2019年高考理科数学全国卷Ⅲ理数(附参考答案和详解)

第页）绝密★启用前6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2019全国卷Ⅲ·理）已知集合，，则（） A. B. C. D.【解析】因为，又，所以.故选A.【答案】A2.（2019全国卷Ⅲ·理）若，则（） A. B. C. D.【解析】由，得.故选D【答案】D3.（2019全国卷Ⅲ·理）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. B. C. D.【解析】设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则，解得，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校总人数的比值的估计值为，故选C.【答案】C4.（2019全国卷Ⅲ·理）的展开式中的系数为（） A. B. C. D.【解析】的展开式中的系数为.故选A.【答案】A5.（2019全国卷Ⅲ·理）已知各项均为正数的等比数列的前项和为且，则（） A. B. C. D.【解析】设正数的等比数列的公比为，则解得所以．故选C.【答案】C6.（2019全国卷Ⅲ·理）已知曲线在点处的切线方程为，则（） A.， B.， C.， D.，【解析】，，所以切线方程为，即.又因为切线方程为，所以即，.故选D.【答案】D7.（2019全国卷Ⅲ·理）函数在的图象大致为（） A. B. C. D.【解析】因为，所以，所以是奇函数，排除选项C.当时，，排除选项A，D.故选B.【答案】B8.（2019全国卷Ⅲ·理）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面，是线段的中点，则（） A.，且直线，是相交直线 B.，且直线，是相交直线 C.，且直线，是异面直线 D.，且直线，是异面直线【解析】取CD的中点O，连接EO，ON.由是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD，所以EO⊥CD，EO⊥ON.又N是正方形ABCD的中心，所以ON⊥CD.以CD的中点O为原点，方向为x正方向建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设，则，，，，所以，，所以.连接BD，BE，因为点N是正方形ABCD的中心，所以点N在BD上，且，所以BM，EN是的中位线，所以BM，EN必相交.故选B.【答案】B9.（2019全国卷Ⅲ·理）执行如图的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于（） A. B. C. D.【解析】，不成立；不成立；不成立；不成立；不成立；不成立；成立，此时输出，故选C.【答案】C10.（2019全国卷Ⅲ·理）双曲线：的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为（） A. B. C. D.【解析】双曲线的右焦点坐标为坐标为，一条渐近线的方程为，不妨设点P在第一象限，由于，则点P的横坐标为，纵坐标为，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为.故选A.【答案】A11.（2019全国卷Ⅲ·理）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（） A. B. C. D.【解析】因为是定义域为R的偶函数，所以，又因为，且函数在上单调递增减，所以，故选C.【答案】C12.（2019全国卷Ⅲ·理）设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：①在有且仅有个极大值点；②在有且仅有个极小值点；③在单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（） A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【解析】已知在上有且仅有个零点，如图，其图像的右端点的横坐标在区间上，此时在上有且仅有3个极大值点，在上可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当时，，由在上有且仅有个零点可得，解得的取值范围是，所以④正确；当时，，所以在单调递增，所以③正确.故选D.【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13.（2019全国卷Ⅲ·理）已知，为单位向量，且，若，则．【解析】由题意得.【答案】14.（2019全国卷Ⅲ·理）记为等差数列的前项和，，，则．【解析】由，，可得，所以，，所以.【答案】415.（2019全国卷Ⅲ·理）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为．【解析】设为椭圆的左焦点，分析可知点M在以为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆上.因为点M在椭圆上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为.【答案】16.（2019全国卷Ⅲ·理）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为． 【解析】由题知，挖去的四棱锥的是一个菱形，对角线长分别是6cm和4cm，故.又，所以模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.【答案】三、解答题：本题共70分。17.（2019全国卷Ⅲ·理）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将只小鼠随机分成A，B两组，每组只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为．（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解析】（1）由题得解得由解得（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为：乙离子残留百分比的平均值为：18.（2019全国卷Ⅲ·理）的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【解析】（1）由题设及正弦定理得．因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．（2）由题设及（）知的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由（）知，所以，故，从而．因此，面积的取值范围是．19.（2019全国卷Ⅲ·理）图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连接，如图． （1）证明：图中的，，，四点共面，且；（2）求图中的二面角的大小．【解析】（1）由已知得，，所以，故，确定一个平面，从而，，，四点共面．由已知得，，故．又因为，所以．（2）作，垂足为．因为，，所以．由已知，菱形的边长为，，可求得，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则即所以可取．又平面的法向量可取为，所以．因此二面角的大小为．20.（2019全国卷Ⅲ·理）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）是否存在，，使得在区间的最小值为且最大值为?若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．（1），令，得或，若，则当时，；当时，，故在，单调递增，在单调递减；若，在单调递增；若，则当时，；当时，，故在，单调递增，在单调递减．（2）满足题设条件的，存在．（）当时，由（）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为．此时，满足题设条件当且仅当，，即，．（）当时，由（）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为．此时，满足题设条件当且仅当，，即，．（）当时，由（）知，在的最小值为，最大值为或．若，，则，与矛盾．若，，则或或，与矛盾．综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为．21.（2019全国卷Ⅲ·理）已知曲线：，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．【解析】（1）设，，则．由于，所以切线的斜率为，故．整理得．设，同理可得．故直线的方程为．所以直线过定点．（2）由（）得直线的方程为．由可得．于是，，，．设，分别为点，到直线的距离，则，．因此，四边形的面积．设为线段的中点，则．由于，而，与向量平行，所以，解得或．当时，；当时，．因此，四边形的面积为或．22.（2019全国卷Ⅲ·理）如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧． （1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧