四川省眉山市正兴中学高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省眉山市正兴中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（

）．（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】由于且，那么，所以，即，由于，所以的最大值为.故答案为C.2..已知集合，，则A∩B=（

）A.[2,3] B.(1,5) C.{2,3} D.{2,3,4}参考答案：C【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.3.执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s B．s C．s D．s参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=9，S=1时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=8；当k=8，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=7；当k=7，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=6；当k=6，S=1时，满足输出条件，故S值应不满足条件，故判断框内可填入的条件是s，故选：B4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数的定义域是(

)A． B．（0，2] C．[2，+∞） D．参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】首先对数真数一定大于0，中与f（x）中的x取值一样，从而求出x的范围．【解答】解：因为f（x）的定义域是[﹣1，1]，所以，，又，所以，根据的单调性知，所以函数的定义域为故选A．【点评】本题考查复合函数的定义域求法，求解关键是要知道复合函数求定义域要注意不变量．6.已知，，则的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设命题函数在定义域上为减函数；命题,当时,，以下说法正确的是A.为真

B.为真

C.真假

D.，均假参考答案：D8.已知，且为第二象限角，则（

）A、B、C、D、参考答案：A9.如图，已知正方体的棱长是1，点是对角线上一动点，记（）,过点平行于平面的截面将正方体分成两部分，其中点所在的部分的体积为，则函数的图像大致为参考答案：D10.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当t=时，|m|取得最小值，则向量a,b的夹角为A.

B.

C.

D.

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是的展开式中含项的系数,则_______.参考答案：答案：1712.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，依次为主视图，侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为

。参考答案：13.集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是

．参考答案：414.已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是_____________．参考答案：略15.向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若（），则

。参考答案：416.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.参考答案：1617.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若，则的值是_____.参考答案：16【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x﹣aex+b（a＞0，b∈R）．（1）求f（x）的最大值；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2lna．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）求出a，问题转化为证＜﹣2+，不妨设x1＜x2，令x2﹣x1=t＞0，则需证t2＜e﹣t﹣2+et，设g（t）=t2﹣e﹣t+2﹣et，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣aex＞0，解得：x＜ln，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单增，在（ln，+∞）上单减，∴f（x）max=f（ln）=ln﹣1+b；（2）证明：由题知，两式相减得x1﹣x2=a（﹣）即a=，故要证x1+x2＜﹣2lna只需证x1+x2＜﹣2ln，即证＜，即证＜﹣2+，不妨设x1＜x2，令x2﹣x1=t＞0，则需证t2＜e﹣t﹣2+et，设g（t）=t2﹣e﹣t+2﹣et，则g′（t）=2t+e﹣t﹣et，设h（t）=2t+e﹣t﹣et，则h′（t）=2﹣e﹣t﹣et＜0，故h（t）在（0，+∞）上单减，∴h（t）＜h（0）=0即g′（t）＜0，∴g（t）在（0，+∞）上单减，∴g（t）＜g（0）=0，故原不等式得证．19.已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的导数，对a讨论，导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由（1）可得f（x）的最小值为﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，求出导数，单调区间和最值，即可得到a=2；（3）求出g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．求得导数g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，运用判别式大于0和韦达定理，求出g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2，化简整理可得m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，求得导数和单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣alnx的导数为f′（x）=2x﹣=，x＞0，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＞0时，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；（2）当a＞0时，由（1）可得x=处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣ln，由题意可得﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx，当x＞1时，h′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，g（x）递增．即有x=1处h（x）取得极大值，且为最大值1，则﹣ln=1的解为a=2；（3）证明：g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，即有△=4+8a＞0，解得﹣＜a＜0，x1+x2=1，x1x2=﹣，g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣aln（x1x2）=1+a﹣2﹣aln（﹣）=a﹣aln（﹣）﹣1，令m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，可得m′（a）=1﹣（ln（﹣）+1）=﹣ln（﹣）＞0，即有m（a）在（﹣，0）递增，可得m（a）＞m（﹣），由m（﹣）=﹣+ln﹣1=﹣﹣ln2＞﹣﹣1=﹣．则有g（x1）+g（x2）＞﹣．20.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。参考答案：（1）的定义域为，（i）若，即a=2，则，故在上单调增加。（ii）若，而，故，则当时，；当及时，。故在上单调减少，在，上单调增加。（iii）若，即，同理可得在（1，a-1）上单调减少，在(0,1)，(a-1,+?)上单调增加。

（2）考虑函数，则，由于，故，即在上单调增加，从而当时，有，即，故；当时，有。略21.如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点 （1）求证：EF∥平面ABD（2）若θ=，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值． 参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，推导出平面EHF∥平面ABD，由此能证明EF∥平面ABD． （2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的余弦值． 【解答】证明：（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF， 则H为CD中点，∴HF∥AD ∵AD?平面ABD，HF?平面ABD， ∴HF∥平面ABD， 同理，EH∥平面ABD， ∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD， ∵EF?平面EHF，∴EF∥平面ABD． 解：（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ， 连结BF，∵θ=，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO， 以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则F（0，0，0），B（0，0，），D（﹣1，2，0），O（1，0，0）， 设平面FBD的法向量=（x，y，z）， 则，取x=2，解得=（2，﹣1，0） 同理得平面BDO的一个法向量=（，1）， 设二面角F﹣BD﹣O的平面角为α，