启迪教育初三圆讲义

/第三章：圆一、中考要求：1．经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．2．认识圆的轴对称性和中心对称性．3．探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系定理，探索并理解圆周角和圆心角关系定理．4．探索并了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．5．了解切线概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．6．进一步认识和理解研究图形性质的各种方法．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:序号所考知识点比率1圆的有关概念和性质2~3%2与圆有关的角3%3点与圆，直线与圆的位置关系3%4圆与圆的位置关系4%5切线的性质和判定4%6弧长扇形的面积2%(二)中考热点：运用圆的有关性质及计算公式进行简单的几何证明和几何计算是热点题型。三、中考命题趋势及复习对策根据新课标要求，有关圆的证明题的难度有所降低，这部分的题型主要以填空题、选择题、计算题为主，题目较简单，在中考试卷中，所占的分值为6％左右，故在复习时应抓住基础知识进行复习，并且注意将圆的有关知识与其他各讲的知识进行联系，切忌太难的几何证明题．★★★(I)考点突破★★★考点1：圆的有关概念和性质一、考点讲解：1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、深圳南山区，3分）如图1－3－l，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.解：9点拨：由圆周角定理，得∠A=∠D=∠ACB=60○，所以△ABC为等边三角形．所以其周长=9．【考题1－2】（2004、贵阳，3分）如图1－3－2，在⊙O中，弦AB=1．8。m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于=_________cm．解：3.6点拨：连结OA、OB，如图l－3－2．则∠AOB=∠ACB＝60○．所以△OAB为等边三角形．所以OA=AB=1．8cm则直径2OA=3．6cm．点拨：主要考查圆周角与圆心角关系.三、针对性训练：(50分钟)(答案：272)1．如图l－3－3，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．2．如图1－3－4，A、B、C是⊙O上三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．3．在△ABC中，∠A=62°，点I是外接圆圆心，则∠BIC=___________4．下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弦相等B．等弦所对的弧相等C．等弧所对的弦相等D．垂直于弦的直线平分弦5．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图1－3－5，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．如图1－3－6，已知AB是半圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，那么EQ\F(CD,AB)等于（）A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．cot∠BPD7．⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离．8．在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是和，则∠BAC的度数为多少？考点2：与圆有关的角一、考点讲解：1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．4．弦切角：圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角．弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半．弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角．5．圆内接四边形顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004、大连，3分）如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○C．30○D．15○解：A点拨：圆周角的度数等于同弧所对圆心角度数一半，所以∠BAC=EQ\F(1,2)∠BOC，所以∠BOC=60○【考题2－2】（2004、北京，4分）如图1－3－8，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○B．50○C．65○D．130○解：点拨：连结OA、OB，因为PA、PB是⊙O的切线，所以∠OBP=∠OAP=90○，因为∠P=50○所以∠AOB=130○，所以∠ACB=65○（同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半）三、针对性训练：(40分钟)(答案：273)1．如图1－3－9，已知AB是⊙O的直径，AD∥OCAD的度数为80°，则∠BOC=_________.2．如图1－3-10，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______3．如图1－3－l，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在上，则∠C的度数是________-.4．如图l－3－12，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°5．如图1－3－13是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180°B．150°C．135°D．120°6．如图1－3－14所示，直线AB交圆于点A，B，点M的圆上，点P在圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB=50°．设∠APB=x°，当点P移动时，求x的变化范围，并说明理由.考点3：点与圆，直线与圆的位置关系一、考点讲解：1．点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外d＞r．点在圆上d=r．点在圆内d＜r．2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交d＜r，直线与圆相切d=r，直线与圆相离d＞r二、经典考题剖析【考题3－1】（2004、潍坊）Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝①以点C为圆心1．3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（A．0个B．l个C．2个D．3个解：D点拨：先求出圆心C到AB的距离CD=2.4cm【考题1－2】（2004、郸县，3分）已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有解：共有2个点拨：运用圆心距=半径之和．三、针对性训练：(分钟)(答案：)如图――1．△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.2．两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（A．EQ\r(,3)B．2EQ\r(,3)C．3D．43．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________考点4：圆与圆的位置关系一、考点讲解：1．同一平面内两圆的位置关系：（1）相离．如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．（2）若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.（3）相切．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（4）相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．2．圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．3．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则⑴两圆外离d＞R+r；有4条公切线；⑵两圆外切d=R＋r；有3条公切线；⑶两圆相交R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；⑷两圆内切d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑸两圆内含d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两国内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）二、经典考题剖析：【考题4－1】（2004、湟中，3分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5cm，两圆的圆心距是6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．外离C．内切D．相交解：D点拨：R+r＝5+3=8cm，R－r=5—3=2cm，D=6cm，所以R－r＜d＜R+r，所以两圆相交.【考题4－2】（2004、临汾，3分）已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距是____cm．解：1或5点拨：两圆相切分两种情况外切和内切，外切d=R＋r；内切d＝R—r.三、针对性训练：(30分钟)(答案：273)1．已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有_________2．已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为________cm．3．已知两圆半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，则两圆的内公切线的长为_________4．已知两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（A．相离B．相交C．内切D．外切5．两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8B．0＜d≤2C．2＜d＜8D．0≤d＜2或d＞86．如图1－3－15，⊙O1和⊙O2外切于点A，直线BD切⊙O1于点B，交⊙O2于点C、D，直线DA交⊙O1于点E．求证：（1）∠BAC=∠ABC+∠D（2）AB2=AC·AE．考点5：切线的性质和判定一、考点讲解：1．切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．2．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．3．切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．二、经典考题剖析：【考题5－1】（2004、鹿泉）如图1－3－16，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）解：C点拨：因为P为切线，A为切点，所以OA⊥PA，由勾股定理，得OP＝5,则cos∠APO=EQ\F(AP,OP)=EQ\F(4,5)【考题5－2】（2004、北碚，3分）如图l－3－17，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70°B．40°C．50°D．20°解：D点拨：主要考查切线的性质，此题需连结OB，如图1－3－17，则OB⊥PB，OA⊥PA．再用四边形的内角和来解．三、针对性训练：(20分钟)(答案：273)1．如图1－3－18，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．2．如图l－3－19，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．3．如图l－3－20，⊙O半径为1，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，PA=1，AB是⊙O的弦，且AB=EQ\r(,2)，求PB的长．考点6：弧长扇形的面积一、考点讲解：1．弧长公式：(n为圆心角的度数上为圆半径)2．扇形的面积公式S=(n为圆心角的度数,R为圆的半径）．3．圆锥的侧面积S=πRl,(l为母线长，r为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．二、经典考题剖析：【考题6－1】（2004、黑龙江，宁安，3分）制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（），A．1425πcm2B．1650πcm2C．2100πcm2D．2625πcm2解：A点拨：圆柱的侧面展开图为矩形，矩形长为30cm，宽为40cm，侧面积=1200πcm2，底面积=152π=225πcm2，所以，总面积=1200π+225π=（πcm2）【考题6－2】（2004、湟中，8分）如图1－3－21，在在⊙O中，AB是直径，半径为R，求：(1)∠AOC的度数.(2)若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.解：(1)∠AOC=60°(2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条点拨：本题是几何探究题，主要考查了弧长公式，及在圆中探索三角形全等．三、针对性训练：(20分钟)(答案：273)1．在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则AB的长为（）2．扇形的周长为16，圆心角为’，则扇形的面积为（）A．16B．323．如图1－3－23，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC=EQ\r(,3)，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）4．如图1－3－24，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm、∠AOB＝120㎝，求这个广告标志面的周长．★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★(142分，90分钟)答案(273)【回顾1】（2005、北京，4分）如图1－3－25，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠=35°，则∠AOB的度数为（）A．35○B．70○C．105○D．150○【回顾2】（2005、北京，4分）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为_____________cm2【回顾3】（2005、北京，5分）如图1－3－26，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．（1）求证：AB是⊙O切线；（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4EQ\r(,3)，求的长【回顾4】（2005、内江，9分）如图1－3－27半径为2，弦BD＝2EQ\r(,3)，A为的中点，E为弦AC的中点且在BD上．求四边形ABCD的面积．【回顾5】（2005、河南，3分）如图1－3－28，在⊙O中，弦AB=AC=5cm，BC=8cm，则⊙O的半径等于_________【回顾6】（2005、河北，2分）如图1－3－29，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为36m，母线长为8m．为防雨需在粮食顶部铺上油毡，需要铺油毡的面积是_________好．【回顾7】（2005、湖州，3分）如图1－3－30，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○【回顾8】（2005、湖州，3分）已知Rt△ABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（）A．8πB．12πC．15πD．20π【回顾9】（2005、湖州，3分）已知两圆的半径分别为4cm和1cm，若两圆外切，则两圆的圆心距为__cm【回顾10】（2005、湖州，12分）如图1－3－31，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC=22EQ\r(,5)，求PD的长．【回顾11】（2005、绍兴，3分）如图1－3－32，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B间的距离为_________.【回顾12】（2005、金华，4分）如图l－3－33，△ABC内接于⊙O，DE是⊙O的切线，切点为A，如果∠ABC＝50°，那么∠CAE等于（）A．40°B．50°C．60°D．130°【回顾13】（2005、丽水，4分）两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为1㎝，则两圆位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．外离【回顾14】（2005、丽水，5分）如图1－3－34，ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，过点D的切线交BA的延长线于点E，若∠ADE=25°，则∠C=__________度．【回顾15】（2005、临沂，3分）已知两圆相交，其圆心距为6，大圆半径为8，则小圆半径r的取值范围是（）A．r＞2B．2＜r＜14C．1＜r＜8D．2＜r＜8【回顾16】（2005、临沂，3分）如图1－3－35是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．【回顾17】（2005、临沂，7分）小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分如图1－3－36，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．【回顾18】（2005、重庆，4分）已知①O；与①Q的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2=10cm，则两圆的位置关系是（A．外切B．内切C．相交D．相离【回顾19】（2005、重庆，4分）如图l－3－37，AB与⊙O相切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．4EQ\r(,5)cmB．2EQ\r(,5)cmC．2EQ\r(,13)cmD．EQ\r(,13)cm【回顾20】（2005、重庆，3分）如图l－3－38，已知OB是OD的半径，点C、D在⊙O上，∠DCB＝40°，则∠DOB=____度【回顾21】（2005、衢州，4分）如图l－3－39，圆柱的高线长为10cm，轴截面的面积为240cm2，则圆柱的侧面积是（）A．240cm2B．240πcm2C．480πm2D．480πcm2【回顾22】（2005、衢州，4分）如图l－3－40，如图，直线AP是⊙O的切线，点P为切点，∠APQ=∠CPQ，则图中与CQ相等的线段是()A、PQB．PBC．PCD．BQ【回顾23】（2005、温州，4分）如图l－3－41，圆锥的母线长为5cm，高线长为底面积是（）A．3πcmZB．9πcmZC．16πcmZD．25πcmZ【回顾24】（2005、温州，4分）如图1－3－42，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B，已知PT=4，PA=2，则⊙O的直径AB等于（）A．3B．4C【回顾25】（2005、南充，3分）底面半径为人高为h的圆柱，两底的面积之和与它们的侧面积相等中与r的关系为__________【回顾26】（2005、南充，3分）如图l－3－43，AD是圆内接三角形ABC的高，AE是圆的直径，AB=EQ\r(,6)，AC=EQ\r(,3)，则AE·AD等于（）A．3EQ\r(,2)B．2EQ\r(,2)C．3EQ\r(,13)D．2EQ\r(,13)【回顾27】（2005、自贡，4分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π㎝，则这个扇形的半径为___cm【回顾28】（2005、自贡，4分）如图l－3－44所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝30°，则∠BAC=_______.【回顾29】（2005、杭州，8分）如图1－3－45，已知AC切⊙O于A，CB顺次交⊙O于D，B点，AC=6，BD=5．连结AD，AB．（1）证明：△CAD∽△CBA；（2）求线段DC的长.【回顾30】（2005、嘉峪关，3分）如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为【回顾31】（2005、嘉峪关，3分）如图l－3－46，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，则∠BCD=__________.【回顾32】（2005、嘉峪关，10分）如图1－3－47，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．（1）在图l－3－47⑴中有否在AB上确定一点E，使得AO=AE·AB，为什么？（2）在图l－3－47⑵中，在条件⑴的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．★★★(III)2006年中考题预测★★★（80分60分钟）（274）一、基础经典题(分)(一)选择题(每题4分，共16分)【备考1】中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连结五等分点，而得如图l－3－48，五角星的每一个角的度数为（）A．30°B、35°C．36°D．37