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，∴当时，点P在上，且，∵，，∴，∴，故答案为：3；②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，∴，解得，∴当时，，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，∴可设S关于t的函数解析式为，把代入中得：，解得，∴S关于t的函数解析式为，在中，当时，解得或，∴；（3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时，∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，∴，∴，∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．∴可以看作，∴，故答案为：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．

.【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江西上饶·二模）如图，抛物线：与抛物线：相交于点，点的横坐标为．过点作轴的平行线交抛物线于点，交抛物线于点．抛物线，分别与轴交于点，（点在点上方）．

(1)求抛物线的对称轴和线段的长．(2)试说明与是否相等．(3)直接写出当为何值时，．(4)点在抛物线上，点在抛物线上，请比较与的大小．【答案】(1)抛物线的对称轴为；；(2)相等，理由见解析(3)当时，；(4)．【分析】（1）根据求对称轴，将分别代入y1、y2后可求，可得；（2）根据、的对称轴以及轴可得点A和点C的横坐标，计算出与作比即可；（3）根据图象可得结论；（4）分别将、代入、求出p、q，再作减即可．【详解】（1）解：抛物线的对称轴，由题知：，当时，，当时，，由可得：，∴；（2）解：相等，理由：的对称轴为，∵的对称轴为，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，交抛物线于点A，∴点A的横坐标为，点C的横坐标为，∴，∴；（3）解：由图可知：当时，；（4）解：将代入得：，将代入得：，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象上的点的坐标的特征以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．2．（2023·江西萍乡·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，已知抛物线．

(1)若抛物线经过点，求抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线与直线交于点，点为抛物线上一点，连接交于点，若，求直线的函数表达式；(3)过抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点当的长度最短时，求的值，并求出此时长度的最短值．【答案】(1)(2)(3)时，最小，最小值为【分析】（1）利用待定系数法，将点的坐标代入求出值，再将的值代入抛物线即可求出其函数表达式；（2）直线过原点，所以它是一个正比例函数．根据给出的面积关系，求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可解答；（3）利用点的坐标，根据几何关系得出关于的表达式，对该表达式分析求出最小值即可．【详解】（1）解：对于直线：当时，；当时，；故点、的坐标分别为、．抛物线经过点，将代入抛物线，得，整理得，解得将代入抛物线，得（2）解：抛物线与直线交于点，将代入抛物线，得，解得．将代入抛物线，得解方程组，得或故有，，且与底边上的高相等，．

过点作平行于轴，交轴于；过作，交于．，，．点在直线上，设点横坐标为，点纵坐标为，，，，整理得，解得．点纵坐标为，，直线过点和点，直线是正比例函数，设为，将点坐标代入，得，解得．直线的函数表达式为（3）解：抛物线的顶点的坐标为，整理得，即过点作，交于点；过点作轴，分别交直线于点，交轴于点．

，，．点的纵坐标为，代入直线，解得点的横坐标为．当时，最小，最小值为．【点睛】本题难度较大，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及一次函数和二次函数的性质及坐标，并结合了几何，综合性较强，解题过程比较复杂，计算量也不小，极易出错，所以每一步都要认真和细心．【题型三二次函数中求线段和最值问题】例题：（2023·江西吉安·三模）已知抛物线，与x轴交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一动点，横坐标为t．

(1)下列说法正确的是___．（填序号）①抛物线开口向上②当时，y随着x的增大而增大③点A，B的坐标分别为④若点P在x轴下方，则(2)如图，若，点P位于第四象限，过点P作x轴的平行线交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)①②③(2)最大值为，此时点P的坐标为(3)点N的坐标为或或．【分析】（1）根据图象可判断①；求出对称轴方程可判断②；把代入即可求得A、B的坐标，从而可判断③和④；（2）设交于点H．先求得抛物线的函数表达式为，再求得．设直线的表达式为，把B，C两点的坐标代入，则，所以直线的表达式为．因为点P的横坐标为t，所以．当时，取得最大值，最大值为，此时求得点P的坐标；（3）由题意得平移后的抛物线表达式为，因为抛物线的对称轴为直线，所以设，，分情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时，③当为对角线时，分别求得点N的坐标即可解答．【详解】（1）由图象得抛物线开口向上，故①正确；抛物线对称轴为直线，且开口向上，所以，当时，y随着x的增大而增大，故②正确；由题意可知，，解得，∴点A的坐标为，点B的坐标为．故③正确；当点P在x轴下方，则，故④错误；所以，正确的说法是①②③，故答案为：①②③；（2）如图，设交于点H．

∵，∴抛物线的函数表达式为，令，则，∴，∵，∴，∴．∵，∴，．∴．设直线的表达式为，把B，C两点的坐标代入，得，，解得，，∴直线的表达式为．∵点P的横坐标为t，则，，，∴∴∴，∵∴有最大值，∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．（3）由题意得平移后的抛物线表达式为，∴，，∵抛物线的对称轴为直线，∴设，，分情况讨论：①当为对角线时，则，解得，，此时，∴②当为对角线时，则，解得，此时，∴；③当为对角线时，则，解得，此时，∴，综上所述，点N的坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．【变式训练】1．（2023·湖北咸宁·一模）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其对称轴为．过点的直线与抛物线交于另一点．(1)该抛物线的解析式为；(2)点是轴上的一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标；(3)点是第四象限内抛物线上的一个点，过点作于．若取得最大值时，求这个最大值：(4)是抛物线对称轴上一点，过点作轴于点．当最短时，求点的坐标．【答案】(1)(2)或或或(3)(4)【分析】（1）利用一次函数求出点A坐标，代入二次函数表达式中，得到，根据二次函数图像对称轴得到，联立求出a，b的值即可；（2）联立二次函数和一次函数表达式，求出点E坐标，设，利用勾股定理表示出的三边，再分三种情况列出方程，解之可得点Q坐标；（3）首先求出一次函数图像与y轴交点坐标，根据坐标得到，过P点作轴交于点F，证明是等腰直角三角形，得到，设，，据此表示出的长度，结合n的范围，利用二次函数的最值求解；（4）将E点向左平移1个单位到，得到，从而推出，连接交y轴于点N，过N点作垂于于对称轴于点M．得到此时最短．求出直线的表达式，得到点N的坐标，从而点M的坐标．【详解】（1）解：在中，令，则，∴，代入中，得，∴，∵对称轴为直线，∴，∴，联立，解得：，∴；故答案为：；（2）联立：，解得：，，∴，设，则，，，∵为等腰三角形，∴当时，，解得：或，∴或；当时，，解得：（舍）或，∴；当时，，解得：，∴；综上：点Q的坐标为：或或或；（3）在中，令，则，∴与y轴交点G的坐标为，∴，∴是等腰直角三角形，∴，过P点作轴交于点F．∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，，，∴∵，∴时，最大，最大值为；（4）∵，∴将E点向左平移1个单位到，∴四边形是平行四边形，∴，∴，连接交y轴于点N，过N点作垂于于对称轴于点M．此时，最短．设直线的表达式为，将、A坐标代入，得，解得：，∴直线：，令，则，∴，∴点．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，最值问题，最短路径，勾股定理，平行四边形的判定和性质，知识点较多，综合性较强，难度大，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，能够将函数与图形的知识联系起来．【题型四二次函数中面积最值问题】例题：（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点F在第一象限运动时，连接线段，且．当S取最大值时，求点F的坐标；(3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）设点，过点F作轴于点H，则，分别求出，得到，利用二次函数的性质求解即可；（3）分点F在x轴上方和下方两种情况分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）如图，连接，设点，过点F作轴于点H，则，∵，∴，当时，，∴点C的坐标是，∴，∴，∴，∵，∴抛物线开口向下，当时，有最大值，此时，∴此时点F的坐标是．（3）当点F在x轴上方时，如图，延长射线交x轴于点N，∵，点C的坐标是，∴，∴,∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点N的坐标是，设直线的解析式为，则，∴，∴，由，解得（不合题意，舍去），，当时，，∴点F的坐标是，当点F在x轴下方时，如图，设交x轴于点H，∵，，∴，∴是等腰三角形，是的角平分线且三线合一，∴，∴,设直线的解析式为，则，∴，∴，由，解得（不合题意，舍去），，当时，，∴点F的坐标是，综上所述，点F的坐标是或．【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、一次函数和二次函数图象的交点坐标、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键，是中考压轴题的常见类型．【变式训练】1．（2023·江西·一模）如图所示，抛物线经过A、两点，A、两点的坐标分别为，．点为抛物线的顶点，点为抛物线与轴的另一交点．(1)求点坐标；(2)是抛物线在第四象限部分的一个动点，求四边形面积的最大值；(3)若坐标为，在直线上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，请你直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)点坐标为(2)(3)、、、【分析】（1）运用待定系数法求得抛物线的解析式，然后再化成顶点式即可解答；（2）先求出点的坐标，然后运用待定系数法求得直线解析式，如图：连接，过点作平行于轴，交于点，设，则，；再根据用m表示出的表达式，最后根据二次函数的性质求最值即可；（3）根据点C、D、E的坐标证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后得到，利用勾股定理求出CD的长度；然后分与是对应边和与是对应边两种情况，分根据相似三角形对应边成比例列式求出的长度，再过点P作轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况分别求出的长度，最后写出各种情况P的坐标即可．【详解】（1）解：抛物线经过、，，解得，∴拋物线的函数解析式为，点坐标为，（2）解：令，解得，，则点的坐标为，又，∴由待定系数法可得直线解析式为，如图：连接，过点作平行于轴，交于点，设，则，（）所以，当时，（3）解：过点E作轴∵点，∴，∴，在和中，

，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，①当与是对应边时，∵，∴,即，解得：;过点P作轴于点G，则，即解得：当点P在点D的左边时，，则点，当点P在点D的右边时，，，则点；②当与是对应边时，∵，∴，即，解得：，如图：过点P作轴于点G，则，即，解得，

当点P在点D的左边时，，则点P的坐标是；当点P在点D的右边时，，则点P的坐标是综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为、、、．【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的应用、相似三角形对应边成比例的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．2．（2023·广东深圳·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．(1)求抛物线的表达式；(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)存在，的坐标为或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由，即可求解；（3）分、、三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：∵直线的表达式为，当时，得：，∴，，当时，得：，解得：，∴，，∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，设，∴，，，∴，∵抛物线交轴于，两点，当时，得：，解得：，，∴，，∵，又∵，即抛物线的图像开口向下，∴当时，有最大值，最大值为．（3）存在，理由：∵，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，如图所示，连接，①，，∴，，，∴，又∵，∴，∴当点的坐标为时，；过点作，交轴与点，∵为直角三角形，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，∴；过点作，交轴与点，

∵为直角三角形，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，∴，此时点在轴上，不符合题意，舍去．综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键．【题型五二次函数中的实际问题】例题：（2023·山东潍坊·一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米．(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．【答案】(1)6米，(2)(3)【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；（2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．又∵抛物线经过点，∴，∴．∴上边缘抛物线的函数解析式为．当时，，∴，（舍去）．∴喷出水的最大射程为．（2）法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线，∴点的对称点为，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，∴将点C向左平移得到点B的坐标为法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，∴可设，将点代入得，（舍去）∴下边缘抛物线的关系式为，∴当时，，解得，（舍去），∴点B的坐标为；（3）解：如图，先看上边缘抛物线，∵，∴点的纵坐标为．当抛物线恰好经过点时，．解得，∵，∴．当时，随着的增大而减小，∴当时，要使，则．∵当时，随的增大而增大，且时，，∴当时，要使，则．∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，∴的最小值为2．综上所述，的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江西景德镇·二模）如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段拋物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．(1)求抛物线的函数关系式；(2)在轨道距离地面米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了1米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？(3)现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？【答案】(1)(2)11米(3)当米，米时造价最低，最低造价为64000元【分析】（1）由题意可知：点E为抛物线的顶点，且点E的坐标为，于是可设抛物线的解析式为，然后把点F的坐标代入求出a即可；（2）把代入抛物线，通过解方程求出点P、G的坐标，进而可得的长，即求得抛物线由抛物线向右平移个单位，求得，令，进一步计算即可求解；（3）设OA=m，则OB=3m，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由图象可知，顶点E的坐标为，设抛物线解析式为，把代入，得：，∴抛物线的函数关系式为：；（2）解：当时，，解得：，∴，，∴，∵抛物线的形状与抛物线完全相同，∴抛物线由抛物线向右平移个单位，∴抛物线为：，令，则，解得：（舍），∴离出发点的水平距离最远为11米；（3）解：设OA=m，则OB=3m，，，∴，当时，总长度最短，最短为8，（元）∴当米，米时造价最低，最低造价为64000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键．2．（2023·江西萍乡·模拟预测）某公司推出一款手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量（部）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，与的几组对应值如下表：销售单价元2700290032003300日销售量部806030(1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）．(2)请根据以上信息填空：①表格中，______；②当______时，日销售利润（元）最大，最大利润是______元．注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求的取值范围．【答案】(1)(2)①20；②3000，25000(3)【分析】（1）设一次函数解析式，根据待定系数法，求出一次函数解析式，即可解答；（2）①将值代入一次函数解析式，即可解答；②根据题意，根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），可得与x的关系式，根据二次函数的性质，即可解答；（3）根据题意，列出不等式，再根据二次函数的性质，即可解答．【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，将，分别代入，得，解得故．（2）①当时，；②根据题意，可得，当时，W取最大值，最大值为25000；（3）解：由题意得：，当令，得，解得或3200．函数的图象开口向下，故当捐赠后每天剩余的利润不低于20000元时，的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数的性质，二次函数在销售过程中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．3．（2023·江西宜春·二模）如图是小智用软件模拟弹球运动轨迹的部分示意图，以为原点建立平面直角坐标系，已知弹球从轴上的点向右上方弹射出去，沿抛物线运动，落到图示的平台某点处后，又立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的抛物线，抛物线的顶点与点的竖直距离为.（注：球的大小忽略不计）

(1)求弹球上升到最高点时，弹球到轴的距离；(2)已知点求出抛物线的解析式；(3)已知的边紧贴轴，，，，当弹球沿抛物线下落能击中时，求点的横坐标的最大值与最小值．【答案】(1)弹球上升到最高点时，弹球到轴的距离为(2)(3)点的横坐标的最大值为，最小值为【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）设：，根据题意，得出的纵坐标为，将点代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解；（3）根据题意，得出点的纵坐标为1，分别令，，求得点的横坐标的最大值与最小值．【详解】（1）解：∴∴弹球上升到最高点时，弹球到轴的距离为；（2）∵抛物线与抛物线的形状相同，设：∵抛物线的顶点与点的竖直距离为，∵∴的纵坐标为，将点代入解得：或∵∴，∴：（3）解：∵的边紧贴轴，，，∴点的纵坐标为1，击中点时，令，代入∴解得：（舍去），，此时，击中点时，令，即解得：（舍去）此时∴点的横坐标的最大值为，最小值为【点睛】本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（2023·江西赣州·二模）某水果超市试销一种进价为元千克的水果，根据以往的销售经验，该种水果的最佳销售期为两周时间（天）．销售人员整理出这种水果的销售单价（单位：元千克）与第天（）的函数图象如图所示．另外，销售量（单位：千克）是（单位：天）的一次函数，并满足下表数量关系：x（天）m（千克）

(1)填空：销售单价与的函数关系式是__________，销售量与的函数关系式是__________；(2)求在销售的第几天时，当天的所获利润最大，最大利润是多少？(3)请求出这一种水果试销的两周时间（天）中，当天的销售利润不低于元的天数．【答案】(1)，(2)在销售的第7天时，当天的利润最大，最大利润是元(3)试销的两周时间中，当天的销售利润不低于元的有天【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）设当天的总利润为，分和两种情况，根据“总利润每千克利润日销售量”列出函数解析式，再依据一次函数和二次函数的性质分别求解可得；（3）在两种情况下，分别求出时对应的的范围，从而得出答案．【详解】（1）解：解：当时，；当时，设，将、代入得：，解得，∴；综上所述：；

设，将、代入得：，解得，∴（且为整数）；（2）设当天的总利润为元，①当时，，，随的增大而增大，时，取得最大值，最大值为元；

②当时，，，开口向下，且对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而减小，当时，取得最大值，最大利润为元；综上，在销售的第天时，当天的利润最大，最大利润是元．（3）当时，由，解得，此时满足条件的天数为第，，这天；

当时，由解得，由图象可知：当时，

又，此时满足条件的天数有天；综上，试销的两周时间中，当天的销售利润不低于元的有天．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质的运用．5．（2023·江西南昌·一模）一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点到地面的距离为（即，当球运行至处时，水平距离为（即到的距离为），达到最大高度为，已知篮圈中心到地面的距离为．篮球架可以在直线上水平移动．(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)若篮球架离人的水平距离为，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由：若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．【答案】(1)见解析，(2)不能，应朝方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈【分析】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意得点的坐标，利用二次函数的顶点式代入计算即可；（2）将代入函数解析式求出投入篮圈时的长，与实际距离对比即可．【详解】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，由题意得点为二次函数顶点，设将代入，得解得：，故该抛物线的解析式为；（2）当时，解得（舍去），∵，∴该运动员不能将篮球投入篮圈，，应朝方向移动，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的坐标系并利用顶点式求解函数解析式是解决本题的关键．6．（2023·江西九江·三模）某学校有一个的网球训练场地，如图是根据从中抽象出来的侧面示意图画出的平面直角坐标系，图中的场地长（点是已方区域底线，是对方区域底线），位于中点处的网