广西壮族自治区南宁市扶绥中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市扶绥中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线ax+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且线段AB是圆C的所有弦中最长的一条弦，则实数a=（）A．2 B．±1 C．1或2 D．1参考答案：D【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意，AB为直径，圆心代入直线方程，即可得出结论．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=4的圆心坐标为（1，a），半径r=2，由题意，AB为直径，则a+a﹣2=0，∴a=1．故选D．2.已知为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（

）A． B．

C．

D．参考答案：A略3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A．13π

B．20π

C.25π

D．29π参考答案：D4.设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为

参考答案：D由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，，则，，，又，所以，所以最大的项为，选D.5.设是实数（I为虚数单位），则等于

（

）

A．

B．1

C．

D．2参考答案：B6.若（1﹣2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016（x∈R），则++…+的值为(

)A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】在所给的等式中，令x=0可得a0=1；令x=可得a0+++…+=0，从而求得++…+的值．【解答】解：在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=0可得，（1﹣0×2）2016=a0，即a0=1，在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=可得，（1﹣2×）2011=a0+++…+，即a0+++…+=0，而a0=1，∴++…+=﹣1，故选：C．【点评】此题是个基础题．此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于中档题．7.在等比数列{an}中，首项a1=1，若数列{an}的前n项之积为Tn，且T5=1024，则该数列的公比的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵首项a1=1，T5=1024，∴15×q1+2+3+4=1024，即q10=210，解得q=±2．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则A.98

B.49

C.14

D.147参考答案：A9.展开式中含项的系数为A．-1

B．1

C．0

D．2参考答案：B略10.若（x3+）n的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则dx=（）A．0 B． C． D．49π参考答案：C【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】首先利用二项式定理求出a，然后利用几何意义求定积分．【解答】解：因为（x3+）n的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，由得到6n=7r，所以n的最小值为7，所以dx==；故选C．【点评】本题考查了二项式定理以及利用几何意义求定积分；属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在正方形中，点为边的中点，点为边上的靠近点的四等分点，点为边上的靠近点的三等分点，则向量用与表示为

．参考答案：12.已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．参考答案：

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．13.函数的所有零点之和为

．参考答案：8设，则，原函数可化为，其中，因，故是奇函数，观察函数与在的图象可知，共有4个不同的交点，故在时有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即，从而14.已知函数f(x)的定义域为R，为奇函数，，则__________．参考答案：－1【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于点对称，据此可得，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数为奇函数，则函数的图象关于点对称，则有，又由，则；故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析的对称性，属于基础题．15.如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为__.

参考答案：考点：直线方程直线斜率为，所以斜率为，设直线方程为，

由已知直线过点，所以，即，所以直线方程为，即16.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．参考答案：16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．17.已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为

．参考答案：36考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（x）=x+1og2，f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，从而可得f（x）+f（9﹣x）=9；从而解得．解答： 解：∵f（x）=x+1og2，∴f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，故f（x）+f（9﹣x）=9；故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=f（1）+f（8）+…+f（4）+f（5）=4×9=36；故答案为：36．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

（12分）已知向量，且。（1）求及；（2）若的最小值等于，求值及取得最小值时x的值。参考答案：解析：本题考查三角函数中的诱导公式，特殊角三角函数值、两角和公式、正弦定理等基础知识，考查基础运算。（1）解：（2分）∵

∴（6分）（2）解：∵由题意，当且仅当时，取最小值

解得此时，又

∴答：，当时，（12分）19.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，是等边三角形，已知BD=2AD=8,

AB=2DC=，设M是PC上一点，（Ⅰ）证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．参考答案：20.（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．．（1）求证：EF∥平面BCC1B1；（2）求证：平面CD1E⊥平面D1DE；（3）在线段CD1上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，若存在，求的值，不存在，说明理由．

参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，推导出EBMF是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面BCC1B1．（2）推导出D1D⊥CE，CE⊥DE，从而CE⊥平面D1DE，由此能证明平面CD1E⊥平面D1DE．（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，利用向量法能求出线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且=．【解答】证明：（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，FM=C1D1，（2分）又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1．（4分）（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）解：（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），设=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），则Q（0，2λ，1﹣λ），设平面DEQ的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则=（﹣1，1，），（10分）∵二面角Q﹣DE﹣D1为45°，∴cos45°===，由于0＜λ＜1，∴﹣1，∴线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且=．（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．21.（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求证：．参考答案：（2）令，则，．令，则，，． ……………6分由（1）知，当时，，而当时，，显然，故时，都有． ……………9分因此当时，，于是在上是减函数，而，当时，，即．故，故在上也是减函数，而，当时，，即也即∴ ……………12分22.已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x﹣4|＞4|x|+1，分类讨论求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣4|≥a|x|﹣4对任意x∈R恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1