高考数学总复习矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵矩阵的特征值4-2

选修4－2矩阵与变换第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)考情分析考点新知①掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.②求二阶矩阵的特征值和特征向量，利用特征值和特征向量进行矩阵运算．①理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.②会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1.设M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))，求MN.解：MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,\f(1,2),1,0))).2.已知矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,2,7,3)))，若矩阵M的逆矩阵M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(b,－2,－7,a)))，求a、b的值．解：由题意，知MM－1＝E，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,2,7,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(b,－2,－7,a)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ab－14,0,7b－21,3a－14)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab－14＝1，,7b－21＝0，,3a－14＝1，))解得a＝5，b＝3.3.求矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,－1,2)))的特征多项式．解：f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－2,1,λ－2)))＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵M＝[eq\a\vs4\ac\hs10\co2(1,6,－2,－6)]的特征值．解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－6,2,λ＋6)))＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5.(选修42P73习题第1题改编)求矩阵N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3,6,5,2)))的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－3,－6,－5,λ－2)))＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，当λ1＝－3时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6x－6y＝0，,－5x－5y＝0，))一个解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))故特征值λ1＝－3的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1,1)))；当λ2＝8时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－6y＝0，,－5x＋6y＝0，))一个解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝5，))故特征值λ2＝8的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,5)).1.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1(3)利用行列式解二元一次方程组．2.特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1求逆矩阵与逆变换例1用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵．(1)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))；(2)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,2,1))).解：(1)设M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，则由定义知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝1，,b＋d＝0，,c＝0，,d＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝0，,d＝1，))故M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,－1,0,1))).(2)设M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，则由定义知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2c＝1，,b＋2d＝0，,2a＋c＝0，,2b＋d＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，,c＝\f(2,3)，,d＝－\f(1,3)，))故M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,3),\f(2,3),\f(2,3),－\f(1,3)))).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13，5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解：依题意，由M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))，得|M|＝1，则M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,3,－1,2))).从而由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(13,5)))，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,3,－1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(13,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1×13＋3×5,－1×13＋2×5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2,－3)))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))∴A点坐标为(2，－3)．题型2求特征值与特征向量例2已知矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解：(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4,0)))，得2－2a＝－4a＝3.(2)由(1)知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1)))，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0，,－2x＋（λ－1）y＝0))x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))；当λ＝4时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0，,－2x＋（λ－1）y＝0))2x－3y＝0.∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3,2))).eq\a\vs4\al(变式训练)已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,2,1)))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,7)))，计算M5β.解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－2,－2,λ－1)))＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).令β＝mα1＋nα2，则m＝4，n＝－3.M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λeq\o\al(5,1)α1)－3(λeq\o\al(5,2)α2)＝4×35eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))－3×(－1)5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(975,969)).题型3根据特征值或特征向量求矩阵例3矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))有特征向量为e1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，(1)求e1和e2对应的特征值；(2)对向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,1))，记作α＝e1＋3e2，利用这一表达式间接计算M4α，M10α.解：(1)设向量e1、e2对应的特征值分别为λ1、λ2，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝λ1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，故λ1＝2，λ2＝1，即向量e1，e2对应的特征值分别是2，1.(2)因为α＝e1＋3e2，所以M4α＝M4(e1＋3e2)＝M4e1＋3M4e2＝λeq\o\al(4,1)e1＋3λeq\o\al(4,2)e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(19,16))，M10α＝M10(e1＋3e2)＝M10e1＋3M10e2＝λeq\o\al(10,1)e1＋3λeq\o\al(10,2)e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(210＋3,210))).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))有特征向量eq\o(e1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,0)))，eq\o(e2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，相应的特征值为λ1，λ2.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1及λ1，λ2；(2)对任意向量eq\o(α,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，求M100eq\o(α,\s\up6(→)).解：(1)由矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))变换的意义知M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),0,0,－1)))，又Meq\o(e1,\s\up6(→))＝λ1eq\o(e1,\s\up6(→))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝λ1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，故λ1＝2，同理Meq\o(e2,\s\up6(→))＝λ2eq\o(e2,\s\up6(→))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))，故λ2＝－1.(2)因为eq\o(α,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝xeq\o(e1,\s\up6(→))＋yeq\o(e2,\s\up6(→))，所以M100eq\o(α,\s\up6(→))＝M100(xeq\o(e1,\s\up6(→))＋y·eq\o(e2,\s\up6(→)))＝xM100eq\o(e1,\s\up6(→))＋yM100eq\o(e2,\s\up6(→))＝xλeq\o\al(100,1)eq\o(e1,\s\up6(→))＋yλ2100eq\o(e2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2100x,y))).1.求函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,cosx,sinx,－1)))的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx＝－2－eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(3,2))).2.已知矩阵A的逆矩阵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,4),\f(3,4),\f(1,2),－\f(1,2))))，求矩阵A的特征值．解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,4),\f(3,4),\f(1,2),－\f(1,2))))，∴A＝(A－1)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1))).∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3.(2013·江苏)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,0,6)))，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－a,－b,2c,2d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq\f(1,2).∴矩阵A的逆矩阵为A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,\f(1,2))))，∴A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,\f(1,2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,0,6)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,－2,0,3))).4.设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,1)))(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a、b的值；(2)求A2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应的变换下的象是P′(x′，y′)，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ax,bx＋y)))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝ax，,y′＝bx＋y.))因为P′(x′，y′)在圆x2＋y2＝1上，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，化简可得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，依题意可得a2＋b2＝2，2b＝2a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1，而由a>0可得a＝b＝1.(2)由(1)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))，A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,2,1)))|A2|＝1，(A2)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,－2,1))).1.已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，若点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值．解：(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－8))，得a＋1＝－8，所以a＝－9.(2)由(1)知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,－91))，则矩阵A的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,9λ－1))＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为－2或4.2.已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－1,－4,3)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(4,－1,－3,1)))，求二阶方阵X，使MX＝N.解：(解法1)设X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x,y,z,w)))，据题意有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－1,－4,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x,y,z,w)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(4,－1,－3,1)))，根据矩阵乘法法则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－z＝4，,2y－w＝－1，,－4x＋3z＝－3，,－4y＋3w＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝－1，,z＝5，,w＝－1，))所以X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(9,2),－1,5,－1))).(解法2)因为MX＝N，所以X＝M－1N，M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(3,2),\f(1,2),2,1))).所以X＝M－1N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(3,2),\f(1,2),2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(4,－1,－3,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(9,2),－1,5,－1))).3.已知矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a的值；并求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解：由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4,0)))，∴2－2a＝－4a＝3.∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1)))，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.当λ＝－1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0,－2x＋（λ－1）y＝0))x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))；当λ＝4时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0,－2x＋（λ－1）y＝0))2x－3y＝0，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3,2))).4.设矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,0,b)))(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求a、b的值．解：(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x1,y1,x2,y2)))，则MN－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1))).又M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,3)))，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x1,y1,x2,y2)))＝eq\b\lc\[