四川省雅安市宝兴县中学高三数学文期末试题含解析

四川省雅安市宝兴县中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则函数在内零点的个数为

(

)

A.3 B.2 C.1 D.0

参考答案：C略2.某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是

参考答案：D因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。3.已知函数，，若，则（

）A.1

B.2

C.3

D.-1参考答案：A所以选A。

4.设函数，的零点分别为，则(

)A.

B.0＜＜1

C.1＜＜2

D.参考答案：B5.（2016?海南校级二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B． C． D．3参考答案：C【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．6.设全集，集合，，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：B7.展开式中含项的系数为A．-1

B．1

C．0

D．2参考答案：B略8.在等差数列{an}中，Sn为前n项和，，则（

）A.55

B.11

C.50

D.60参考答案：A9.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

(

)A．

140种

B．

120种

C．35种

D．

34种参考答案：D10.已知集合=

A．

B．（0，1）

C．[0，1）

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,则当______时,取得最小值.参考答案：12.过抛物线与抛物线交于A、B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为=

.参考答案：213.已知变量满足约束条件，则的取值范围是_________参考答案：14.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是．参考答案：【考点】定积分；几何概型．【专题】计算题．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==，所以p=．故答案为：．【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．15.数列是公差不为0的等差数列，且，则参考答案：在等差数列中，由得，即，所以。16.设，已知在约束条件下，目标函数的最大值为，则实数的值为___________．参考答案：略17.已知实数、满足约束条件则的最大值是

参考答案：解：因为实数、满足约束条件则过点（2，-1）时，目标函数最大且为3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同．（1）求椭圆C1的方程；（2）求经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1、k2（k1≠k2）的两条直线，两直线分别与椭圆C1交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1?k2的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线PM：y=k1（x+2），与椭圆联立，求出M，同理求出N，由直线MN与y轴垂直，得，由此能求出k1k2的值．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且C1的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点相同，∴，解得a=2，c=，b2=4﹣3=1，∴椭圆C1的方程为．（2）由题意，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标也为0，∴k1=k2=0，与k1≠k2矛盾，∴k1≠0，设直线PM：y=k1（x+2），由，得，解得或y=0（舍），∴M（，），同理N（，），∵直线MN与y轴垂直，∴=，化简，得，∴（k2﹣k1）（4k1k2﹣1）=0，又由k1≠k2，得4k1k2﹣1=0，∴k1k2=．已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．【答案】【解析】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】解法一：（Ⅰ）对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k，结合已知可求a（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx，利用函数的导数，判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，结合F（1）=﹣1＜0，F（2）=8ln2＞0，可证（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），对h（x）求导，通过讨论t的取值范围来判断h′（x）的符号，进而可判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）由导数的几何意义可求曲线y=f（x）在点A处的切线方程（x＞0），构造函数h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），对h（x）求导，若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，二次函数的性质可求【解答】解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以，函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．由2+a=10得：a=8．

…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx．因为F（1）=﹣1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．又因为，所以F（x）在（0，+∞）上递增，所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一个实根．

…（Ⅲ）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切线方程为，即（x＞0）．

…记h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），则．

…（1）当，即t=2时，对一切x∈（0．+∞）成立，所以h（x）在（0，+∞）上递增．又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．

…（2）当，即t＞2时，时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．故h（x）在上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．又h（t）=0，所以当时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．

…（3）当，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；时，h'（x）＜0；时，h'（x）＞0．故h（x）在（0，t）上单调递增，在上单调递减．又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当时，h（x）＜0，即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．

…解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）证明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲线y=f（x）在点A处的切线方程为，即（x＞0）．

…记h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），则．

…若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．所以h（x）在（0，+∞）上递增．又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．

…19.已知函数.(Ⅰ)求该函数图象的对称轴；(Ⅱ)在中,角所对的边分别为,且满足,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)由即即对称轴为……6分（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域为.……14分20.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球,再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:奖级摸出红.蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.参考答案：21.已知数列{an}满足，记数列{an}的前n项和为Sn，cn=Sn﹣2n+2ln（n+1）（1）令，证明：对任意正整数n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|（2）证明数列{cn}是递减数列．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由于，，可得bn+1==1+bn，利用等差数列的通项公式可得bn=n．对任意正整数n，要证明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得：，解得an=2﹣．cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），当n≥2时，可得cn﹣cn﹣1=2（ln﹣）．（n≥2）．令1+=x，．记f（x）=lnx﹣（x﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】证明：（1）∵，，∴bn+1====1+=1+bn，∴bn+1﹣bn=1，∴数列{bn}是等差数列，首项b1==1，公差为1．∴bn=1+（n﹣1）=n．对任意正整数n，要证明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，（*）．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，（*）成立．②假设n=k时，（*）成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|，则当n=k+1时，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤（k+1）|sinθ|，即n=k+1时，（*）成立．由①②可知：对任意正整数n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|．（2）由（1）可得：，解得an=2﹣．cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），当n≥2时，cn﹣1=Sn﹣1﹣2（n﹣1）+2lnn，∴cn﹣cn﹣1=an﹣2+2ln=﹣+2ln=2（ln﹣）．（n≥2）．令1+=x，．记f（x）=lnx﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1=＜0，∴f（x）在上单调递减，∴f（x）＜f（1）=0，∴ln﹣＜0．∴cn﹣cn﹣1＜0，即cn＜cn﹣1，∴数列{cn}是递减数列．【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、