导数的概念教学设计

教学设计课题名称：导数的概念(新授课)学科年级：高二数学教材版本：人教A版一、教学内容分析本节内容选自人教A版选修1-1第三章第一节的内容，具体内容包括：变化率问题、导数的概念。导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。本章是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。课标教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是从平均变化率入手，通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），用形象直观的“逼近”方法定义导数。更有利于学生理解和接受。二、教学目标知识与技能：理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；会求函数在某点的导数过程与方法：在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。情感态度与价值观：学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。三、学习者特征分析所教学生是文科生，数学基础薄弱，尤其是高一所学的函数知识已经遗忘了，因此学习导数这一章应该有一定的困难，因此课堂要化讲授为活动，化抽象为形象。四、教学策略选择与设计课堂上设计了学生的动手实验、分组计算、教师的几何画板演示、学生的总结交流、课堂自我评价等活动。让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。五、教学重点及难点重点：导数的概念的建立难点：丰富学生的感性经验，通过实例引出所学概念，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图问题1经营收益率假设你准备用10万元进行投资,现有A、B两个投资项目,经过市场分析,获悉其预期收益是固定的:项目A在6个月内的收益为2万元,项目B在两年内的收益为9万元,问:你会选择哪个项目投资?学生根据已有的生活经验，通过计算能够对两个项目的效益做出判定：应该用盈利和时间比值来判定。由实际生活中的例子让学生体会只比较一个量的变化是不行的，必须综合考虑两个量的变化情况，激发学生学习的兴趣。且此例子中的两个变量较明显，为后面“气球膨胀率”和“高台跳水”问题提供研究方向。实例2：将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？（3）试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？教师引导学生把空气容量的增加转化为体积的增大，从而由体积变化量和半径变化量的比值得到气球膨胀率。思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?总结：学生可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢，即气球的膨胀速度越来越慢，如果将半径r表示为体积V的函数,那么当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。用几何画板直观地演示当球的体积增大（黑色部分面积变大，绿色越来越薄）时，半径增大越来越小。学生观察、体会通过观察和计算，用数据解释上述现象，并通过几何画板演示，更逼真的感受上述现象。实例3：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.问题一：计算运动员在这段时间里的平均速度，它的物理意义是什么？学生通过手工计算得到：在这段时间里，；在这段时间里，通过物理知识不难解释这两个平均速度的物理意义。如表示运动员在0到0.5秒这段时间内上升了1.6米。让学生结合两个实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程。对比三个问题平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f(x)，如何计算其平均变化率？学生讨论，分析，归纳根据前面的实例，得到结论：定义：一般地,函数y=f(x)中，式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，其中△x、△y的值可正、可负，但△x值不能为0，△y的值可为0。并借助于几何画板给予直观解释。让学生结合两个实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程。观察函数f(x)的平均变化率，你能联想到什么？从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想。计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？学生计算并思考使学生初步感受平均变化率的不足，激发进一步探求新知的欲望。用平均速度描述运动员的运动状态会出现悖论：运动员在运动，但平均速度是0。那么如何求运动员的瞬时速度呢？可以t=2时刻的瞬时速度为例进行研究。当Δt趋于0时，通过计算观察平均速度的变化趋势：可以看出，当增量△t趋近于0时平均速度越来越接近于瞬时速度。数学中用简洁的符号来表示，即。并通过几何画板，拖动A点向B点运动的过程，更深入的体会逼近思想。帮助学生体会从平均速度到瞬时速度的过渡，理解学习瞬时速度的必要性和合理性。运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？学生用代替2,通过类比得到将问题一般化，从特殊到一般，符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力。回顾问题2气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢？学生得到瞬时膨胀率的表示。借助其他实例，抽象导数的概念，体会瞬时变化率不同的实际意义。对于一般函数在处的瞬时变化率如何表示呢？一般地，函数在处的瞬时变化率是：称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作 或，即：引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得出函数在某点处的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现认识上的飞跃。七、教学评价设计将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时候，原油温度（单位：）为。（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。2．已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。（2）求物体在t时刻的瞬时速度。（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，更深刻地把握事物变化的规律。八、板书设计一、平均变化率：一般地,函数y=f(x)中，式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。几何意义：平均变化率即反映了直线AB的斜率。二、瞬时变化率：函数在处的瞬时变化率是：（导数）称为函数y=f(x)在x=x0