考研数学一(高等数学)模拟试卷108(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷108(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设f(x)=()A．为∞．B．不存在．C．等于0．D．等于正确答案：B解析：因为所以不存在．知识模块：高等数学2．‘‘f(x)在点x0处连续”是“｜f(x)｜在点x0处连续”的()A．充分条件，但不是必要条件．B．必要条件，但不是充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分又非必要条件．正确答案：A解析：由“如果”可得，如果f(x)在点x0处连续，即f(x)｜=｜f(x0)｜，即｜f(x)｜在点x0处连续．但如果｜f(x)｜在点x0处连续，f(x)在点x0处不一定连续．例如f(x)=在x=0点不连续，但｜f(x)｜=1在x=0点连续．所以“f(x)在点x0处连续”是“｜f(x)｜在点x0处连续”的充分条件，但不是必要条件．知识模块：高等数学3．设f(x)在点x=0的某邻域内有定义，并且｜f(x)｜≤ln(1+x2)，则f(x)在点x=0处()A．不连续．B．连续但不可导．C．可导但f’(0)≠0．D．可导且f’(0)=0．正确答案：D解析：连续性因为｜f(x)｜≤ln(1+x2)，所以-ln(1+x2)≤f(x)≤ln(1+x2)，得f(0)=0，又故由夹逼定理，得=0=f(0)，于是f(x)在点x=0处连续．可导性由于没有给出f(x)的具体表达式，只能用定义讨论f(x)在点x=0处的可导性．由于｜f(x)｜≤ln(1+x2)，所以因为由夹逼定理得故f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=0．知识模块：高等数学4．如果函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有()A．f’(x0)=0且f’’(x0)=0．B．f’(x0)=0且f’’(x0)＜0．C．f’(x0)=0且f’’(x0)＞0．D．f’(x0)=0或f’(x0)不存在．正确答案：D解析：本题主要考查f(x)在点x0处取得极(大)值的必要条件．取f(x)=-(x-1)2，则f(x)在点x=1处取得极大值，f’(x)=-2(x-1)，f’’(x)=-2，f’(1)=0，但f’’(1)=-2，排除A．B是f(x)在点x0处取得极大值的充分条件．C是f(x)在点x0处取得极小值的充分条件．故只有选D．知识模块：高等数学5．设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，F(x)=，则函数F(x)在(a，b)内()A．必定没有零点．B．有且仅有一个零点．C．至少有两个零点．D．有无零点无法确定．正确答案：B解析：因f(x)在[a，b]上连续，f(x)＞0，所以在[a，b]上连续，从而在[a，b]上可导，当然在[a，b]上连续，又由零点定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，又所以F(x)在[a，b]上单调增加，即至多存在一点ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，故应选B．知识模块：高等数学6．设f(x)为连续函数，则tf(x2-t2)dt等于()A．xf(x2)．B．-xf(x2)．C．-2xf(x2)．D．2xf(x2)．正确答案：A解析：这是一个积分上限函数的求导问题，由于积分上限函数的被积函数中含有x，可作变量代换，将被积函数中的x移到积分符号外，然后求导．令x2-t2=u，则知识模块：高等数学7．直线L：与平面Ⅱ：x-y-z+1=0的夹角为()A．B．C．D．正确答案：A解析：直线L的方向向量s==2i+4j-2k．平面Ⅱ的法向量n=i-j-k．于是，直线L与平面Ⅱ的夹角θ就是直线L的方向向量s与平面Ⅱ的法向量n夹角的余角．从而故θ=0．知识模块：高等数学8．设f(x，y)=x2+xy+y2-3x+2，则f(x，y)()A．在点(-1，2)处取得极小值．B．在点(2，-1)处取得极小值．C．在点(1，-2)处取得极大值．D．在点(-1，-2)处取得极大值．正确答案：B解析：这是一个二元函数的极值点的判定问题．先求驻点．令解得驻点为(2，-1)，由于四个选项中只有B选项的点是驻点，故应选B．事实上，在驻点(2，-1)处，而B2-AC=-3＜0，A＞0，故f(x，y)在点(2，-1)处取得极小值．知识模块：高等数学9．的值为()A．B．C．D．正确答案：D解析：直接计算二次积分，计算量太大，因此应先交换积分次序，再计算．由已知二次积分知，D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤1}，将其写成X型区域，得D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，所以知识模块：高等数学10．设L为圆周x2+(y+1)2=2取逆时针方向，则()A．等于π．B．等于2π．C．等于π2．D．不存在．正确答案：B解析：由于积分曲线L为x2+(y+1)2=2，故可先代入，再用格林公式．于是其中D是由圆x2+(y+1)2=2围成的封闭区域．知识模块：高等数学11．若级数收敛，则级数()A．B．C．D．正确答案：D解析：(推理法)因为级数an收敛，所以an+1收敛，由级数的基本性质知收敛．故应选D．知识模块：高等数学12．设可导函数f(x)(x≠0)满足方程f(tx)dt=nf(x)(n为大于1的整数)，则f(x)=()A．B．Cx．C．Csinnx．D．cosnx．正确答案：A解析：类似于上题分析，当x≠0时，令tx=u，则t=，于是从而，原方程可化为等式两边求导，得f(x)=nf(x)+nxf’(x)，即等式两边积分，得则f(x)=知识模块：高等数学13．差分方程yt+1-yt=4cos的一个特解为()A．B．C．D．正确答案：B解析：一阶线性差分方程yt+1-yt=4cos应具有的特解形式为yt*=Acos，于是将yt*，yt*，代入原差分方程，并化简整理得比较等式两边的系数，得知识模块：高等数学填空题14．=_____.正确答案：解析：知识模块：高等数学15．设f(x)是奇函数，且f’(0)存在，则=______．正确答案：f’(0)解析：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0．从而知识模块：高等数学16．曲线y=lnx与直线x+y=1垂直的切线方程为_______．正确答案：y=x-1解析：设切点坐标为(x0，y0)，则由导数的几何意义与题意有故切点坐标为(1，0)，切线方程为y=x-1．知识模块：高等数学17．设f(x)=ax3-6ax2+b在闭区间[-1，2]上的最大值是3，最小值是-29，且a＞0，则a______，b=________．正确答案：2，3解析：(1)求f(x)在[-1，2]上的驻点与使得f’(x)不存在的点(如果有的话)．f’(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)．令f’(x)=0，得驻点x1=0，x2=4(舍去)．(2)求f(x)在[-1，2]上的驻点与区间端点处的函数值．f(-1)=b-7a，f(0)=b，f(2)=-16a+b．(3)比较上述函数值得f(x)在[-1，2]上的最大值、最小值．比较上述函数值，得由已知条件，得b=3，b=16a=-29，解得a=2，b=3．知识模块：高等数学18．max{2，x2}dx=_______．正确答案：解析：这是一个分段函数的定积分的计算问题．关键是写出max{2，x2}在[-2，3]上的表达式．知识模块：高等数学19．曲线y=x2，x=y2围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_____．正确答案：解析：由y=x2，x=y2解出曲线的交点为(0，0)，(1，1)．取x作为积分变量，所求旋转体的体积等于由曲线，y=0，x=1所围成的平面图形与由曲线y=x2，y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积之差(如图37)，即知识模块：高等数学20．设f(x，y)=_____.正确答案：-1解析：因为知识模块：高等数学21．已知函数u=3x2y-2yz+z3，v=4xy-z3，则u在点P(1，-1，1)处沿该处gradv方向的方向导数为________．正确答案：解析：先计算v在点P处的梯度gradv，再求出它的单位向量l0，最后计算将其单位化，得从而gradv｜p的方向余弦由方向导数的计算公式，有知识模块：高等数学22．设f(x)具有连续导数，f(0)=0，区域Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，则=______.正确答案：解析：先在球坐标下将三重积分f(x2+y2+z2)dv化为积分上限函数，然后用洛必达法则求极限．在球坐标下，积分区域Ω={(θ，φ，r)｜0≤0≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤t}．于是知识模块：高等数学23．设∑为上半球面的上侧，则曲面积分I==________.正确答案：2π解析：本题考查第二类曲面积分的计算问题．由于被积表达式过于复杂，不易直接计算．应先将曲面∑的方程代入到被积表达式，然后补曲面(减曲面)最后再计算．添加曲面∑1：z=0(x2+y2≤R2，取下侧)，则∑1与∑构成封闭曲面(取外侧)，如图53所示，其围成的空间闭区域为Ω，则知识模块：高等数学24．将f(x)=展开成(x-3)的幂级数为_______．正确答案：解析：由｜-(x-3)｜＜1，，得x∈(2，4)．故f(x)展开成(x-3)的幂级数为知识模块：高