静电场中的导体和电介质讲解

大学物理教案〔主讲人：刘国松〕大学物理教案〔主讲人：刘国松〕体和电介质 备注引言：一、导体、电介质、半导体导体：导电性能很好的材料；例如：各种金属、电解质溶液。电介质〔绝缘体半导体:导电性能介于导体和绝缘体之间的材料；二、本章内容简介三、本章重点和难点重点导体的静电平衡性质；空腔导体及静电屏蔽；电容、电容器；难点导体静电平衡下电场强度矢量、电势和电荷分布的计算；第一节静电场中的导体一、静电感应静电平衡静电感应金属导体的电构造由电子构成，晶格不动，相当于骨架，而自由电子可自由运动，布满整个导体，是公有化的。例如：金属铜中的自由电子密度为： 。n 81028m3。Cu观上呈电中性。静电感应当导体处于外电场E0中时，电子受力后作定向运动，而消灭负电荷，在另一侧因相对缺少负电荷而消灭正电荷。这就是静电感应现象，消灭的电荷叫感应电荷。静电平衡不管导体原来是否带电和有无外电场的作用，导体内部和外表都没有电荷的宏观定向运动的状态称为导体的静电平衡状态。-11-备注〔a〕自由电子定向运动 〔b〕静电平衡状态静电平衡条件〔静电平衡态下导体的电性质〕，都与导体外表垂直。在静电平衡时，导体内上的电势处处相等，导体是一个等势体。E0，则自由电子将沿导体外表有宏观定向运动，导体未到达静电平衡状态，和命题条件冲突。 dU

0,dU0由于E

0，所以dl

，即导体为等势体，导体外表内 为等势面。二、静电平衡时导体上电荷的分布实心导体〔1〕布于导体外外表。 内证明：在导体内包围P点作闭合曲面S，由静电平衡条件E 0，所以由内高斯定理：

qE dSS 内

内0

，得 q 0。内处于静电平衡的导体，其外表上各点的电荷面密度与外表邻近处场强大小成正比。内证明：在导体外表任取无限小面积元ΔS，认为它是电荷分布均匀的带电平面，电荷面密度为，作高斯面〔如图：扁平圆柱面很小，由高斯定理：

EdS EEdS EEEE S0SE S表 表

cos2E表

SS0由此得

E E表0 ，即

n0 。留意和结论：★E；n★ 为导体外表的外法线方向单位矢量；★E 由导体上及导体外全部电荷所产生的 合场强而非仅由导表体外表该点处的电荷面密度所产生。例如：孤立的半径为R的均匀带电球面，球面外邻近处P 点的场强大小为qEP4R2q0

0由整个球面上电荷共同产生。-11-带电球四周有点电荷q1时，同一P点处的场强由球面上原有电荷q和 备注点电荷q1

EEE E

EP nP q

感应电荷,仍旧满足 0 。σ与该外表曲率σσ1R。尖端放电离的放电现象，称为尖端放电。空腔导体空腔导体内部无带电体性质：①空腔内部及导体内部电场强度处处为零，它们形成等电势区。②空腔内外表不带任何电荷。上述性质可用高斯定律证明。下面说明性质②。在导体内做一高斯面，依据静电平衡，导体内部场强处处为零，所以导体内外表电荷的代数和为零。如内外表某处面电荷密度σ>0,σ<0，两者之间就必有电力线相连，就有电势差存在，这与导体内场强为零相冲突。所以导体内外表处处e=0。这些结论不受腔外电场的影响，腔外电场与腔外外表电荷在腔内场强总奉献为零。腔内有带电体①导体中场强为零。的电荷分布。③空腔的内外表所带电荷与腔内带电体所带电荷等量异号。④导体接地，则空腔内带电体的电荷变化将不再影响导体外的电场。证明：〔弄清感应电荷的数量。〕三、静电屏蔽electrostaticshielding如图，在空腔导体外，还有一带负电的带电体B，由于静电感应，空腔导体外外表上的电荷及带电体B上的电荷将重分布。静电平衡时：〔1〕B使外外表上电荷重分布；内外表、腔内带电体的电荷分布不变；导体空腔局部的电场等于零；导体接地，腔内电场不影响腔外，腔内各点相对地的电势不再变化。总之，空腔导体〔无论接地与否〕将使腔内空间不受外电场的影响，而接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响，称之为静电屏蔽现象。例P61-P62。例题1：课本P62-P63，请自学。2：一半径为rr

rr1 2 2

1相互绝缘的两个同心导体球壳，现将+q电量赐予内球壳，求：外球壳上所带的电荷和外球的电势。荷及外球的电势。转变多少？〔+q分布在内球壳外外表，静电感应后，外球壳内外表带电-q，外外表带电+q，整个外球壳总电荷为零，Q

0。由高斯定理得：外球壳-11-EqEq4πε

0rr1 r2 rrr 0 1 2q4πεr2 rr0 2 。 由静电平衡条件得：球壳导体内部场强为零，即：E 0U外球所以有：

r2

Edlr2

q0

dr q4r02或由电势叠加原理得：qU外求4rq02

q4r02

q4r02

q40U

r20，

Q 0 Q

q Q q外球壳接地后再绝缘，则：外球

同时外球外表 ，

外球内表

，即外球壳 。U 0内球壳接地后，得内球 。此时设内球带正电荷为e，外球内外表带U e

q r20 e 1q2

0电荷为-q，则

4r01

4r02

，所以得 r

不为零。U

e q

(0)因而有：

4r 4r 4r02 02 02U U

0

eq外球则有：

外球 外球

4r02

4r02。其次节电容电容器静电平衡时导体上的电荷只能分布在外表，且与其本身的外形、构造及四周的介质有关。下面我们争论的是导体容电本领问题。一、孤立导体的电容定义R，带电荷为Q的孤立球形导体，则它的电势〔相对于无限远处的零电势而言〕为Q4R而 V 0

V 1 Q40R该比值仅与导体的几何外形和大小有关，与导体所带的电量无关。由此我们定义孤立导体的电容为孤立导体所带的电荷Q与V的比值。即：CQV电容C是反映导体容电力量的物理量。用单位电势差所能容纳的电量来表征。单位法拉F，微法m〕,皮法p〕F106F112pF二、电容器例子和概念两个同心球壳，内球A和外球B分别带+q和-q电量，中间充以空气或电介质。当外壳接地后，这样的导体组——格外靠近的中间布满电介质的两个导体组合，称为电容器。两个导体称为电容器的极板。电容器的电容C定义：电容器的电容

QV VA

，Q为一个极板所带电量确实定值，VA-VB为两极板间的电势差。-11-〔1〕电容器电容的大小取决于极板的外形、大小、相对位置以及电介质的电容率。与电容器是否带电无关。 备注〔2〕电容器符号： ，固定电容器； ，可变电容器。电容的计算〔1〕A、B分别带+q和-q电荷。 〔2〔2〕求两极板间的电场分布，并由AB

A

计算两极板间电势差。C〔3〕由定义式

q例子：几种常见的电容器电容的计算平板电容器d，面积为S的平行金属板组成的平行板Q电容器板间为真空每块极板上的电荷面密度为 S两极板间的电场为均匀电场，无视边缘效应，两极板间的场强为：EQ两极板间的电势差为

S0 0U QdEdlEdAB

dS0 0依据电容的定义得平板电容器的电容为0CQS0U d可见，平板电容器的电容与电容器是否带电无关，只与电容器本身的构造外形有关。1：课本P66〔请自学〕圆柱形电容器设内、外圆柱面各带有+Q和-Q荷，则电荷线密度为r处的电场强度E大小为

Ql。在两个圆柱E Q 12

r 2lr0E的方向垂直于圆柱轴线。于是，两圆柱面间的电势差为 Q dr Q RUErRB ln Bl R A

lr 2 l R0 0 A由电容的定义式可得圆柱形电容器的电容为CQ

2 l0BU lnRRBA可见，圆柱越长或两圆柱面间的间隙越小，电容越大。当两圆柱风光间的间隙d«RA时，有于是圆柱形电容器的电容可写成

lnRBRBA

lnRddAR RAA A2lR SC 0 A 0d d

(圆柱体的侧面积S2Rl)A这正是平板电容器的电容。可见，当两圆柱面之间的间隙远小于圆柱体半径时，圆柱形电容器可当作平板电容器。布置作业-11-P94第2题 P95第7题备注第十六讲例题2：课本P67〔球形电容器的电容〕 两半径分别为R1和R2的同心金属球壳组成球形电容器，两球壳间为真空，求电容。解：设内外球面分别带+q和-q电量，由高斯定理得两极板间场强方向沿径向，大小为：E q RrR两极板间电势差为：

0

1 2。2 R q

q 1 1U 2

dr

12q 4RR

1 R 1 0

4 R R0 1 2C

01 212由定义得：0 U12

RR2 1

R2 SRRdR

C 0 1 0〔1)当2器一样。

1 1时，0

d d ，和平板电容1〔2〕当R21

C时0时

40

R，孤立球形电容器。例题3：课本P68〔传输线的分布电容，自学〕三、电容器的并联和串联电容器的并联qq，VVqi，CCii i Cii i

i 并联电路总电容量增大，电容组耐压值不变。电容器的串联联qq1Vi

qq，2 iV，i11C Ci i串联电路总电容量削减，电容组耐压值增大。但如其中一个被击穿，其余电容器会相继被击穿。第三节静电场中的电介质重点：电介质的极化和极化强度矢量；电位移矢量；有介质时的高斯定理；有介质时电场强度的计算。难点：电位移矢量〔气〔液、云母〔固。我们先从试验现象入手争论电介质和静电场的相互作用规律。一、电介质对电容的影响相对电容率试验事实相对电容率〔1〕如下图，平板电容器极板间为真空时的电容为C

。假设对该电容器0UQ=CU

0 0 0-11-电源，维持极板上的电荷Q不变，并使两极板间布满均匀的各向同性的电介质，由试验可测得两极板间电压

UU 备注0 r。由平板电容器电容公式得：C

C，即在维持电容器两极板的电荷不变时，布满电介质r 0的电容器的电容为真空电容的 r倍。其中对电容率。

r为是一个没有单位的、大于1的纯数，称为电介质的相0rr定义：电介质的电容率0rr电场强度的变化

、都是表征电介质性质的。把UU 0 r

Ud得

dU d0 rEE0即 r可见，在两极板电荷不变的条件下，布满均匀的各向同性的电介质的平板电容器中，电介质内的电1场强度为原来真空时电场强度的 r。当极板上加肯定的电压时，极板间就有肯定的电场强度，电压越大，电场强度也越大。当电场强度增大到某一最大值Eb时，电介质中分子发生电离，从而使电介质失去绝缘性，即电介质被击穿了。电介质能承受的最大电场强度Eb称为电介质的击穿场强，相应两极板的电压称为击穿电压。与U E U。与b b

的关系为EUb b

d 。不同电介质的击穿场强是不同的。上述试验说明：插入电介质后两极板间电压削减，电场减弱了。电场减弱的缘由可用电介质与外电场的相互影响，下面从微观构造上来解释。二、电介质的极化电介质的电构造电子被原子核紧紧束缚；在静电场中电介质中性分子中的正、负电荷仅产生微观相对运动；在静电场与电介质相互作用时，电介质分子简化为电偶极子。电介质由大量微小的电偶极子组成；电介质在外电场中→极化→产生极化电荷→产生附加电场→作用于电介质→到达静电平衡。电介质的内部构造有极分子，无外电场时，分子的正、负电荷中心不重合，分子具有固有电偶极矩。例如：H2O HClCO SO2。无极分子，无外电场时，分子的正、负电荷中心重合，分子没有固有电偶极矩CO2H2N2 O2 He。3电介质的极化〔Polarization〕Displacementpolarization主要是电子发生位移。OrientationpolarizationPolarizationcharge〔boundcharge〕下面看看外电场中的电介质极化的宏观效果：在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介质外表荷能用传导方法将其引走。象称为电介质的极化〔如何定量描述？〕电晕现象的解释见课本P75，请自学。-11-三、电极化强度备注宏观上，电介质极化程度用电极化强度矢量来描述。1.电极化强度矢量 ppi定义：

Plim iΔV ΔV ，其中

i个分子的电偶极矩。iP称为电极化强度。单位为：Cm2。iP与

的定量关系 ，如图，在平板电容器两极板间的介质内沿着P方向取一长度为dl 横截面为dS的小圆柱体，在其内部极化可视为是均匀的。因而该圆柱体具有电 偶极矩为PdVPdldS，依据定义它可视为两端具有电荷

”dS

的电偶极PdS.dldSdlP均匀电介质中的电极化强度的大小等于极化产生的极化电荷面密度。四、电介质中的电场强度Q与Q0的关系电介质中的电场强度

EEE E外电场E，极化电荷产生的电场E，电介质内部的合场强E为： ，E与 的方0 0 0E的值为EE0E。极化电荷与自由电荷的关系 0极板上自由电荷面密度为0

。在放人电介质以前自由电荷电场强度E0的值为E 0 0

E00其电荷面密度为。相应的电场强度E的值为E。则由上式以及前面试验结果得0E1Err

EE0

EE0r即 0即r从而可得

10rr QQr Q0r亦即r这就是极化电荷与自由电荷的关系。电极化强度与电场强度的关系试验规律 对均匀线性介质有：P E，χ称为电介质的电极化率，是一个大于零的纯数。0χ和相对电容率

r的关系由E0

、Pχε

0E、P代入E0

rE可得：0r

r

r1 0 0r0

r 比1比rr1。χ和r的争论：课本P77。χ、用。

r、 三者都是表征电介质性质的物理量，知道其中之一即可求得其它两个。并且普遍适第四节电位移有电介质时的高斯定理一、电位移矢量空间存在导体时，电场仍由自由电荷产生。高斯定理，场强环流定理仍旧适用，且形式不变。-11-存在电介质时，空间电场由自由电荷和极化电荷共同产生。产生的静电场仍为有势场。静电场的环流定理仍旧成立，即

备注。Edl0。L静电场中的高斯定理仍旧成立〔高斯面如图，形式变为：

dS

QS 0

0 PdS由于：S

dQS内，11EdS

1

PdS0所以：S 0

0 S00S

(EP)dS0

Q内S0内定义电场关心矢量——电位移〔electricdisplacement〕矢量： 二、有电介质时的高斯定理

D

EP0 内DdS q内由上面争论可得：S

通过电介质中任一封闭曲面S电介质时的高斯定理。三、争论和说明

的关系D E 对于各向同性电介质，把PE代入DEP得：00(1)

D E P E E E 0 0 0 0r留意到r

，且

r，则有：

DED的单位：Cm2

是一个关心量，打算电荷受力的仍旧E。当自由电荷的分布时，可先由高斯定E 理求出DE描述电场性质的物理量仍旧是电场强度E和电势V。 D通量与Q有关，而D与Q、Q均有关。 0 0DED线从正自由电荷动身，终E自由电荷和极化电荷。电介质中的场强和电势与真空中的场强和电势的关系〔均匀电介质布满整个电场，或电介质外表是等势面时〕EE0r

，VV0rrr 而布满了电介质的电容为真空中电容的CC。rr 布置作业课本P.96第13题 课本P.97第18题-11-大学物理教案〔主讲人：刘国松〕 第十七讲备注例1〔课本P.7，请自学例2〔课本P.8，请自学R例3〔课本P.8〕圆柱形电容器上由半径为R1

的长直圆柱导体和与它同轴的薄导体圆筒组成，R。假设直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为ε

的电介质。设直导体和圆筒单位长2 r度上的电荷分别为+λ和-λ。求电介质中的场强、电位移和极化强度；电介质内、外外表的极化电荷面密度；此圆柱形电容器的电容。〔1〕由对称性分析，电场为柱对称分布，依据介质中的高斯定理，有DdS D2rlDdSS D2r。EE

E得电介质中场强为：

E2r

RrR1 20r 0r电介质中极化强度为：P

1E rrE RrR

0 2rr〔2〕

2r

1 2 E

0rrR1 2R0r 1和

1E22R

rR2 0r 2由P由e0

E和P得电介质两外表极化