器的离散化方法

关于器的离散化方法124.0概述典型的计算机控制系统如图所示。计算机控制系统系统输入r(t)与系统输出y(t)比较后形成偏差e(t)，e(t)经采样保持器及模/数转换器转换成数字量e(kT)，输入计算机，由计算机实现数字控制器的运算规律，得到离散的控制量u(kT)，再经数/模转换及保持器转换为连续控制量u(t)，作用到连续的被控对象上，以控制被控对象的输出y(t)。第2页,共84页，2024年2月25日，星期天3设计计算机控制系统，主要是设计数字控制器，使图所示的闭环控制系统既要满足系统的期望指标，又要满足实时控制的要求。注：现在的计算机控制系统：一般给定信号是数字信号输出信号经传感器测量，变换后转换成数字信号，由计算机进行比较产生数字e(kt)，经计算机的控制算法运算处理输出控制信号u(kt)。u(kt)转换成模拟信号进行控制。第3页,共84页，2024年2月25日，星期天4当然，按前面的假设，r(t)是模拟信号；e(t)=t(t)-y(t)也是模拟信号；采样保持器、A/D转换是对e(t)进行的，也是可以的，不影响对系统进行分析。第4页,共84页，2024年2月25日，星期天54.1数字控制器的间接设计方法

数字控制器的间接设计法是先根据给定的性能指标及各项参数，应用连续系统理论的设计方法设计模拟控制器，再按照本节介绍的离散化方法将模拟控制器离散化为数字控制器。转换成数字控制器一般采用以下两种方法差分法

z变换设计法第5页,共84页，2024年2月25日，星期天64.1.0基本设计方法模拟系统设计——模拟系统原理框图为：模拟控制器D(s)被控对象G(s)y(t)r(t)u(t)+-R(s)Y(s)由于人们首先熟悉模拟系统的设计，同时研究了许多方便的设计方法，因此，很多情况我们首先设计模拟控制系统，然后再转换成数字控制系统——主要是控制器GC(s)的转换。第6页,共84页，2024年2月25日，星期天74.1.2模拟化设计步骤（1）设计模拟控制器模拟控制器的设计——自控原理学过根据要求的性能指标，配置零极点。

当前使用最多的是PID控制算法。对于PID控制算法，就变为主要是选择合适的比例系数、积分系数、微分系数问题模拟控制器D(s)被控对象G(s)y(t)r(t)u(t)+-R(s)Y(s)第7页,共84页，2024年2月25日，星期天8主要方法：依据性能指标要求，可以基本确定闭环传递函数。有了开环传递函数G(s)

有了闭环传递函数GB(s)

或叫做Φ(s)设计过程就是寻找D(s)，使得在该调节器（控制器）的作用下，闭环系统的性能满足我们的要求。用该方法设计的是模拟调节器，要用计算机实现，需要进行离散化处理。对于模拟调节器，一般使用P、PI、PID调节器。离散化方法：差分法、Z变换法。第8页,共84页，2024年2月25日，星期天9（2）正确的选择采样周期

要用计算机实现控制器的功能，就需要选择采样周期，对模拟控制器进行离散化描述。采样周期的选择——教材64页给出了4点原则（1）从条件品质考虑——希望采样周期短。一般在过渡过程时间内，采样6~15次。（2）从快速性和抗干扰考虑——希望采样周期短（3）从成本和计算机的工作量考虑——希望采样周期长点（4）从计算精度考虑——希望采样周期T不应太短，否则对于有限的计算机字长，前后两次采样差值太小，反而导致调节作用变弱。表4-1给出了采样周期选择的一组数据

第9页,共84页，2024年2月25日，星期天10被控制量采样周期（S）备注流量1~5优选1S压力3~10优选5S液位6~8优选7S温度15~20优选纯滞后时间成分15~20优选18S表4-1一部分控制系统选择采样周期的经验数据伺服电动机运动控制等没有给出。（5mS~20mS）其它控制依据使用要求。被控物理量的特征，按上述原则选。第10页,共84页，2024年2月25日，星期天11（3）模拟控制器的离散化描述

按模拟方法设计的调节器，要用计算机来实现，需要对它进行离散化处理，转变成能够用计算机程序来实现的方式。

差分方程是计算机容易实现的方式。对应于差分方程——传递函数Gc（S）就变为脉冲传递函数D（Z）。下面就讨论离散化方法第11页,共84页，2024年2月25日，星期天124.1.3将模拟控制器转换为数字控制器的方法

模拟控制器的离散化，有差分法，

脉冲响应不变法阶跃响应不变法零极点匹配映射法我们主要讨论差分法。第12页,共84页，2024年2月25日，星期天13

差分法的基本思想对于线性定常系统，假设其模拟调节器它对应的时域表达式两边积分第13页,共84页，2024年2月25日，星期天14对于采样时刻t=kt的u(t)值，用采样时刻t=kt带入同样可以得到第14页,共84页，2024年2月25日，星期天15于是，可以得到当T很小时，上式中的积分项当T很小时，上式中的积分项TU((k-1)T)U((kT)TU((k-1)T)U(kT)T第15页,共84页，2024年2月25日，星期天16当T很小时，积分项TU((k-1)T)U((kT)TU((k-1)T)U(kT)T的u(t)变化很小，可以用下列三种方法之一近似（1）u(k-1)值构成的矩形面积——前向差分（2）u(k)值构成的矩形面积——后向差分（3）u(k-1)，u(k)构成的梯形面积——双线性变换第16页,共84页，2024年2月25日，星期天17上式右侧两项在数值上可用各种方法来处理，根据近似处理方法的不同，就得到几种不同的离散化方法

前向差分法后向差分法双线性变换法

第17页,共84页，2024年2月25日，星期天18（1）前向差分法

前向差分法是一种数值积分，即用(K-1)T时刻的值所形成的矩形面积近似项积分。前向差分法有可能将S左半平面的稳定极点映射到Z平面单位圆外成为不稳定极点，故实际应用中不能采用前向差分法作为离散化方法。经前向差分可写成第18页,共84页，2024年2月25日，星期天19它的Z变换为：它的Z变换为：第19页,共84页，2024年2月25日，星期天20如果令在采用前向差分时。则模拟调节器GC(s)与数字调节器D(z)具有相同的形式。——可认为公式(5.7)是从s平面到z平面的映射函数.这样的映射是否稳定？——也就是说，如果稳定的模拟控制器GC(s)，变换到Z域是否仍然稳定？第20页,共84页，2024年2月25日，星期天21前向差分法对系统稳定性的影响对于公式4.6模拟系统稳定，——要求系统极点位于S左半平面

也就是S平面稳定的极点，映射到Z平面变为σ<1的平面。如图所示。Z为复数z=σ+jω因T>0第21页,共84页，2024年2月25日，星期天22σjωRezjImzσ=1Z平面S平面σ<1第22页,共84页，2024年2月25日，星期天23

前向差分法有可能将S平面的稳定极点映射到Z平面的单位圆外——原来设计的在模拟条件下稳定的系统，利用前向差分转变为数字控制器后，系统可能变得不稳定。故一般不用前向差分法。第23页,共84页，2024年2月25日，星期天24（2）后向差分法

后向差分法也是一种数值积分，即用kT时刻的值所形成的矩形面积近似积分项。后向差分法将s平面的稳定区域映射为z平面的一个以σ=1/2，ω=0为圆心，1/2为半径的圆。经后项差分可写成它的Z变换第24页,共84页，2024年2月25日，星期天25类似于前向差分法，如果令则D(z)在形式上与GC(s)相同，可认为从s平面到z平面的映射函数为：下面来讨论后向差分法对稳定性造成影响？第25页,共84页，2024年2月25日，星期天26后向差分对稳定性的影响类似于前向差分法对于复数z,z=σ+jω第26页,共84页，2024年2月25日，星期天27它就是经过4.9映射，S平面的稳定区域，被映射到Z平面的情况是：它映射到圆心在σ=1/2，ω=0，半径为½的园。即：使用后向差分，原来稳定的模拟控制系统变换为数字控制系统后，仍然是稳定的。园方程第27页,共84页，2024年2月25日，星期天28S平面Z平面第28页,共84页，2024年2月25日，星期天29（3）双线性变换法

双线性变换法也称梯形法或Tustin法，是基于梯形面积近似积分的方法。根据这个方法有第29页,共84页，2024年2月25日，星期天30差分方程离散后的控制器脉冲传递函数令第30页,共84页，2024年2月25日，星期天31则D(z)与模拟调节器GC(s)具有相同的形式。——可认为从s平面到z平面的映射函数为考察该映射对稳定性的影响。第31页,共84页，2024年2月25日，星期天32令z=σ+jω，带入也就是S平面稳定的极点，映射到Z平面在单位圆内。双线性变换是稳定的。第32页,共84页，2024年2月25日，星期天33对于任何一个已经设计好的模拟调节器Gc(S)，我们可以使用后向差分法、或双线性变换法，将模拟调节器GcSe）转换为Z变换域的脉冲传递函数D（Z）有了D（Z），就可以得到调节器的差分方程——就可以用计算机程序来实现。第33页,共84页，2024年2月25日，星期天34还有一些离散化方法：

脉冲响应不变法阶跃响应不变法零极点匹配映射法

教材上没有介绍，需要时，自己找相关资料，我们就不讨论了。第34页,共84页，2024年2月25日，星期天354.2数字PID控制器的设计PID控制规律PID控制规律的离散化PID控制规律的脉冲传递函数数字PID控制器第35页,共84页，2024年2月25日，星期天364.2.1PID控制（1）模拟PID控制调节器被控对象r(t)y(t)e(t)u(t)-+PID控制，就是控制器对误差信号e(t)进行比例(P)、积分（I）、微分(D)运算，得到输出控制信号u(t)。第36页,共84页，2024年2月25日，星期天37式中u(t)——是控制器的输出；e(t)——是系统给定量与输出量的偏差；Kp——是比例系数；TI——是积分时间常数；TD——是微分时间常数。

PID控制也可以表达为：KI——积分系数KI=KP/TIKD——微分系数KD=KP*TD传递函数为：第37页,共84页，2024年2月25日，星期天38教材上的PID控制，在上述基本PID运算的基础上，又添加了一项u0它表示一个控制量的初始值，例如阀门的初始开度等，一般情况不用这样表示，故后面我们不再用这一项，而是直接用常用的PID算法公式第38页,共84页，2024年2月25日，星期天39使用PID控制器的控制系统原理图KP+++G0(s)GC(s)y(t)u(t)e(t)r(t)-+IPD第39页,共84页，2024年2月25日，星期天40比例作用比例作用的引入是为了及时成比例地反映控制系统的偏差信号e(t)，系统偏差一旦产生，调节器立即产生与其成比例的控制作用，以减小偏差。比例控制的特点：响应快，一旦出现偏差，控制器会立即产生控制作用u(t)=KP×e(t)，使系统向减小偏差的方向变化。存在的不足：对某些系统，可能存在稳态误差，加大比例系数k，系统的稳态误差减小，但稳定性可能变差，可能导致振荡。第40页,共84页，2024年2月25日，星期天41

积分作用的引入是为了使系统消除稳态误差，以保证实现对设定值的无静差跟踪。假设系统己经处于闭环稳定状态，此时的系统输出和误差量保持为常值，只有当且仅当动态误差e(t)=0时，控制器的输出才为常数。从原理上看，只要控制系统存在动态误差，积分调节就产生作用，直至无差，积分作用就停止，此时积分调节输出为一常值。积分作用的强弱取决于积分时间常数TI的大小，TI越小，积分作用越强，反之则积分作用弱。积分作用的引入会使系统稳定性下降，动态响应变慢。实际中，积分作用常与另外两种调节规律结合，组成PI控制器或者PID控制器。②积分I的作用对控制性能的影响第41页,共84页，2024年2月25日，星期天42③微分D作用对控制性能的影响

微分作用的引入，主要是为了改善控制系统的响应速度和稳定性。微分作用能反映系统偏差的变化律，预见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用。直观而言，微分作用能在偏差还没有形成之前，就己经依据偏差的变化趋势产生控制作用，因此，微分作用可以改善系统的动态性能。第42页,共84页，2024年2月25日，星期天434.2.2PID控制规律的离散化

计算机控制系统中，利用外接矩形法进行数值积分（在时间T内近似认为e(t)为常数），一阶后向差分进行数值微分，当选定采样周期为T时，有

ui为控制器输出，它对应于被控对象的执行机构第i次采样时刻应达到的位置，因此，该式称为位置型PID控制算式，其输出值与过去所有状态有关。第43页,共84页，2024年2月25日，星期天44

当执行机构需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量时，由上式可导出增量型PID控制算式对于位置式PID控制算法，i-1时刻的ui-1为：i时刻与i-1时刻的输出值之差为：第44页,共84页，2024年2月25日，星期天45

计算机只输出控制增量，即执行机构位置的变化部分，因而误动作影响小在i时刻的输出ui，只需用到此时刻的偏差，以及前一时刻，前两时刻的偏差ei-1，ei-2和前一次的输出值ui-1，这大大节约了内存和计算时间在进行手动－自动切换时，控制量冲击小，能够较平滑地过渡增量型控制算式具有以下优点缺点：

不便于积分限幅处理、积分项分离处理，对超调量的控制不方便第45页,共84页，2024年2月25日，星期天46PID算法还可写成递推型PID方式第46页,共84页，2024年2月25日，星期天47PID控制算法只是用比例项 ——P（比例控制）比例+积分 ——PI

比例+微分 ——PD

比例+积分+微分——PID依据控制性能要求、被控对象的特征选择。对于PID控制，PID三项的系数值决定系统的控制性能——选择可是的系数，叫做PID参数整定。第47页,共84页，2024年2月25日，星期天484.2.3.PID算法的实现为了尽量节省计算时间，一般使用第推算法。（1）增量式PID算法可以直接利用公式5.21计算。

需要保存ei-1,ei-2两次误差信号，再利用当前误差ei

计算输出信号。该算法流程图见教材72页图4.9第48页,共84页，2024年2月25日，星期天49（2）位置式PID算法实现方法1利用递推计算公式5.22计算位置式PID控制信号它需要保存ei-1,ei-2两次误差信号，前一次的控制输出信号ui-1，再利用当前误差ei

计算输出信号。实际上，该方法就是实现该算法的程序流程图自己参考教材图4.9画一下。具体的程序代码与所使用的程序设计语言有关。第49页,共84页，2024年2月25日，星期天50（3）位置式PID算法2将公式5.20的积分项Xi为积分项。积分初值X0=0，该方法需要保存ei-1和前面的积分值Xi-1。

该方法的优点是可以进行积分项的分离和单独限幅处理，有利于提高控制性能——例如误差太大时，使积分项为0（只用PD）算法，这样可以减小积分饱和造成的超调量。第50页,共84页，2024年2月25日，星期天51该方法的程序设计，自己回去编写。对于许多PID控制算法的改进，都是基于位置式PID控制算法——积分项的改进——对控制效果有较大的改进积分分离——

变速积分法抗击分包和梯形积分法消除积分不灵敏区方法微分项的改进不完全微分法微分先行法第51页,共84页，2024年2月25日，星期天524.2.4.PID控制规律的脉冲传递函数将模拟控制器的传递函数用后向差分方法等效离散化(s=(1-z-1)/T)，可得PID控制规律的脉冲传递函数形式直接从差分方程也可以得到该式第52页,共84页，2024年2月25日，星期天53所以第53页,共84页，2024年2月25日，星期天544.2.5数字PID控制器算法的改进

标准PID控制算法存在的问题

PID控制器的改进算法

PID控制的发展第54页,共84页，2024年2月25日，星期天551.标准PID控制算法存在的问题

任何一种执行机构都存在一个线性工作区，同时，执行机构的动态特性也存在一个线性工作区。增量式PID算法中微分项和比例控制作用过大将出现微分饱和，都会使执行机构进入非线性区，从而使系统出现过大的超调或持续振荡，动态品质变坏。为了克服以上两种饱和现象，避免系统的过大超调，使系统具有较好的动态品质，必须使PID控制器输出的控制信号受到约束，即对标准的PID控制算法进行改进，并主要是对积分项和微分项进行改进。第55页,共84页，2024年2月25日，星期天562.PID控制器的改进算法

积分饱和作用及其抑制

PID增量算法的饱和作用及其抑制干扰的抑制

PID算式中微分项的改进

第56页,共84页，2024年2月25日，星期天57（1）积分项的改进

物理执行元件的机械和物理性能是受约束的，即输入u(t)的取值是在有限范围内，同时其变化率也受限制。控制系统在启动、停止或者大幅度提降给定值等情况下，系统输出会出现较大的偏差，这种较大偏差，不可能在短时间内消除，经过积分项累积后，可能会使控制量u(k)很大，甚至超过执行机构的极限。另外，当负误差的绝对值较大时，也会出现另一种极端情况。积分分离法第57页,共84页，2024年2月25日，星期天58①积分分离法

减小积分饱和的关键在于不能使积分项累积过大。积分项的主要作用是消除静态误差，因此当偏差大于某个规定的门限值时，删除积分作用，PID控制器相当于一个PD调节器，这样既可以加快系统的响应又可以消除积分饱和现象，不致使系统产生过大的超调和振荡。只有当误差e在门限之内时，加入积分控制，相当于PID控制器，则可消除静差，提高控制精度。积分分离的控制规律为第58页,共84页，2024年2月25日，星期天59程序实现：增加一个判断环节，当误差ei过大时，使积分项第59页,共84页，2024年2月25日，星期天60②变速积分的PID算法

前面的PID算法中，积分系数KI（或TI）是一个常数。积分作用太强，会造成积分项太大，出现负偏差比较大时（出现较大的超调量），积分项才会逐步变小

——使控制量变小。积分作用弱——有可能静差大因此，我们的要求：偏差大——积分作用弱，直至不积分偏差小——积分作用强这样，积分系数就应该是偏差ei的函数。例如4.27第60页,共84页，2024年2月25日，星期天61F值在0~1之间变化，是当前的偏差起的作用与他的偏差值有关，相当于积分项的系数是变化的。第61页,共84页，2024年2月25日，星期天62③抗积分饱和

积分项的输出限制在执行机构所能执行的输出值范围内，例如如果通过8位DA输出，则最大值限制在0FFH。这样，一旦输出出现超调，积分项输出UI立即变小，不会出现系统出现超调后，控制量u还不减小的情况。第62页,共84页，2024年2月25日，星期天63④梯形积分消除积分不灵敏第63页,共84页，2024年2月25日，星期天64（2）PID算式中微分项的改进

在标准数字PID算法中，对于误差为阶跃信号，微分控制作用只体现在误差信号发生瞬变的第一个采样周期内从第二个采样周期开始，ei=ei-1,微分部分输出变为零。而在连续控制系统中，PID控制器的微分部分能在较长时间内起作用，如图所示。et=kT第64页,共84页，2024年2月25日，星期天65①不完全微分PID控制算法为了改善控制效果，需要对微分项做改进微分作用比较工程上一般是在传统PID算法的基础上增加一个惯性环节第65页,共84页，2024年2月25日，星期天66通过加入惯性环节构成不完全微分数字控制器。它不仅可以平滑微分产生的瞬时脉动，而且能加强微分对全过程的影响。不完全微分的PID调节规律

实际上，这个惯性环节，就相当于在PID输出增加一个RC低通滤波器RC第66页,共84页，2024年2月25日，星期天67该惯性环节的实现其中T是采样周期,τ是滤波器的时间常数，它相当于RC低通滤波器的

τ=RC它就是前面介绍过的一阶数字低通滤波器。RC第67页,共84页，2024年2月25日，星期天68②微分先行PID控制算法教材77页简单介绍了该方法。第68页,共84页，2024年2月25日，星期天69（3）其它改进方法包括时间最优PID控制带死区的PID控制算法可变增量PID控制算法还有许多具有人工智能特征的PID控制算法例如：自适应PID控制算法基于人工神经元网络的PID控制算法参数子整定PID控制算法……第69页,共84页，2024年2月25日，星期天703.PID控制的发展PID是行之有效的一种控制规律，随着计算机控制技术的发展和控制理论的发展，许多学者对这种控制方法进行了更深入的研究，提出了许多性能优良的PID控制算法。可变增益PID控制——Kp可变参数自寻优PID控制——自动寻找优化的PID参数。

PID+Ping-Pang复合控制——在误差进入指定区域，才使用PID控制，该范围外，使用开关控制。自适应PID控制——

模糊PID控制——PID专家控制系统——第70页,共84页，2024年2月25日，星期天714.2.6数字PID控制器的参数整定

在实际控制系统中，控制算式一旦确定，比例，积分和微分参数的整定就成为重要的工作。控制效果的好坏在很大程度上取决于这些参数选择得是否得当。关于PID控制参数整定方法有很多。通常首先要对工业对象的动态特性作某种简单假设。因此，由这些整定方法得到的参数值在使用时不一定是最佳的，往往只作为参考值。在实时控制中，还要在这些值附近探索，找出实用中有效的最佳值。

PID参数整定的理论方法试凑法确定PID调节参数简易工程法整定参数

第71页,共84页，2024年2月25日，星期天721.理论方法按照指标要求、选取一组合适的PID参数，它与被控对象的特性相配合，使系统特征方程的根分布在S平面左半平面某一个希望的区域。通过分析零极点对系统性能影响，选择合适的零极点——就得到控制器的传递函数。要求由对象准确的数学模型有时，理论上寻找是困难的。第72页,共84页，2024年2月25日，星期天732.简易工程法（1）扩充临界比例带法