离散型随机变量的均值高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册+

7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值问题引入

离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射击水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.复习回顾Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn离散型随机变量的分布列刻画了某个随机变量的取值规律，可用于确定与该随机变量相关事件的概率。要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”,则可考察这个班数学成绩的方差。要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.离散型随机变量的分布列：复习回顾求一组样本数据的平均数、方差、标准差由频率分布直方图求样本数据的平均数、中位数、众数、百分位数频率的稳定性(n足够大时，频率稳定于概率)由样本的数字特征估计总体的数字特征复习引入算术平均数与加权平均数引例.某人射击10次，射中的环数分别是：

7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.

则他射中的平均环数是多少？算术平均数加权平均数权数加权平均是指在计算若干个数值的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数.问题引入问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2类似两组数据的比较，首先比较射中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？思考1：如何比较他们射箭水平的高低呢？问题引入问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？

即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.问题引入问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2思考2：如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？

即乙射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8.65，这个平均值的大小可以反映乙运动员的射箭水平.问题引入问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示.78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2思考3：上述两个平均值的计算有什么共性？

结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.新知探索

一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示，

1、离散型随机变量的均值(数学期望)均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数，它反映了随机变量取值的平均水平.例析(1)求甲至少正确完成其中3道题的概率;(2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数,求X的分布列及数学期望.例析例析

练习练习1.随机变量X的分布列是X47910P0.3ab0.2若E(X)=7.5，则a=____，b=______.0.40.1

X10P0.80.2X10Pp1－p例析

2、两点分布的均值(数学期望)新知探索

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例析练习2.随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=_____.2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)=______.5.8例析[针对训练](2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解:(1)设“甲学校获得冠军”为事件A,则甲学校必须获胜2场或者3场.P(A)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.6.故甲学校获得冠军的概率为0.6.例析解:(2)X的可能取值为0,10,20,30.P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.44,P(X=20)=(1-0.5)×(1-0.4)×0.8+0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.[例4]已知随机变量X的分布列如表:例析(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).(1)该类题目属于已知离散型随机变量的分布列求均值,求解方法是直接套用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.(2)对于aX+b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值的计算公式求解,比较两种方式显然前者较方便.例析[例5]某电器商场为了促销,给出了两种优惠方案,顾客只能选择其中的一种.方案一:每消费满8000元,可减800元.方案二:消费金额超过8000元(含8000元),可抽取小球三次,其规则是依次从装有2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子,装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子,装有1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球(这些小球除颜色外完全相同),其优惠情况为:若抽出3个红色小球则打6折;若抽出2个红色小球则打7折;若抽出1个红色小球则打8折;若没有抽出红色小球则不打折.例析(1)若有两名顾客恰好消费8000元,他们都选中方案二,求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率;例析(2)若小李在该商场消费了10000元,请用所学知识帮助小李分析一下应选择哪种付款方案.例析例析例析方法技巧：1.实际问题中的均值问题均值再实际中有广泛的应用，如在体育比赛的安