新课标高中数学必修1精讲精练

第1讲§集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合〔set〕，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，根本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，根本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4.元素与集合之间的关系是属于〔belongto〕与不属于〔notbelongto〕，分别用符号、表示，例如，.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示以下集合：〔1〕由方程的所有实数根组成的集合；〔2〕大于2且小于7的整数.解：〔1〕用描述法表示为：；用列举法表示为.〔2〕用描述法表示为：；用列举法表示为.【例2】用适当的符号填空：，，那么有：17A；－5A解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】试选择适当的方法表示以下集合：〔教材P6练习题2，P13A组题4〕〔1〕一次函数与的图象的交点组成的集合；〔2〕二次函数的函数值组成的集合；〔3〕反比例函数的自变量的值组成的集合.解：〔1〕.〔2〕.〔3〕.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意比照〔2〕与〔3〕中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】集合，试用列举法表示集合A．解：化方程为：．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是：由△=0，得，此时的解为，合．⑵方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合．⑶方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合．综上可知，．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第1练§集合的含义与表示※根底达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是〔B〕.A.中国古代四大创造B.地球上的小河流C.方程的实数解D.周长为10cm的三角形2．方程组的解集是〔C〕.A.B.C.D.3．给出以下关系：①；②；③；④.其中正确的个数是〔C〕.A.1B.2C.3D.44．有以下说法：〔1〕0与{0}表示同一个集合；〔2〕由1,2,3组成的集合可表示为或{3，2，1}；〔3〕方程的所有解的集合可表示为{1，1，2}；〔4〕集合是有限集.其中正确的说法是〔C〕.A.只有〔1〕和〔4〕B.只有〔2〕和〔3〕C.只有〔2〕D.以上四种说法都不对5．以下各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是〔D〕.A.,B.,C.,D.,6．实数，集合，那么a与B的关系是.7．，那么集合中元素x所应满足的条件为.※能力提高8．试选择适当的方法表示以下集合：〔1〕二次函数的函数值组成的集合；〔2〕函数的自变量的值组成的集合.答案：〔1〕；〔2〕9．集合，试用列举法表示集合A.答案：提示：分等情况.※探究创新10．给出以下集合：①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠-3}；②③；④{(x，y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}．其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点〔1，1〕，〔2，-3〕之外的所有点的集合”的序号有.答案：④提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点〔1，1〕、〔2，-3〕，集合④能表示所指定的集合．第2讲§集合间的根本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集〔subset〕，记作〔或〕，读作“A含于B”〔或“B包含A”〕.2.如果集合A是集合B的子集〔〕，且集合B是集合A的子集〔〕，即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作.3.如果集合，但存在元素，且，那么称集合A是集合B的真子集〔propersubset〕，记作AB〔或BA〕.4.不含任何元素的集合叫作空集〔emptyset〕，记作，并规定空集是任何集合的子集.5.性质：；假设，，那么；假设，那么；假设，那么.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：〔1〕{菱形}{平行四边形}；{等腰三角形}{等边三角形}.〔2〕；0{0}；{0}；N{0}.解：〔1〕，；〔2〕=，∈，，.BA．B．C．D．【例2】设集合，那么以下图形能表示A与BBA．B．C．D．解：简单列举两个集合的一些元素，，，易知BA，故答案选A．另解：由，易知BA，故答案选A．【例3】假设集合，且，求实数的值.解：由，因此，.〔=1\*romani〕假设时，得，此时，；〔=2\*romanii〕假设时，得.假设,满足，解得.故所求实数的值为或或.点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“”，因为时存在.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}.假设A=B，求实数x的值.解：假设a+ax2-2ax=0,所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B2ax2-ax-a=0.因为a≠0，所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0.又x≠1，所以只有.经检验，此时A=B成立.综上所述.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第2练§集合间的根本关系※根底达标1．集合,那么A与B之间最适合的关系是〔D〕.A.B.C.ABD.AB2．设集合，，假设，那么的取值范围是〔D〕.A．B．C．D．3．假设，那么的值为〔A〕.A.0B.1C.D.24．集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z}.假设x0∈M，那么x0与N的关系是〔A〕.A.x0∈NB.x0NC.x0∈N或x0N5．集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，假设QP，那么a的值是〔D〕.A.1B.－1C.1或－1D.0，1或－16．集合，那么集合A的真子集的个数是.7个7．当时，a=_________，b=_________.－1，0※能力提高8．A={2,3}，M={2,5,}，N={1,3,}，AM，且AN，求实数a的值.答案：.提示：联合及求解9．集合，.假设，求实数m的取值范围.答案：〔注意区间端点及B=〕※探究创新10．集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，假设有x-1A且x+1A，那么称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集.解：依题意可知，“孤立元素x”是没有与x相邻的，非“孤立元素x”是指在集合中有与x相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类：〔1〕4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；〔2〕4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．第3讲§集合的根本运算〔一〕¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的根本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而到达掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种根本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集〔unionset〕由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集〔intersectionset〕对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集〔complementaryset〕记号〔读作“A并B”〕〔读作“A交B”〕〔读作“A的补集”〕符号图形表示UUA¤例题精讲：【例1】设集合.AB-1359xAB-1359x，，【例2】设，，求：〔1〕；〔2〕.解：.〔1〕又，∴；〔2〕又，得.∴.【例3】集合，，且，求实数m的取值范围.-24mxBA-24mBA4m在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】全集，，，求，，，，并比拟它们的关系.解：由，那么.由，那么由，，那么，.由计算结果可以知道，，.另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn图研究与，在理解的根底记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第3练§集合的根本运算〔一〕※根底达标1．全集,，那么〔C〕.A.B.C.D.2．假设，那么〔D〕.A.B.C.D.3．右图中阴影局部表示的集合是〔A〕.A.B.C.D.4．假设，那么〔C〕.A.B.C.D.5．设集合,，假设，那么的取值范围是〔B〕.A．B．C．D．6．设全集，，,那么=.7．集合，那么集合=.※能力提高8．设全集，假设，，，求集合A、B.答案：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.提示：由Venn图可知.9．设，，，求、.答案：,※探究创新10．设集合，.〔1〕求，；〔2〕假设，求实数a的值；〔3〕假设，那么的真子集共有个,集合P满足条件，写出所有可能的集合P.解：〔1〕.当时，，那么，；当时，，那么，；当且时，，那么，.〔2〕假设，由上易知或.〔3〕当时，，，其真子集有7个.，那么满足的集合P有：.第4讲§集合的根本运算〔二〕¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1.含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：,.2.集合元素个数公式：.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合，假设，求实数的值.解：由于，且，那么有：当解得，此时，不合题意，故舍去；当时，解得.不合题意，故舍去；，合题意.所以，.【例2】设集合，，求,.〔教材P14B组题2〕解：.当时，，那么，；当时，，那么，；当时，，那么，；当且且时，，那么，.点评：集合A含有参数a，需要对参数a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原那么.【例3】设集合A={|}，B={|，}，假设AB=B，求实数的值．解：先化简集合A=.由AB=B，那么BA，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或.(i)假设B=，那么，解得＜；(ii)假设B，代入得=0=1或=， 当=1时，B=A，符合题意；当=时，B={0}A，也符合题意．(iii)假设－4B，代入得=7或=1， 当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，=1或≤．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B，假设定义，当集合，集合时，有=.〔由教材P12补集定义“集合A相对于全集U的补集为”而拓展〕解：根据题意可知，，由定义，那么.点评：运用新定义解题是学习能力的开展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素.如果再给定全集U，那么也相当于.第4练§集合的根本运算〔二〕※根底达标1．集合A=,B=,那么A与B的关系是〔B〕.A.A=BB.ABC.ABD.A∪B=2．为非零实数,代数式的值所组成的集合为M,那么以下判断正确的选项是〔D〕.A.B.C.D.3．1〕，，，那么〔B〕.A．B.C．D.4．定义集合A、B的一种运算：，假设，，那么中的所有元素数字之和为〔B〕.A．9B.14C.18D.215．设全集U是实数集R，与都是U的子集〔如右图所示〕，那么阴影局部所表示的集合为〔A〕. A. B.C. D.6．集合，，且满足，那么实数的取值范围是.7．经统计知，某村有的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有又有农用三轮车的家庭有20家，那么和农用三轮车至少有一种的家庭数为.80提示：结合文氏图，易知，那么※能力提高8．集合，，且，求．答案：9．集合U=，A={|+1|，2}，={+3}，求实数的值.答案：提示：由集合元素的特征列方程组而解.※探究创新10．〔1〕给定集合A、B，定义A※B={x|x=m-n，m∈A，n∈B}．假设A={4，5，6}，B={1，2，3}，那么集合A※B中的所有元素之和为 〔〕A．15 B．14 C．29 D．-14〔2〕设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A、B的运算：A*B={x|x∈A，或x∈B,且xA∩B}，那么(A*B)*A等于〔〕A．A B．B C． D．〔3〕集合A={|且，N，N*，≤100}，试求出集合A的元素之和.答案：〔1〕A※B={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案选A．〔2〕先将A*B化简即得A*B={x|x∈A∪B，且xA∩B}=．∴(A*B)*A={x|x∈(A*B)∪A，且x(A*B)∩A}={x|x∈A∪B，且x}=B．〔3〕S＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234第5讲§函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此根底上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数〔function〕，记作=，．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域〔domain〕，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域〔range〕.2.设a、b是两个实数，且a<b，那么：{x|a≤x≤b}＝[a,b]叫闭区间；{x|a<x<b}＝(a,b)叫开区间；{x|a≤x<b}＝，{x|a<x≤b}＝，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.那么，，，，.3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法那么.当且仅当函数定义域、对应法那么分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，解得且，所以原函数定义域为.〔2〕由，解得且，所以原函数定义域为.【例2】求以下函数的定义域与值域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕要使函数有意义，那么，解得.所以原函数的定义域是.，所以值域为.〔2〕.所以原函数的定义域是R，值域是.【例3】函数.求：〔1〕的值；〔2〕的表达式解：〔1〕由，解得，所以.〔2〕设，解得，所以，即.点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】函数.〔1〕求的值；〔2〕计算：.解：〔1〕由.〔2〕原式点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第5练§函数的概念※根底达标1．以下各组函数中，表示同一函数的是〔C〕. A. B. C. D.2．函数的定义域为〔D〕.A. B.C.D.xy0-22xy0-222xy0xy0-22xy0-222xy0-222xy0-222A.B.C.D.4．以下四个图象中，不是函数图象的是〔B〕.A.B.C.D.A.B.C.D.5．函数的定义域为，那么的定义域为〔C〕. A． B． C． D．6．＝＋x＋1，那么＝______；f［］＝______．3＋,577．，那么=.－1※能力提高8．〔1〕求函数的定义域；〔2〕求函数的定义域与值域.答案：〔1〕；〔2〕定义域，值域.9．，，且，试求的表达式.答案：※探究创新10．函数，同时满足：；，，，求的值.解：令得.再令，即得.假设，令时，得不合题意，故；，即，所以；那么，.第6讲§函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法〔图象法、列表法、解析法〕表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1.函数有三种表示方法：解析法〔用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值〕；图象法〔用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反响变化趋势〕；列表法〔列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值〕.2.分段函数的表示法与意义〔一个函数，不同范围的x，对应法那么不同〕.3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射〔mapping〕．记作“”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法那么f.¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x，长、宽为，所以体积为V＝.又由，解得.所以，体积V以x为自变量的函数式是，定义域为.【例2】f(x)=，求f[f(0)]的值.解：∵，∴f(0)=.又∵>1，∴f()=()3+()-3=2+=，即f[f(0)]=.【例3】画出以下函数的图象：〔1〕；〔教材P26练习题3〕〔2〕.解：〔1〕由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示.〔2〕，所以，函数的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，当时，写出的解析式，并作出函数的图象.解：.函数图象如右：点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.第6练§函数的表示法※根底达标1．函数f(x)=，那么=〔B〕. A.1B.2C.3D.42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是〔C〕.OOdtOdtOdtOdtA.B.C.D.3．函数满足，且，，那么等于〔B〕. A. B. C. D.4．设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法那么f不是映射的是〔A〕. A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x5．拟定从甲地到乙地通话分钟的话费由给出，其中是不超过的最大整数，如：，从甲地到乙地通话分钟的话费是〔C〕. A.3.71B.4.24C.4.77D.6．函数且此函数图象过点〔1，5〕，实数m的值为.47．0；假设4.※能力提高8．画出以下函数的图象：〔1〕；〔2〕.9．设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式答案：※探究创新10．〔1〕设集合，.试问：从A到B的映射共有几个？〔2〕集合A有元素m个，集合B有元素n个，试问：从A到B的映射共有几个？解：〔1〕按映射定义，可以允许多对一，从而依次按三对一、二对一、一对一的情况作出映射图示，共有8种.〔2〕依据从A到B的映射定义，集合A的每一个元素都对应着B中的一个元素，有n种可能，所以，共有映射个.第7讲§函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解增区间、减区间等概念，掌握增〔减〕函数的证明和判别.¤知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数〔increasingfunction〕.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有〔严格的〕单调性，区间D叫f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的〔如右图1〕，减函数的图象从左向右是下降的〔如右图2〕.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x；→计算f(x)－f(x)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间〔0，1〕上的单调性.解：任取∈(0,1)，且.那么.由于，，，，故，即.所以，函数在〔0，1〕上是减函数.【例2】求二次函数的单调区间及单调性.解：设任意，且.那么.假设，当时，有，，即，从而，即，所以在上单调递增.同理可得在上单调递减.【例3】求以下函数的单调区间：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕，其图象如右.由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.〔2〕，其图象如右.由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】，指出的单调区间.解：∵，∴把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如下图.由图象得在单调递增，在上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知平移变换规律.第7练§函数的单调性※根底达标1．函数的减区间是〔D〕.A.B.C.D.2．在区间〔0，2〕上是增函数的是〔B〕.A.y=－x+1B.y=C.y=x2－4x＋5D.y=3．函数的递增区间依次是〔C〕.A.B.C.D.4．是R上的增函数，令，那么是R上的〔B〕. A．增函数 B．减函数 C．先减后增 D．先增后减5．二次函数在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是〔C〕.A.B.C.D.6．函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，那么在上是增函数〔填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”〕7．函数f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之间的大小关系为.※能力提高8．指出以下函数的单调区间及单调性：〔1〕；〔2〕解：〔1〕在、上都是减函数.〔2〕先作出函数的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方，所得图象如右图所示.由图可知，函数在、上是减函数，在、上是增函数.9．假设，且.〔1〕求b与c的值；〔2〕试证明函数在区间上是增函数.解：〔1〕；〔2〕略.※探究创新10．函数的定义域为R，对任意实数、均有，且，又当时，有.〔1〕求的值；〔2〕求证：是单调递增函数.解：〔1〕令，那么，∴.又，∴，.〔2〕设，那么，.又时有，∴.又，∴，∴在R上为增函数.第8讲§函数最大〔小〕值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大〔小〕值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大〔小〕值.¤知识要点：1.定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得=M.那么，称M是函数的最大值〔MaximumValue〕.仿照最大值定义，可以给出最小值〔MinimumValue〕的定义.2.配方法：研究二次函数的最大〔小〕值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3.单调法：一些函数的单调性，比拟容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高售出价，减少进货量的方法增加利润，这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，那么提高了元，减少了件，所赚得的利润为.即.当时，.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为360元.【例3】求函数的最小值.解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，所以当时，，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，那么，，所以，在时是增函数，当时，，故函数的最小值为2.【例4】求以下函数的最大值和最小值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，；当时，.所以函数的最大值为4,最小值为.〔2〕.作出函数的图象，由图可知，.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.第8练§函数最大〔小〕值※根底达标1．函数在区间上是减函数，那么y的最小值是〔A〕.A.1B.3C.－2D.52．函数的最大值是〔B〕.A.8B.C.4D.3．函数在区间上有最小值，那么的取值范围是〔A〕.A．B．C．D．4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h与时间t的函数关系式是那么炮弹在发射几秒后最高呢〔C〕.5.的最大〔小〕值情况为〔C〕.A.有最大值，但无最小值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.无最大值，也无最小值6．函数的最大值是.67．，.那么的最大值与最小值分别为.12;6※能力提高8．函数.〔1〕证明在上是减函数;〔2〕当时，求的最大值和最小值.答案：〔1〕略；〔2〕房价〔元〕住房率〔%〕160551406512075100859．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？答案：设房价为x元，那么营业额，当元时，营业额最高.※探究创新10．函数在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解：令.〔1〕当，即a≤0时，，得.〔2〕当0<<1，即0<a<2时，，得，都不在〔0,2〕内，不合.〔3〕当，即a≥2时，，解得.综上所述，实数或.第9讲§函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1.定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数〔evenfunction〕.如果对于函数定义域内的任意一个x，都有〕，那么函数叫奇函数〔oddfunction〕.2.具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别与的关系.¤例题精讲：【例1】判别以下函数的奇偶性：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有，所以为奇函数.〔2〕原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有，所以为偶函数.〔3〕由于，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】是奇函数，是偶函数，且，求、.解：∵是奇函数，是偶函数，∴，.那么，即.两式相减，解得；两式相加，解得.【例3】是偶函数，时，，求时的解析式.解：作出函数的图象，其顶点为.∵是偶函数，∴其图象关于y轴对称.作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致，∴时，.点评：此题中的函数实质就是.注意两抛物线形状一致，那么二次项系数a的绝对值相同.此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当时，，又由于是偶函数，那么，所以，当时，.【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.解：∵在区间上是减函数，∴的图象在y轴左侧递减.又∵是奇函数，∴的图象关于原点中心对称，那么在y轴右侧同样递减.又，解得，所以的图象在R上递减.∵，∴，解得.点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.第9练§函数的奇偶性※根底达标1．函数(|x|≤3)的奇偶性是〔A〕.A．奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2．〔08年全国卷Ⅱ.理3文4〕函数的图像关于〔C〕.A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称3．函数是奇函数，当时，；当时，等于〔B〕.A.B.C.D.4．函数，那么的奇偶性是〔A〕.A．奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．偶函数D．既是奇函数也是偶函数5．假设奇函数在[3,7]上是增函数，且最小值是1，那么它在上是〔B〕.A.增函数且最小值是－1 B.增函数且最大值是－1C.减函数且最大值是－1 D.减函数且最小值是－16．，，那么.-267．是定义在上的奇函数，在是增函数，且，那么的解集为※能力提高8．函数.〔1〕求函数的定义域；〔2〕判断函数的奇偶性并证明你的结论.答案：〔1〕；〔2〕奇函数.9．假设对于一切实数，都有：〔1〕求，并证明为奇函数；〔2〕假设，求.解：〔1〕由于对一切实数，都有，故在上式中可令，那么有：，所以.再令，那么有：，所以：，即，为奇函数.〔2〕由于为奇函数，且，※探究创新10．，讨论函数的性质，并作出图象.解：函数定义域为R，∵，∴是奇函数，图象关于对称.当时，.设，那么，当时，易知，那么在上是增函数；当时，易知，那么在上是减函数.当时，的最大值是1.结合奇函数的性质和函数的单调性，可作出图象如下.第10讲第一章集合与函数概念复习¤复习目标：强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练.深刻理解函数的有关概念.掌握对应法那么、图象等有关性质.理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握根本的判定方法和步骤，并会运用.¤例题精讲：【例1】〔05年江苏卷.17〕a,b为常数，假设，那么.解：由，那么，整理得，比拟系数得：，解得：；或.那么.【例2】〔02京、皖春.18〕是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明.解：设x1＜x2＜0，那么－x1＞－x2＞0，因为在上是减函数，那么.因为为偶函数，所以，由此可得在上是增函数.【例3】集合，，假设，求实数m的取值范围.解：由，得.当时，有：，解得.-12-m3-12-m3m+17BA，解得.综上可知，实数m的取值范围为.点评：两个含参集合的关系或者运算结果时，可以结合数轴分析区间端点的位置情况，列出相关不等式后求解参数范围.注意当时，不能无视的情况.【例4】设a为实数，函数，x∈R.〔1〕讨论的奇偶性；〔2〕假设x≥a，求的最小值.解：〔1〕当a=0时，函数，此时为偶函数.当a≠0时，，，.此时函数f〔x〕为非奇非偶函数.〔2〕当x≥a时，函数.假设a≤－，那么函数在上的最小值为.假设a＞－，那么函数在上单调递增，从而，函数在上的最小值为f〔a〕=a2+1.综上，当a≤－时，函数f〔x〕的最小值是－a.当a＞－时，函数f〔x〕的最小值是a2+1.点评：x∈R，f〔0〕=|a|+1≠0，由此排除f〔x〕是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f〔x〕是偶函数，此题还需运用分类讨论思想，研究二次函数在给定区间上的值域.第10练第一章集合与函数概念复习※根底达标1．〔06年陕西卷〕集合那么等于〔D〕.A.B.C.D.2．〔06年重庆卷.1)集合，，，那么〔D〕.A.B.C.D.3．〔06年辽宁卷.文3理2〕设是上的任意函数，以下表达正确的选项是〔C〕A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数4．〔06年辽宁卷.文2理1〕设集合，那么满足的集合的个数是〔C〕.A.1 B.3 C.4 D.85．〔06年山东卷〕定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，那么f(6)的值为〔B〕.A.－1B.0C.1D.26．〔06年上海卷.理1〕集合，集合．假设BA，那么实数＝.17．〔06年上海春卷〕函数是定义在上的偶函数.当时，，那么当时，.※能力提高8．全集，两个集合A与B同时满足：，，且.求集合A、B.解：画出Venn图，如右图所示.把、、的结果分别填入Venn图中相应区域，由全集U，得到另一个区域.由图可知，，.9．函数，求在区间上的最大值.解：当即时，在上单调递增，最大值当即时，最大值时，在上单调递减，最大值综上，.※探究创新10．定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y).〔1〕求证：f(0)=0；〔2〕求证f(x)是奇函数，并举出两个这样的函数；〔3〕假设当x≥0时，f(x)＜0.〔i〕试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之；〔ii〕判断方程│f(x)│=a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围.证明：〔1〕令x=y=0，那么f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0.〔2〕令y=-x,那么f(0)=f(-x)+f(x)，即f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数.例如：.〔3〕〔i〕任取x1<x2，那么x2-x1>0，f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，那么该函数有f(x2)<f(x1)，所以该函数f(x)在〔-∞，+∞〕上为单调减函数.〔ii〕当a>0时，有两解；当a=0时，有一解；当a<0时，无解.第11讲§指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1.假设，那么x叫做a的n次方根，记为，其中n>1，且.n次方根具有如下性质：〔1〕在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.〔2〕n次方根〔〕有如下恒等式：；；，〔a0〕.2.规定正数的分数指数幂：〔〕；.¤例题精讲：【例1】求以下各式的值：〔1〕〔〕；〔2〕.解：〔1〕当n为奇数时，；当n为偶数时，.〔2〕.当时，；当时，.【例2】，求的值.解：.【例3】化简：〔1〕；〔2〕〔a＞0，b＞0〕；〔3〕.解：〔1〕原式=.〔2〕原式====.〔3〕原式=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式====4.〔2〕原式===.点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，那么能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也表达了一种消去法的思想.第〔1〕小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第11练§指数与指数幂的运算※根底达标1．化简的结果是〔B〕.A.B.C.32．以下根式中，分数指数幂的互化，正确的选项是〔C〕.A.B.C.D.3．以下各式正确的选项是〔D〕.A.B.C.D.4．计算，结果是〔B〕.A.1B.C.D.5．化简，结果是〔A〕.A.B.C.D.6．化简的结果是.7．计算.※能力提高8．化简求值：〔1〕；〔2〕.答案：〔1〕；〔2〕；9．=3，求以下各式的值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕.〔2〕，.∴原式=.※探究创新10．函数，.〔1〕判断、的奇偶性；〔2〕分别计算和，并概括出涉及函数和对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明.答案：〔1〕都是奇函数；〔2〕，，一般地.证明略.第12讲§指数函数及其性质〔一〕¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1.定义：一般地，函数叫做指数函数〔exponentialfunction〕，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为；当时，，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.¤例题精讲：【例1】求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.〔2〕要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.〔3〕要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.【例2】求以下函数的值域：〔1〕；〔2〕解：〔1〕观察易知，那么有.∴原函数的值域为.〔2〕.令，易知.那么.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，所以.∴原函数的值域为.【例3】〔05年福建卷.理5文6〕函数的图象如图，其中a、b为常数，那么以下结论正确的选项是〔〕.A． B．C． D．解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而0<a<1；从曲线位置看，是由函数的图象向左平移|-b|个单位而得，所以-b>0，即b<0.所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围.也可以取x=1时的特殊点，得到，从而b<0.【例4】函数.〔1〕求该函数的图象恒过的定点坐标；〔2〕指出该函数的单调性.解：〔1〕当，即时，.所以，该函数的图象恒过定点.〔2〕∵是减函数，∴当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用.而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第12练§指数函数及其性质〔一〕※根底达标1．以下各式错误的选项是〔C〕.A.B.C.D.2．，在以下不等式中成立的是〔C〕.A.B.C.D.3．函数y=ax+1〔a＞0且a≠1〕的图象必经过点〔D〕.A.〔0，1〕 B.〔1，0〕C.〔2，1〕 D.〔0，2〕4．设满足，以下不等式中正确的选项是〔C〕.A.B.C.D.5．世界人口已超过56亿，假设千分之一的年增长率，那么两年增长的人口可相当于一个〔D〕.A.新加坡(270万)B.香港(560万)C.瑞士(700万)D.上海(1200万)6．某地现有绿地100平方公里，方案每年按10%的速度扩大绿地，那么三年后该地的绿地为平方公里.7．函数的定义域为；函数的值域为，.※能力提高8．为不相等的正数，试比拟与的大小..解：作商，得.当时，，，∴.当时，，，∴.由上可得，>1，即>.9．假设函数，.〔1〕求函数的图象恒过的定点坐标；〔2〕求证：.解：〔1〕当，即时，.所以，函数的图象恒过定点.〔2〕证明：.∴.※探究创新10．讨论函数的值域.解：观察易知，，那么当时，由指数函数的单调性，得，所以值域为；当时，由指数函数的单调性，得，所以值域为.综上所述，当时，原函数值域为；当时，原函数值域为.第13讲§指数函数及其性质〔二〕¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数与的图象为例，得出这以下结论：〔1〕函数的图象与的图象关于y轴对称.〔2〕指数函数的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列以下各数：，，，.解：构造四个指数函数，分别为，，，，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是，，，.如右图所示.由于，所以从小到大依次排列是：，，，.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比拟问题.当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比拟此类大小.【例2】.〔1〕讨论的奇偶性；〔2〕讨论的单调性.解：〔1〕的定义域为R.∵.∴为奇函数.〔2〕设任意，且，那么.由于，从而，即.∴，即.∴为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决.需要我们理解两个定义，掌握其运用的根本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求以下函数的单调区间：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕设.由知，在上为减函数，在上为增函数.根据的单调性，当时，y关于u为增函数；当时，y关于u为减函数.∴当时，原函数的增区间为，减区间为；当时，原函数的增区间为，减区间为.〔2〕函数的定义域为.设.易知为减函数.而根据的图象可以得到，在区间与上，y关于u均为减函数.∴在上，原函数为增函数；在上，原函数也为增函数.点评：研究形如的函数的单调性，可以有如下结论：当时，函数的单调性与的单调性相同；当时，函数的单调性与的单调性相反.而对于形如的函数单调性的研究，也需结合的单调性及的单调性进行研究.复合函数的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出与两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，那么复合后结果为增函数；假设两个函数一增一减，那么复合后结果为减函数.为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化→的变化→的变化”这样一条思路进行分析.第13练§指数函数及其性质〔二〕※根底达标1．如果指数函数y=在x∈R上是减函数，那么a的取值范围是〔C〕.A．a＞2 B．a＜3C．2＜a＜3 D．2．使不等式成立的的取值范围是〔B〕.A.B.C.D.3．某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m倍，那么该厂去年产值的月平均增长率为〔D〕.A.m B. C. D.4．函数的单调递减区间为〔D〕.210y/m2t/月238210y/m2t/月238145．如下图的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间(月)的关系:,有以下表达:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过;③浮萍从蔓延到需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的选项是〔D〕.A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②6．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，那么y与x的关系式为.7．定义运算那么函数的值域为.※能力提高8．.〔1〕讨论的奇偶性；〔2〕讨论的单调性.答案：定义域为R,关于原点对称，所以所以函数为奇函数；〔2〕，为R上的减函数，为增函数，那么复合函数为减函数.9．求函数的定义域、值域并指出单调区间．答案：，函数U在，而在R上是增函数，根据复合函数的单调性“同增异减”，所以函数。定义域R；值域；单调增区间，单调减区间.※探究创新10．函数是偶函数.〔1〕试确定的值及此时的函数解析式；〔2〕证明函数在区间上是减函数；〔3〕当时，求函数的值域.解：〔1〕由函数是偶函数，得，即，解得.所以.〔2〕证明：设且，那么=.因为且，所以，因此.又因为，所以.因此，在上是减函数.〔3〕因为在上是减函数，所以在上也是减函数，那么，即.第14讲§对数与对数运算〔一〕¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1.定般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数〔logarithm〕.记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数〔commonlogarithm〕，并把常用对数简记为lgN在科学技术中常使用以无理数……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN3.根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，.4.负数与零没有对数；，¤例题精讲：【例1】将以下指数式化为对数式，对数式化为指数式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕ln100=4.606.解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.【例2】计算以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕设，那么，即，解得.所以，.〔2〕设，那么，即，解得.所以，.〔3〕设，那么，即，解得.所以，.【例3】求证：〔1〕；〔2〕.证明：〔1〕设，那么，解得.所以.〔2〕设，，那么，.因为，那么.所以，.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到.我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：〔，且；，且；〕.证明：设，，，那么，，.从而，即.由于，那么.所以，.点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具.其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第14练§对数与对数运算〔一〕※根底达标1．对应的指数式是〔B〕.A.B.C.D.2．以下指数式与对数式互化不正确的一组是〔C〕.A.B.C.D.3．设，那么x的值等于〔C〕.A.10B.0.01C.100D.10004．设，那么底数x的值等于〔D〕.A.2B.C.4D.5．，那么等于〔C〕.A.B.C.D.6．假设，那么x=；假设，那么x=.7．计算：=8；=-6.※能力提高8．求以下各式的值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕设，那么，即，解得.所以.〔2〕设，那么，即，解得.所以.9．求以下各式中x的取值范围：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，解得且.〔2〕由，解得或.※探究创新10．〔1〕设，，求的值.〔2〕设,，且，求a的值.解：〔1〕由，，得，.所以，.〔2〕由且，由于，所以.第15讲§对数与对数运算〔二〕¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1.对数的运算法那么：，，，其中，.三条法那么是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2.对数的换底公式.如果令b=N，那么得到了对数的倒数公式.同样，也可以推导出一些对数恒等式，如，，等.¤例题精讲：【例1】化简与求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式=====.〔2〕原式====.【例2】假设，那么=.〔教材P83B组2题〕解：由，得，.那么.【例3】〔1〕方程的解x=________；〔2〕设是方程的两个根，那么的值是.解：〔1〕由，得，即，整理为.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.〔2〕设，那么原方程化为，其两根为.由，得到.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质.第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】〔1〕化简：；〔2〕设，求实数m的值.解：〔1〕原式=.〔2〕原式左边=,∴，解得.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数.换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第15练§对数与对数运算〔二〕※根底达标1．〔〕等于〔B〕.A.1 B.－1 C.2 D.－22．〔a≠0〕化简得结果是〔C〕.A.－a B.a2 C.｜a｜ D.a3．化简的结果是〔A〕.A.B.1C.2D.4．,那么的值等于〔A〕.A.1B.2C.8D.125．化简的结果是〔C〕.A.1B.C.6．计算＝1.7．假设3a＝2，那么log38－2log36＝a-2.※能力提高8．〔1〕，，试用a、b表示的值；〔2〕，用a、b表示.解：〔1〕由，得到.设，那么.因为，所以，即.〔2〕9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭〔除燃料外〕的质量的关系是.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可到达10？解：由，即.∴.用计算器※探究创新10．〔1〕设均为实数，且，试比拟3x与4y的大小.〔2〕假设a、b、c都是正数，且至少有一个不为1，，讨论x、y、z所满足的关系式.解：〔1〕解：由，得到.从而，所以.〔2〕由，两边取对数，得，同理，.三式相加，得.∴或.由，得，即，代入，得.又a、b、c至少有一个不为1，所以，即.所以，x、y、z应满足或.第16讲§对数函数及其性质〔一〕¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1.定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmicfunction).自变量是x；函数的定义域是〔0，+∞〕.2.由与的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为，值域为R；当时，，即图象过定点；当时，在上递减，当时，在上递增.¤例题精讲：【例1】比拟大小：〔1〕，，；〔2〕，，.解：〔1〕∵在上是减函数，且，∴.又，所以.〔2〕由，得.又，，所以.【例2】求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，得，解得.所以原函数的定义域为.〔2〕由，即，所以，解得.所以，原函数的定义域为.【例3】函数的区间上总有，求实数a的取值范围.解：∵，∴当时，，即.∵，∴，解得.当时，，即.∵，∴，解得.综上可得，实数a的取值范围是.点评：先对底数a分两种情况讨论，再利用函数的单调性及条件，列出关于参数a的不等式组，解不等式〔组〕而得到参数的范围.解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式中x的取值范围.解：当时，原不等式化为，解得.当时，原不等式化为，解得.所以，当时，x的取值范围为；当时，x的取值范围为.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求.当底数a不确定时，需要对底数a分两种情况进行讨论.第16练§对数函数及其性质〔一〕※根底达标1．以下各式错误的选项是〔B〕.A.B.C.D..xy11oxxy11oxyo11oyx11oyx11ABCD3．以下函数中哪个与函数y=x是同一个函数〔C〕A.B.y=C.D.y=4．函数的定义域是〔D〕.A.B.C.D.5．假设，那么满足的条件是〔C〕.A.B.C.D.6．函数的定义域为.〔用区间表示〕7．比拟两个对数值的大小：<；>.※能力提高8．求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕，〔2〕9．函数，，求：〔1〕的值域；〔2〕的最大值及相应x的值.解：〔1〕∵，∴为增函数.因此，当时，取最小值为，当时，取最大值为.所以，的值域为.〔2〕.易知在区间上，为减函数，那么当时，.※探究创新10．假设为不等于1的正数，且，试比拟、、.解：因为，所以只需比拟、、－1的大小.、当时，，，所以.当时，，，那么.当时，，.假设，那么，所以；假设，那么，所以；假设，那么，所以.第17讲§对数函数及其性质〔二〕¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数.〔a>0,a≠1〕¤知识要点：1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数〔inversefunction〕.互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.2.函数与对数函数互为反函数.3.复合函数的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；假设两个函数一增一减，那么复合后结果为减函数.研究复合函数单调性的具体步骤是：〔i〕求定义域；〔ii〕拆分函数；〔iii〕分别求的单调性；〔iv〕按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数的单调性.解：先求定义域，由,解得.设，易知为减函数.又∵函数是减函数，故函数在上单调递增.【例2】〔05年山东卷.文2〕以下大小关系正确的选项是〔〕.A.B.C.D.解：在同一坐标系中分别画出的图象，分别作出当自变量x取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：.应选C.【例3】指数函数的图象与对数函数的图象有何关系？解：在指数函数的图象上任取一点，那么.由指对互化关系，有.所以，点在对数函数的图象上.因为点与点关于直线对称，所以指数函数的图象与对数函数的图象关于直线对称.点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来.这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数与互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”M是箭体〔包括搭载的飞行器〕的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：.当燃料重量为吨〔e为自然对数的底数，〕时，该火箭的最大速度为4〔km/s〕.〔1〕求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式；〔2〕该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度到达8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：〔1〕依题意把代入函数关系式，解得.所以所求的函数关系式为整理得〔2〕设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，代入函数关系式所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题.代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.第17练§对数函数及其性质〔二〕※根底达标1．函数的图象关于〔C〕.A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y＝x对称2．函数的值域是〔C〕.A.RB.C.D.3．〔07年全国卷.文理8〕设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，那么〔D〕.0xC1C2C4C0xC1C2C4C31y4．图中的曲线是的图象，的值为，，，，那么相应曲线的依次为〔A〕.A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，5．以下函数中，在上为增函数的是〔D〕.A.B.C.D.6．函数是奇函数.〔