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对称性及常微分方程的精确解1根据对称性求解一阶常微分方程如何求解一阶常微分方程（1）的精确解？看起来有些困难。但是，仔细观察，不难发现方程具有如下对称性也就是说对因变量和自变量作这样的变换，微分方程仍然不变我们看如何通过变换变量求解这个方程？将变换写为（2）可以看出，变换就是参数从0改变的结果，可以认为是对从0平移到造成的。可以任意改变不影响这个对称性，我们称方程（1）具有单参数平移变换不变性。你可能有点不耐烦，“那有怎么样，我要的是方程的精确解！”稍安勿躁，这包含变换变量的技巧！如果我将因变量和自变量变为又会怎样？可以预见，方程（1）会变成的形式。这样就可以求解了！为什么？我们看在变换（2）时是不变的，而在变换（2）时有，一般方程（1）会变为（3）的形式，但是别忘了方程（1）具有变换（2）不变性，同样地方程（3）也具有变换（2）不变性。由于和在变换（2）中不变，在变换（2）时方程（3）变为因此上述方程只能不再显含t。回答完毕。我们看一看针对方程（1）具体的表达式果然改变变量后不显含。于是这样就求出方程的精确解。真得感谢对称性。是啊，对称性是个好东西！2寻找微分方程的对称不变解微分方程有没有满足对称性(2)的解？有的，当时就具有（2）所示对称性。事先求解方程能否得到它？可以的。看变换（2）满足的微分方程，如果将（2）看成包含参数的隐函数（不改变），我们知道方程（1）的对称解也满足这个方程，因此，对称解同时满足两个微分方程消去，得到，即，即。3.一般情况作新因变量，和新自变量，原来微分方程

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