高中数学第一册(上)棱锥同步练习

棱锥同步练习一、选择题1.下列命题中正确的是（）A.底面为正三角形的三棱锥是正三棱锥B.正三棱锥相对棱中点的连线是相对棱的公垂线C.正三棱锥的侧面是三个全等的等边三角形D.正三棱锥的相对棱互相垂直2.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（）A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥3.若棱锥的底面积等于64，则它的中截面面积等于（）A.32 B.16 C.8 D.44.已知正三棱锥的一个侧面积与底面积的比是，则此正三棱锥的高与斜高之比是（）A. B. C. D.15.已知三棱锥S－ABC中，面SAB与面SBC都是边长为的正三角形，另外两个面都是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积是（）A. B. C.3 D.66.若一个正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则底面上任一点P到三个侧面距离之和等于这个正三棱锥的（）A.高 B.斜高的长C.侧棱的长 D.底面各顶点与点P的距离之和二、填空题7.若正三棱锥底面的边长为a，且两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_____.8.正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于_____.9.将一个棱长为1的正方体木块锯成最大的一个正四面体木块，则正四面体木块的体积为_____.10.一个正n棱锥和一个正n棱柱的底面边长、高和侧面积都分别相等，则这个棱锥的侧面与底面所成二面角的度数为_____.三、解答题11.如图9－8－35，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=a，E、F分别是侧棱SC和底边CD的中点.（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）设平面SAB∩平面SCD=l，证明:l∥AB∥CD;（3）求二面角E—AF—B的大小（用反正弦表示）.图9－8－3512.如图9－8－36，平面α内有半径为2的圆O，过直径AB的端点A作PA⊥α且PA=2，C是圆O上一点，且∠CAB=60°，求三棱锥P—OBC的侧面积.图9－8－3613.已知正三棱锥S—ABC的底面边长为a,侧面与底面所成的角为60°，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值.14.如图9－8－37所示，一个四棱锥P—ABCD的底面是面积为1的矩形，有两个侧面PAD与PAB都垂直于底面，另两个侧面分别和底面成30°和60°的二面角.图9－8－37（1）求这个棱锥的侧面积；（2）求点A到平面PBD的距离.参考答案一、1.D2.D3.B4.A5.A6.C二、7.a8.60°9.10.30°三、11.（1）连结AC交BD于O，证明OE⊥平面ABCD即可.（2）∵CD∥AB，∴CD∥平面SAB，∴CD∥l,故l∥AB∥CD.（3）过O作OG⊥AF于G，连结EG.可证∠EGO为二面角的平面角，易得∠EGO=arcsin.12.S△POB=PA·OB=2，可证PC⊥BC，且可得BC=2，PC=PO=2，∴S△PBC=PC·BC=2，S△POC=.∴S侧=2+2+.13.解：如图9－8－38所示，在正三棱锥S—ABC中，设O是底面中心，D是AB中点，再作BE⊥SC于E，连结AE.图9－8－38∵S—ABC是正三棱锥，∴SO⊥底面ABC，CD⊥AB.∴SD⊥AB.∴∠SDO为侧面SAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠SDO=60°.在正△ABC中，AB=a,DO=a,CO=a.在Rt△SDO中，SO=DO·tanSDO=atan60°=.在Rt△SOC中，SC===a.∵BC=AC,∠ACE=∠BCE,CE是公共边，∴△BCE≌△ACE.又∵∠BEC=90°，∴∠AEC=90°，即AE⊥EC.∴∠AEB是二面角A－SC－B的平面角.∵∠SBD=∠BCE,∠SDB=∠BEC=90°,∴△SDB∽△BEC.∴.而SD==a,∴BE=a.∴在△ABE中，cosAEB==.故该棱锥的高为，侧棱长为a,相邻侧面所成二面角的余弦值为.14.解：如图9－8－39所示，在四棱锥P—ABCD中，图9－8－39∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.又∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥PB，DC⊥PD.∴∠PBA、∠PDA分别是另两个侧面和底面所成二面角的平面角.不妨设∠PBA=30°，∠PDA=60°.（1）令PA=a,则AB=PA·cot30°=a,AD=PA·cot60°=a.PB===2a,PD=.∴S侧=（AB+AD）·PA+BC·PB+DC·PD=（a+a）·a+·a·2a+·a·a=（+1）·a2.又∵S矩形ABCD=1，∴AB·AD=1，即a·a=1.∴a=1.∴S侧=+1.