对称性、奇偶性和周期性的综合运用

函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一．函数的对称性（一）函数的图象自身对称1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x，图象关于直线对称.推论1：的图象关于直线对称.推论2：的图象关于直线对称.推论3：的图象关于直线对称.求对称轴方法：2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x，的图象关于点对称.推论：的图象关于点对称.推论：的图象关于点对称.推论：的图象关于点对称.求对称中心方法：小结:轴对称与中心对称的区别轴对称：f(a+x)=f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；中心对称：f(a+x)=-f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称1、函数与函数图象关于直线对称；特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称；函数与函数图象关于y轴对称；求对称轴方法：令a+x=b-x,得.2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d关于点中心对称；特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称.函数与函数图象关于原点对称函数.求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得，纵坐标y=二．函数的奇偶性1.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)（f(x)－f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称．推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称.2.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)（f(x)+f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x)的图像关于点（a，0）中心对称.三．函数的周期性1.定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.2.推论：①()的周期为T.②的周期为③的周期为例10.设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C）A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对任意x∈R都有f(2+x)=-f(x)，又当x∈[-1,1]时f(x)=x3，⑴证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴；⑵当x∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式．判断函数的单调性5、确定函数零点个数例12.设函数对任意实数满足，且判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、求参数的值（范围）例13.①若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．②若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______．例14.f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例15．设是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A．B．C．D．7.两个函数图像的对称性例16.函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D）A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称解：据复合函数的对