《余弦定理》教学设计、导学案、同步练习

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教学设计第一课时余弦定理【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出

了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般

三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理

以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所

对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方

那么第三边所对的角是锐角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注

意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达

到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量

知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；B.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题；C.掌握给出三边判断三角形的形状问题；D.培养学生的数形结合的能力。.数学抽象：余弦定理的推导过程；.逻辑推理：余弦定理的证明；.数学运算：利用余弦定理解三角形；.直观想象：数形结合法；【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.向量的减法：通过复习所学知识，

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。【答案】OA建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。【答案】OA-OB=BA。相同起点，尾尾相连，指向被减向量。【答案】a-b=|a||b|cos03.证明三角形全等的方法有哪些?【答案】ASA，AAS，SAS，SSS。二、探索新知探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？【解析】如图，设CB=a,CA=反AuB=c，那么3=a-b，c=c•b=b-b•b-b=「•b+b・b-2b•bIJk=a2+b2-2abcosC所以c2=a2+b2-2abcosC。同理可证：a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosB余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC应用：已知两边和一个夹角，求第三边.思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，推导余弦定理的推论，提高学生解决问题的能力。,b2+c2-a2通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，推导余弦定理的推论，提高学生解决问题的能力。由余弦定理变形得c0sA二

a2+c2—b2cosB 2acaa2+b2-c2cosC 2ab应用：已知三条边求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？【解析】a2-b2+c2-2bccosA,a2-b2+c2探究2：当角C为直角时，有c2-a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？【结论】当角C为锐角时，a2+b2>c2；当角C为钝角时，a2+b2<c2；当角C为直角时，a2+b2-c2。一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。例1.在AABC中，已知6=60皿，。=34加，A-41。，解这个三角形（角度精准到1°，边长精确到1cm.）解：由余弦定理，得a2-b2+c2-2bccosA-602+342—2义60义34*cos41°氏1676.78所以a241，由余弦定理的推论，得八a2+c2—b2342+412—602 763cosB -- ，利用计算器，可得2ac 2义34*41 2788B氏106°通过思考与探究，进一步推导余弦定理的变形结论，提高学生的观察、概括能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解余弦定理，提高学生解决与分析问题的能力。

所以，C=180。―（A+B）氏180。—（41。+106。）=33。，一 .一3a/3例2.在AABC中，已知&=7,b=8,锐角C满足sinC=，求B。（精准到1。）解：因为甘标匚二方卜佳。为幌窗r所以CQfiCsin2C—1I[..） LyY141 14由氽弦定理，汨二=42十/一如占旧仁=49+&4-2乂了乂8＞：钉=9.14所以上士工，陈乐科/”一一5+49-64 1进而口达.L一一〒利用计算翡.可得B&gf三、达标检测1.在^ABC中，a=7,b=4小，c=，13,则^ABC的最小角为（ ）n n n na.5 B-7 c-t D-1i【答案】B【解析】由三角形边角关系可知，角C为^ABC的最小角，则cosC=a2+b2—c272+（4镜）2—（yi3）2而 n痂啡r通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。2ab— 2X7X4镉 .2，所以^6,故选艮.在4ABC中，已知&2=匕2+。2+匕圆则角A等于（ ）A.60° B.45° C.120° D.30°【答案】C一一一一. .b2+c2—a2 1 . . 【解析】由cosA— 2bc——2，..A—120.故选C。.在^ABC中，若a—2bcosC,则4ABC的形状为 .【答案】等腰三角形【解析】•・.a—2bcosC—2b•a2±b2—2—a2±b2―2,2ab a...a2—a2+b2—c2,即b2—c2,b—c,•••△ABC为等腰三角形.4.在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,人勒已知B—C,2b—/

a,贝UcosA= .【答案】13【解析】由8=&2b=*a,可得b—c--2a,i, va2+|a2—a2b2+c2—a2 4 4 1所以cosA-2bc—谯也—3.2X^2-aX号a5.在^ABC中，已知&-5,b-3,角C的余弦值是方程5x2+7x—6—0的根，求第三边c的长.【解析】5x2+7x—6-0可化为（5x—3）・（x+2）-0,..x--,x—2（舍去）,5 2*•COSC^T.5根据余弦定理，C2—a2+b2—2abcosC52+32—2X5X3X3-16,5•・c-4,即第三边长为4.四、小结.余弦定理及其推论；.利用余弦定理的解三角形。五、作业习题6.4 6(1)(2)题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本课中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题解决问题、应用反思的过程,学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实,为今后的定理教学提供了一些有用的借鉴。创设教学情境是“情境问题反思应用”教学的基础环节,教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑,对可用的情境进行比较,选择具有较好的教育功能的情境。《6.4.3余弦定理、正弦定理》导学案第1课时余弦定理【学习目标】.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题；.掌握给出三边判断三角形的形状问题；.培养学生的数形结合的能力。【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。【知识梳理】余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们— 的两倍公式表达a2= ,b2= ,C2= 。变形cosA= ；cosB= ；cosC= o【学习过程】一、探索新知探究1.在三角形ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,怎样用a,b和C表示c?余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 应用：已知两边和一个夹角，求第三边．思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？探究2：当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。例1.在AABC中，已知匕=60皿，c=34cm，A=41。，解这个三角形（角度精准到1。，边长精确到1cm.）3v;3 .例2.在AABC中，已知&=7，b=8，锐角C满足sinC=7“，求B。（精准到1。）【达标检测】.在AABC中，a=7,b=4x：3,c=x/1L则AABC的最小角为（nB.T.在AABC中，已知&2=匕2+。2+bc,则角A等于（A．60° B．45° C．120°D．30.在AABC中，若a=2bcosC,则AABC的形状为.在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,孰已知B=C,2b=\/3a,则cosA5.在^ABC中，已知&=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x—6=0的根，求第三边c的长.参考答案：探究1.如图，设CB=a,CA=b,AB='c，那么3=a—力,c=c-c=a~a•a~a=a-a+方方-2a・b\J\=a2+b2—2abcosC所以c2=a2+b2—2abcosC。同理可证：a2=b2+c2—2bccosAb2=a2+c2—2accosB余弦定理：a2=b2+c2—2bccosAb2=a2+c2—2accosBc2=a2+b2—2abcosC,b2+c2—a2思考1.由余弦定理变形得cosA= 2bcaa2+c2—b2cosB= 2ac「a2+b2—c2cosC 2ab思考2.a2=b2+c2—2bccosA,a2-b2+c2探究2.【结论】当角C为锐角时，a2+b2>c2；当角C为钝角时，a2+b2<c2；当角C为直角时，a2+b2-c2。

例1.解：由余弦定理，得a2=b2+c2—2bccosA=602+342—2义60义34*cos41°氏1676.78所以a241,由余弦定理的推论，得a2a2+c2-b2 342+412-602cosB= = 2ac 2义34义41763 一诉丁，利用计算器，可得B氏106°2788所以，C:180。一（A+B）口180。一（41所以，C:180。一（A+B）口180。一（41。+106°）;33°例2.因为品万「卜nr为糊陶.所以侬JT噜）/由余弦定理，相1=胪十"一£2gC=43+64-2X7X8X^-=9t所以上=3.避而CQ5Bg:_9十49一,___1Era~_2X3X7="7'利用计算器.可得达标检测.【答案】B【解析】由三角形边角关系可知，一. 一一.一, a2+b2一C2角C为4ABC的最小角，则cosC=Zb2ab754皿l（Q=承所以。.

2X7X4\'3 2 6故选B..【答案】Cb2+c2-a2 1【解析】由cosA= 2bC—=-2，；*=120.故选C。.【答案】等腰三角形【解析】•「a=2bcosC=2b•az+b2—c2az+b2—c22abAa2=a2+b2—c2,即b2=c2,b=c,•••△ABC为等腰三角形..【答案】13【解析】由8=武2b=%；3a,可得b=c=辛a,2i ■|a2+?a2—a2D2+c2—a2 4 4 1所以。然A=2bc=g妇=32X^-aXa.【解析】5x2+7x—6=0可化为（5x—3）-（x+2）=0,3・・.X1=5,x2=—2（舍去），「3C=5.根据余弦定理，C2=az+b2—2abcosC3.=52+32—2X5X3X-=16,5・・.c=4,即第三边长为4.《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习第一课时余弦定理一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.在中，已知石=4招，c=?忑,J=120°,则a等于（ ）A.2a/21B.6 C.2⑨或6 D.245+6由.△MB。的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知仪=姻，c=2, 二:则6=（ ）A.血 B.# C.2 D.3.在△一二「中，若一：=-.=1:'一飞匚一二，则最大角的余弦值是（ ）

A.B.C.A.B.C..已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,则a的取值范围是（ ）A.8<a<10 B.2梃屈C.242<a<10 D.<a<8.(多选题)在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若— ,则角3的值为（ ）A.TLn—B-%或至TCA.TLn—B-%或至TC2瓦D.——36.（多选题）设SC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2%・：3,cosA=^^,且b〈c,贝ij(2A.b=2B.b=2J2 C.B=60。D.B=30。、填空题.已知96。中，3a2-2ab+3b2—3c2=0，则|cosC=.在^ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+bc+c2，则A=.已知a,b,c为△ABC的三边，B=120°,则az+c2+ac—b2=..设△HBQ的内角人比C的对边分别为小耳。.若八区,且coiC=0;则A=,△延C是三角形.「7「7cosB=—9.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且二一二二？■二一（I）求a，c的值;(II)求sin(A-B)的值．.在9^。中，BC=a,AC=b，已知a,b是方程x2—2<3x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1.(1)求角C的大小；(2)求AB的长.《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步练习答案解析第一课时余弦定理一、选择题.在中，已知万=4后，£=2抬，上4=120口，则a等于( )A.25B.6 C.2⑨或6D.2业+力【答案】A【解析】4出由余弦定理得1 +1-IbccosA=48+12-2XX2壮X(-g)=84,所以白205.故选A.ZXdSC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知口=状，c=2,co^4=j则B=( )A.£ B.73 C.2 D.3【答案】D

【答案】C【解析】由余弦定理得==U,解得匚可知角2最大2x7xS14则8》另=,+'一*~=一L故选C.74.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,则a的取值范围是（ ）A.8<a<10 B.2梃<a<屈C.272<a<10 D.<a<8【答案】B【解析】1十口〉3则•冷,1十口〉3则•冷,即口匚3若a是最大边，贝1?『十^A/，即3<a<痂；若3是最大边,□n33>比>2&；当a=3时符合题意，综上20<a<府，故选B..（多选题）在△TEC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(M+J-&1)tanS= ,则角£的值为(几A.~6其几A.~6其—5国B-%或至元c.—D.【答案】CD【解析】因为（J+l—= 所以如匚匚□与阳亚3=屈仁，即同口巴二号，所以因=§或8=3-,故选CD..（多选题）设SC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c八 八•厂 3 ^3一 —， 、a=2,c=2<3,cosA=—，且b(c,贝U( )^2

A.b=2b=2<2A.b=2b=2<2B=60。B=30。【答案】AD【解析】由余弦定理得4=b2+12—6bnb2—6b+8=0,由b<c得b=2,由a=2,cosA=亘，所以B=A=30。，故选AD。2二、填空题.已知96。中，3a2-2ab+3b2—3c2=0，贝|cosC=.1【答案】3【解析】7 2ab aa2+b2-c21a2+b2-c2= ,cosC= =—.3 2ab3.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+bc+c2，则A=.【答案】120。【解析】由题意可知，cosA=b2+二2=-bc=-1，所以A=1200.2bc 2bc 2.已知a,b,c为△ABC的三边，B=120°,则az+c2+ac—b2=.【答案】0【解析】•/b2=a2+c2—2accosB=a2+c2—2accos120°=a2+c2+ac,...a2+c2+ac—b2=0..设△