2019-2020年中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题五函数的实际应用与决策试题

2019-2020年中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题五函数的实际应用与决策试题命题规律纵观怀化7年中考，函数的实际应用是怀化每年中考必考内容，常考类型有：1.一次函数的实际应用(带有决策性问题)；2.二次函数的实际应用(带有决策性问题)；3.一次函数与二次函数结合的实际应用问题(最优问题)．主要是考查学生将实际问题转化为数学问题的能力(难度中上等)．命题预测预计2017年怀化中考对函数的实际应用，仍然会加大力度考查，难度不低，要求在复习中有针对性训练，分层提高.,中考重难点突破)一次函数的实际应用【例1】(2016鹤城模拟)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投入市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.A、B两种型号车的进货和销售价格如下表：A型车B型车进货价格(元)11001400销售价格(元)今年的销售价格2000(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解析】(1)根据卖出的数量相同作为等量关系列方程；(2)建立获利的函数关系式，然后用一次函数的性质回答问题．【学生解答】解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价(x＋400)元．由题意，得eq\f(50000,x＋400)＝eq\f(50000（1－20%）,x).解得x＝1600.经检验，x＝1600是所列方程的根．答：今年A型车每辆售价为1600元；(2)设车行新进A型车a辆，则B型车为(60－a)辆，获利y元．由题意，得y＝(1600－1100)a＋(2000－1400)(60－a)，即y＝－100a＋36000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍．∴60－a≤2a.∴a≥20.由y与a的关系式可知，－100<0，y的值随a的值增大而减小．∴a＝20时，y的值最大，∴60－a＝60－20＝40(辆)，∴当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多．【点拨】弄清题意建立相应数学模型是关键．1．(2016孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．(1)求A种，B种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．解：(1)设A种，B种树木每棵分别为a元，b元，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋5b＝600，,3a＋b＝380，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝100，,b＝80.))答：A种，B种树木每棵分别为100元，80元；(2)设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为(100－x)棵，则x≥3(100－x)，∴x≥75.设实际付款总金额为y元，则y＝0.9[100x＋80(100－x)]＝18x＋7200.∵18>0，y随x的增大而增大，∴x＝75时，y最小．即x＝75，y最小值＝18×75＋7200＝8550(元).100－x＝100－75＝25.∴当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8550元．2．(2015芷江模拟)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1km，出租车离甲地的距离为y2km，两车行驶的时间为xh，y1，y2关于x的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；(2)若两车之间的距离为skm，请写出s关于x的函数关系式；(3)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．解：(1)y1＝60x(0≤x≤10)，y2＝－100x＋600(0≤x≤6)；(2)s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－160x＋600（0≤x≤\f(15,4)），,160x－600（\f(15,4)<x≤6），,60x（6<x≤10）；))(3)由题意得s＝200，①当0≤x≤eq\f(15,4)时，－160x＋600＝200.∴x＝eq\f(5,2)，∴y1＝60x＝150(km)．②当eq\f(15,4)<x≤6时，160x－600＝200.∴x＝5.∴y1＝60x＝300(km)．③当6<x≤10时，60x>360(舍去)．即A加油站离甲地的距离为150km或300km.二次函数的实际应用【例2】(2016沅陵模拟)天猫网某店铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，它的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天销售利润w(元)与销售价x(元/kg)有如下关系：w＝ax2＋bx－1600，当销售价为22元/kg时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/kg时，每天的销售利润为168元．(1)求该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/kg)的关系式；(2)当销售价定为每千克24元时，该产品每天的销售利润为多少元？(3)如果该店铺的负责人想要在销售价不超过32元的情况下每天获得150元的销售利润，求销售价应定为每千克多少元？(4)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，此店铺每天获得的最大利润为多少元？【解析】(1)根据题意可求出y与x的二次函数关系式；(2)将x＝24代入w＝－2x2＋120x－1600中计算所得利润；(3)将w＝150带入w＝－2x2＋120x－1600中计算出定价；(4)由二次函数解析式可知w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，所以当x＝29时利润最大．【学生解答】解：(1)已知w＝ax2＋bx－1600，且有当销售价为22元时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元时，每天的销售利润为168元．所以有：72＝a×222＋b×22－1600，168＝a×262＋b×26－1600.解得a＝－2，b＝120.∴该产品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)的关系式为w＝－2x2＋120x－1600；(2)当x＝24时，有w＝－2×242＋120×24－1600＝128.∴当销售价定为每千克24元时，该产品每天的销售利润为128元；(3)当w＝150时，有w＝－2x2＋120x－1600＝150.解得x1＝25，x2＝35.∵x≤32，∴x＝25.∴定价为每千克25元；(4)w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200.又∵物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克29元，∴当x＝29元时，利润最大，为w＝－2(29－30)2＋200＝198(元)．【点拨】正确建立二次函数模型，利用配方法和二次函数的性质结合自变量的取值范围，求出最佳方案．3．(2016龙岩中考)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息，如表所示：销售量n(件)n＝50－x销售单价m(元/件)当1≤x≤20时，m＝20＋eq\f(1,2)x当21≤x≤30时，m＝10＋eq\f(420,x)(1)请计算第几天该商品单价为25元/件？(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式；(3)这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)当1≤x≤20时，将m＝25代入m＝20＋eq\f(1,2)x，解得x＝10；当21≤x≤30时，25＝10＋eq\f(420,x)，解得x＝28.∴第10天或第28天时该商品单价为25元/件；(2)当1≤x≤20时，y＝(m－10)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20＋\f(1,2)x－10))(50－x)，即y＝－eq\f(1,2)x2＋15x＋500；当21≤x≤30时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(420,x)－10))(50－x)＝eq\f(21000,x)－420，∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋15x＋500（1≤x≤20），,\f(21000,x)－420（21≤x≤30）；))(3)当1≤x≤20时，y＝－eq\f(1,2)x2＋15x＋500＝－eq\f(1,2)(x－15)2＋eq\f(1225,2)，∵a＝－eq\f(1,2)<0，∴当x＝15时，y最大＝eq\f(1225,2)；当21≤x≤30时，由y＝eq\f(21000,x)－420可知，y随x的增大而减小，∴当x＝21时，y最大＝580元．∵580<eq\f(1225,2)，∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．一次、二次函数综合应用【例3】(2015黄冈中考)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售数量x(千件)的关系为：y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15x＋90（0<x≤2），,－5x＋130（2≤x<6）.))若在国外销售，平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为：y2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100（0<t≤2），,－5t＋110（2≤t<6）.))(1)用x的代数式表示t为：t＝________；当0<x<4时，y2与x的函数关系式为：y2＝________；当4≤x<________时，y2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x的取值范围．【学生解答】解：(1)6－x；5x＋80；6；(2)当0<x≤2时，w＝(15x＋90)x＋(5x＋80)(6－x)＝10x2＋40x＋480；当2<x≤4时，w＝(－5x＋130)x＋(5x＋80)(6－x)＝－10x2＋80x＋480；当4<x<6时，w＝(－5x＋130)x＋100(6－x)＝－5x2＋30x＋600.综上，w＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x2＋40x＋480（0<x≤2），,－10x2＋80x＋480（2<x≤4），,－5x2＋30x＋600（4<x<6）.))4．(2015辰溪模拟)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理，设甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x<50时，y与x之间的函数关系式为y＝20－0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．(2)若公司第一年的年销售利润(年销售利润＝年销售收入－生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．解：(1)y与x的函数关系式为y＝15－0.1x；(2)依题意知：25≤90－x≤45，即45≤x≤65.①当45≤x<50时，W＝(20－0.2x)(x－30)＋10(90－x－20)＝－0.2x2＋16x＋100＝－0.2(x－40)2＋420.由函数图象性质知，当x＝45时，W最大值为415万元；②当50≤x≤65时，W＝(15－0.1x)(x－30)＋10(90－x－20)＝－0.1x2＋8x＋250＝－0.1(x－40)2＋410.由函数图象性质知，当x＝50时，W最大值为400万元．综上所述，当x＝45时，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年年销售利润最大，最大年销售利润为415万元；(3)30≤m≤40.5．(2016随州中考)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．时间x(天)1306090每天销售量p(件)1981408020(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的关系式为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,50k＋b＝90，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝40，))∴y＝x＋40，∴y与x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋40（0≤x≤50，且x为整数），,90（50<x≤90且x为整数）.))设p与x之间的关系式为p＝mx＋n(m、n为常数，且m≠0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60m＋n＝80，,30m＋n＝140，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝200，))∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x为整数)．当0≤x≤50时，w＝(y－30)·p＝(x＋40－30)(－2x＋200)＝－2x2＋180x＋2000，当50<x≤90时，w＝(90－30)·(－2x＋200)＝－120x＋12000.综上所述，w＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋180x＋2000（0≤x≤50，且x为整数），,－120x＋12000（50<x≤90，且x为整数）；))(2)当0≤x≤50时，w＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050.∵a＝－2<0且0≤x≤50，∴x＝45时，w最大＝6050(元)．当50＜x≤90时，w＝－120x＋12000.∵k＝－120<0，∴w随x增大而减小，∴x＝50时，w最大＝6000(元)．∵6050>6000，∴x＝45时，w最大＝6050(元)．即销售第45天时，当天获得的利润最大，最大利润是6050元；(3)24天．2019-2020年中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题六动态问题试题命题规律1.动态问题为怀化中考的常考点，近7年共考查5次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且大都是以解答题形式出现．2．考查类型：(1)几何图形中的动点问题；(2)一次函数中的动点问题；(3)二次函数中的动点问题．命题预测预计2017年怀化中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低.【例1】(2013怀化中考)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．【解析】(1)，(2)求出直线与y轴的交点，以及P点坐标与t之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3)过点M作l的垂线，求出直线与坐标轴的交点，然后再来计算即可．【学生解答】解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，由题意，得b>0，t≥0，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4.∴y＝－x＋4；(2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝5，∵5＝1＋t，∴t＝4.当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b，解得b＝8.∵8＝1＋t，∴t＝7.∴当点M，N位于l的异侧时，4<t<7；(3)t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上．【点拨】k、b对一次函数图象y＝kx＋b的影响：①当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小；②k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越大，其图象与x轴的夹角就越大；③b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴；④直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)；⑤直线y＝k1x＋b1、y＝k2x＋b2的几种位置关系：平行：k1＝k2，b1≠b2；重合：k1＝k2，b1＝b2；关于y轴对称：k1＋k2＝0，b1＝b2；关于x轴对称：k1＋k2＝0，b1＋b2＝0；垂直：k1k2＝－1.1．如图，直线y＝－eq\f(4,3)x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t≤3)．(1)写出A，B两点的坐标；(2)设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？(3)当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似？直接写出此时点Q的坐标．解：(1)点A(6，0)，B(0，8)；(2)S△AQP＝－eq\f(4,5)(t2－10t)＝－eq\f(4,5)(t－5)2＋20，∵－eq\f(4,5)<0，0<t≤3，∴当t＝3时，S△AQP最大，S△AQP最大＝－eq\f(4,5)(3－5)2＋20＝eq\f(84,5)；(3)若∠APQ＝90°，则cos∠OAB＝eq\f(AP,AQ)，∴eq\f(2t,10－t)＝eq\f(6,10)，解得t＝eq\f(30,13)，若∠AQP＝90°，则cos∠OAB＝eq\f(AQ,AP)，∴eq\f(10－t,2t)＝eq\f(6,10)，解得t＝eq\f(50,11)，∵0<t≤3，∴t＝eq\f(50,11)不合题意，舍去，∴t的值为eq\f(30,13)，此时，OP＝6－2×eq\f(30,13)＝eq\f(18,13).PQ＝AP·tan∠OAB＝(2×eq\f(30,13))×eq\f(8,6)＝eq\f(80,13)，∴点Q的坐标为(eq\f(18,13)，eq\f(80,13))．综上所述，t＝eq\f(30,13)s时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为(eq\f(18,13)，eq\f(80,13))．二次函数中的动点问题【例2】(2011怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动t(t>0)秒，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．(1)求c，b；(用含t的代数式表示)(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝eq\f(21,8)；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．【解析】(1)由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与点P的坐标代入方程即可求得c，b；(2)①当x＝1时，y＝1－t，求得点M的坐标，则可求得∠AMP的度数；②由S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；(3)根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0个好点时，t的取值范围．【学生解答】解：(1)把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0，再把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0，∵t>0，∴b＝－t；(2)①不变，∵抛物线的解析式为：y＝x2－tx，且点M的横坐标为1，∴当x＝1时，y＝1－t，M(1，1－t)，∴AM＝|1－t|＝t－1，∵OP＝t，∴AP＝t－1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°；②S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形DNMA－S△PAM＝eq\f(1,2)(t－4)(4t－16)＋eq\f(1,2)[(4t－16)＋(t－1)]×3－eq\f(1,2)(t－1)(t－1)＝eq\f(3,2)t2－eq\f(15,2)t＋6.解eq\f(3,2)t2－eq\f(15,2)t＋6＝eq\f(21,8)，得t1＝eq\f(1,2)，t2＝eq\f(9,2)，∵4<t<5，∴t1＝eq\f(1,2)(舍去)，∴t＝eq\f(9,2)；(3)t的取值范围为eq\f(7,2)<t<eq\f(11,3).①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有－4<y2<－3，－2<y3<－1，即－4<4－2t<－3，－2<9－3t<－1，eq\f(7,2)<t<4且eq\f(10,3)<t<eq\f(11,3)，解得eq\f(7,2)<t<eq\f(11,3)；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方，无解；综上所述，t的取值范围是eq\f(7,2)<t<eq\f(11,3).2．(2015襄阳中考)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)过点E作EG⊥x轴于点G.∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA＝OC＝2，OD＝1，∠AOC＝∠DGE＝90°，∵∠CDE＝90°，∴∠ODC＋∠GDE＝90°，又∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠GDE.∵DC＝DE，∴△ODC≌△GED.∴EG＝OD＝1，DG＝OC＝2.∴点E的坐标为(3，1)．又∵抛物线的对称轴为直线AB，即直线x＝2，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋k.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋k＝2，,a＋k＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,k＝\f(2,3)，))∴抛物线的表达式为y＝eq\f(1,3)(x－2)2＋eq\f(2,3)；(2)①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO.∴PD∥OC.∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，∴四边形PDOC为矩形．∴PC＝OD＝1，∴t＝1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF＝∠DCO，eq\f(PD,CD)＝eq\f(DF,OD).∴∠PCF＝90°－∠DCO＝90°－∠DPF＝∠PDF.∴PC＝PD.∴DF＝eq\f(1,2)CD.∵CD2＝OD2＋OC2＝22＋12＝5，∴CD＝eq\r(5)，∴DF＝eq\f(1,2)eq\r(5)，∵eq\f(PD,CD)＝eq\f(DF,OD)，∴PC＝PD＝eq\f(\r(5),2)×eq\r(5)＝eq\f(5,2).∴t＝eq\f(5,2).∴当t等于1或eq\f(5,2)时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；(3)存在，满足条件的点有三组，坐标分别为M1(2，1)，N1(4，2)；M2(2，3)，N2(0，2)；M3(2，eq\f(1,3))，N3(2，eq\f(2,3))．3．(2016随州中考)已知抛物线y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，与x轴从左至右依次相交于A，B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝－eq\r(3)x＋b与抛物线的另一个交点为D.(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数表达式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒eq\f(2\r(3),3)个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？解：(1)y＝－eq\r(3)x2－2eq\r(3)x＋3eq\r(3)；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(\r(15),3)))或(－6，－eq\f(\r(7),7))；(3)E(1，－4eq\r(3))．几何图形中的动点问题【例3】如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，OA在x轴正半轴上，菱形的边长为6，∠AOC＝60°.动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发沿x轴正半轴的路线运动，动点Q以相同的速度从点C同时出发沿路线CB－BA运动．当点Q到达点A后，两点同时停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t(s)，△CPQ的面积为S.(1)求点C的坐标；(2)当t为何值时，PC⊥AB？请说明理由；(3)①当点Q在AB边上时，求S与t之间的函数关系式；②当t为何值时，点Q落在直线PC上？为什么？【解析】(1)过点C作CD⊥OA，交x轴于点D.就可以求出OD的值，由勾股定理就可以求出CD的值，进而求出结论；(2)当PC⊥AB时，由菱形的性质就可以求出∠OPC＝30°，就可以求出∠PCO＝90°，由直角三角形的性质就可以求出OP的值，就可以得出结论；(3)①过点Q作QE⊥OA，交x轴于点E，过点A作AF⊥OC于F，就可以求出QE的值，由四边形OAQC的面积＋△APQ的面积－△OPC的面积就可以求出结论；②根据①的表达式，当S＝0时，求出t的值即可．【学生解答】解：(1)如解图①，过点C作CD⊥OA，交x轴于点D.∴∠CDO＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠DCO＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OC，∵OC＝6，∴OD＝3.在Rt△ODC中，由勾股定理，得CD＝3eq\r(3).∴C点坐标为(3，3eq\r(3))；(2)当t＝12s时，PC⊥AB.理由：∵四边形OABC是菱形，∴OC∥AB，∴∠PAB＝∠AOC＝60°，∵PC⊥AB，∴∠AGP＝90°，∴∠GPA＝30°，∵OC∥AB，∴∠PCO＝∠AGP，∴∠PCO＝90°，∴OP＝2OC，∴OP＝12.∴t＝12÷1＝12s．∴当t＝12s时，PC⊥AB；(3)如解图②，①当Q点在BA上时，6≤t≤12，过点Q作QE⊥OA，交x轴于点E，过点A作AF⊥OC于F，∴∠AFO＝∠AEQ＝90°，∴AQ＝12－t，AP＝t－6，AF＝eq\r(3)OC＝3eq\r(3)，∴QE＝AQ·sin60°＝eq\f(\r(3),2)(12－t)，∵S＝S梯形OAQC＋S△AQP－S△POC，∴S＝eq\f(1,2)[(12－t)＋6]×3eq\r(3)＋eq\f(1,2)(t－6)×eq\f(\r(3),2)(12－t)－eq\f(1,2)t×3eq\r(3)，∴S＝－eq\f(\r(3),4)t2＋eq\f(3\r(3),2)t＋9eq\r(3)；②∵点Q落在直线PC上，∴S＝0，∴－eq\f(\r(3),4)t2＋eq\f(3\r(3),2)t＋9eq\r(3)＝0，∴t1＝3＋3eq\r(5)，t2＝3－3eq\r(5)<0(舍去)．∴当t＝(3＋3eq\r(5))s时，点Q落在直线PC上．【点拨】动态问题中求图形面积(S)与时间(t)的基本步骤：1.设动点运动的时间为t；2.找到并标出动点的运动路线，并找到动点运动过程中的转折点(即从某一条边运动到另一条边的时刻)，再以此转折点为分类指标进行分类讨论，求出每个运动轨迹上的图形面积S与t之间的函数关系式；3.图形面积S与时间t之间的函数关系式的求解分为两种情况：(1)若所求图形的某些边在动点的运动轨迹上，且图形是规则的(如三角形、矩形、正方形、圆)，则可直接求解：①若所求图形为三角形，则用含t的代数式表示出三角形的底，再用勾股定理、三角形相似、线段成比例等知识求出高，从而得出图形面积与时间t之间的关系；②若所求图形为矩形、正方形，则用含t的代数式表示出其边长，用面积公式即可求出图形面积与时间t之间的关系；③若所求图形为圆，则用含t的代数式表示出其半径，用圆的面积公式即可得出图形面积与时间t之间的关系；(2)若所求图形的边都不在动点的运动轨迹上，则需利用割补法将所求图形转化为边在动点运动轨迹上的图形(可以是三角形、矩形、正方形、圆，也可以是几个图形的面积和差)，再利用(1)中的方法进行求解．4．(2015辽宁中考)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD>DA，DA＝2，点P、Q同时从D点出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR.当点Q到达A时，点P、Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR和△ABC重合部分的面积为S.S关于x的函数图象如图2所示．(其中0<x≤eq\f(8,7)，eq\f(8,7)<x≤m时，函数的表达式不同)(1)n的值为__eq\f(32,49)__；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．解：当0<x≤eq\f(8,7)时，S＝eq\f(1,2)x2，由题意知，当点R落在AB上时(如图①)，RQ＝eq\f(8,7)，此时QA＝2－eq\f(x,2)＝2－eq\f(1,2)×eq\f(8,7)＝eq\f(10,7)，tanA＝eq\f(RQ,QA)＝eq\f(4,5)，当点Q到达A时，2－eq\f(x,2)＝0，x＝4，当eq\f(8,7)<x≤4时(如图②)，设RP、RQ与AB分别相交于点E，F，作EG⊥AC，垂足为G，设EG＝y，∵tanA＝eq\f(EG,GA)＝eq\f(FQ,QA)，∴GA＝eq\f(EG,tanA)＝eq\f(5y,4)，FQ＝QA·tanA＝eq\f(4,5)(2－eq\f(x,2))，∵PA＝PG＋GA＝PD＋DA，即y＋eq\f(5y,4)＝eq\f(x,2)＋2，∴y＝eq\f(4,9)(eq\f(x,2)＋2)，∴S＝S△EPA－S△FQA＝eq\f(1,2)(eq\f(x,2)＋2)·eq\f(4,9)(eq\f(x,2)＋2)－eq\f(1,2)(2－eq\f(x,2))·eq\f(4,5)(2－eq\f(x,2))＝－eq\f(2,45)x2＋eq\f(56,45)x－eq\f(32,45)，∴S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2（0<x≤\f(8,7)），,－\f(2,45)x2＋\f(56,45)x－\f(32,45)（\f(8